Graphique bipartite

Dans le domaine mathématique du de la théorie de graphique , un graphique bipartite est un graphique dont les sommets peut être divisé en deux que le disjoignent les ensembles $V\_1$ et $V\_2$ tels que chaque bord relie un sommet dans $V\_1$ et un dans $V\_2$ ; c'est-à-dire, il n'y a aucun bord entre deux sommets dans le même ensemble.

Définition intuitive

Il est possible à la couleur les noeuds d'un graphique bipartite rouge et du bleu tels qu'aucun bord n'existe entre comme des couleurs. Par exemple, c'est impossible dans le cas d'un graphe entièrement connexe avec 3 sommets (une triangle ) : après qu'un noeud soit un rouge coloré et un bleu différent, autre est relié à tous les deux mais doit avoir la même couleur que l'un ou l'autre.

Définition mathématique

Un $G\; simple\; du\; graphique\; non\; dirigé\; du\; \backslash \; =\; (,\; de\; V\; \backslash \; E)$ s'appelle le bipartite si là existe un $V\; de\; la\; cloison\; =\; un\; V\_1\; \backslash \; tasse\; V\_2$ du sommet réglé de sorte que chaque bord dans le E soit du v ₂ du v ₁ de forme pour un certain v ₁ dans le V ₁ et le v ₂ dans le V ₂. On écrit souvent le $G\; \backslash \; =\; (V\_1\; +\; V\_2,\; \backslash \; E)$ pour dénoter un graphique bipartite dont la cloison a les pièces $V\_1$ et $V\_2$. Si $|V\_1|\; =\; |V\_2|$, c., si le nombre d'éléments dans $V\_1$ est égal au nombre d'éléments dans $V\_2$, puis $G$ s'appelle un graphique bipartite de équilibré par .

Si le graphique est relié par , son bipartition peut être défini par la parité des distances de n'importe quel arbitrairement choisi v de sommet : un sous-ensemble comprend les sommets même à la distance au v et l'autre sous-ensemble comprend les sommets à la distance impaire au v .

Applications

Les graphiques bipartites sont utiles pour modeler les problèmes assortis qu'un exemple de graphique bipartite est un problème assorti du travail. Supposer que nous avons un P d'ensemble des personnes et un J d'ensemble des travaux, avec non toutes les personnes appropriées à tous les travaux. Nous pouvons modeler ceci comme graphique avec le P + J l'ensemble de sommets. Si une personne $p\_i$ convient à un certain travail $j\_i$ il y a un bord entre $p\_i$ et $j\_i$ dans le graphique. Le théorème de mariage de fournit une caractérisation des graphiques bipartites qui permettent à les matchings parfaits

Des graphiques bipartites sont intensivement employés dans la théorie de codage moderne , pour décoder particulièrement des codewords reçus du canal. Les graphiques de facteur de et les graphiques de Tanner de sont des exemples de ceci.

Dans de l'informatique, un réseau de Pétri De est un outil de modélisation mathématique utilisé dans l'analyse et les simulations des systèmes concourants. Un système est modelé comme graphique dirigé bipartite avec deux ensembles de noeuds : Un ensemble de " ; place" ; noeuds qui contiennent des ressources, et un ensemble de " ; event" ; noeuds qui produisent et/ou consomment des ressources. Il y a des contraintes additionnelles sur les noeuds et les bords qui contraignent le comportement du système. Les réseaux de Pétri utilisent les propriétés des graphiques dirigés bipartites et d'autres propriétés pour permettre les preuves mathématiques du comportement des systèmes tout en également permettant l'exécution facile des simulations du système.

Exemples

chaque arbre est bipartite.
Les graphiques de cycle de avec un chiffre pair des sommets sont bipartites.

Propriétés

Un graphique est bipartite si et seulement si il ne contient pas un cycle impair . Par conséquent, un graphique bipartite ne peut pas contenir une clique de taille 3 ou plus.
Un graphique est bipartite si et seulement s'il est 2 colorables, (c. son le nombre que chromatique est inférieur ou égal à 2).
La taille de la couverture minimum de sommet de est égale à la taille du maximum de assortissant (le théorème de König de ).
La taille de l'indépendant de maximum réglé plus la taille du maximum de assortissant est égale au nombre de sommets.
Pour un le graphique bipartite relié de la taille de la couverture minimum de bord est égal à la taille de l'indépendant réglé de maximum de .
Pour un le graphique bipartite relié de la taille de la couverture minimum de bord de plus la taille de la couverture minimum de sommet est égal au nombre de sommets.
Chaque graphique bipartite est un graphique parfait .

Voir également

graphique bipartite complet
Décomposition de Dulmage-Mendelsohn de
Graphique de Levi de

.

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