Graphe linéaire

Dans la théorie de graphique , le L ( G ) du graphe linéaire d'un G du graphique non dirigé est un graphique tels que
chaque sommet du L ( G ) représente un bord du G ; et
deux sommets quelconques du L ( G ) sont adjacents si et seulement si leur correspondance affile la part un point final commun dans le G . C'est-à-dire, c'est le graphique d'intersection de des bords du G , représentant chaque bord par l'ensemble de ses deux points finaux. Ainsi, des propriétés des bords dans les graphiques peuvent être traduites en propriétés au sujet des sommets dans graphes linéaires ; par exemple, la taille d'un indépendant de maximum réglé dans graphe linéaire est identique que la taille d'un maximum de assortissant dans le graphique original. Graphe linéaire s'appelle également parfois le graphique de bord de , le graphique d'adjoint de , le graphique d'échange de , ou le graphique dérivé par du G .

Un des théorèmes les plus tôt et les plus importants au sujet de graphes linéaires est dû au Hassler Whitney (1932), qui a montré qu'avec un cas exceptionnel la structure de n'importe quel graphe connexe peut être récupérée complètement de son graphe linéaire.

Une bonne introduction à graphes linéaires est fournie par Brandstädt et autres (1999).

Exemple

Les figures suivantes montrent un graphique (est parti, avec des sommets rouges) et son graphe linéaire (droit, avec des sommets verts). Chaque sommet de graphe linéaire est montré marqué avec les paires de points finaux du bord correspondant dans le graphique original. Par exemple, le sommet vert sur les 1.3 marqués droits correspond au bord du côté gauche entre les sommets rouges 1 et 3.3 est à côté de trois autres sommets verts : 1.2 (correspondant aux bords partageant le point final 1 dans le graphique rouge) et 4.3 (correspondant à un bord partageant le point final 3 dans le graphique rouge).
de

Propriétés

Plusieurs des propriétés suivantes suivent immédiatement de la manière standard de laquelle graphes linéaires traduisent des propriétés au sujet des bords dans les graphiques aux propriétés au sujet des sommets.
Graphe linéaire d'un graphe connexe par est relié.
Graphe linéaire d'un graphique bipartite est le parfait (voir le théorème de König de ).
Le nombre chromatique de bord de d'un graphique est égal au nombre chromatique de sommet de de son graphe linéaire.
Graphe linéaire d'un graphique Bord-transitif est le sommet-transitif.
Excepté le cas de $K_3$ et de $K_ {1.3}$ , si graphes linéaires de deux graphes connexes sont le isomorphe puis les graphiques sont isomorphes (Whitney, 1932).
Chaque graphe linéaire est un graphique Griffe-libre .
Si un G de graphique a un cycle d'Euler de , c., si le G est relié et a un chiffre pair des bords à chaque sommet, alors graphe linéaire du G est le hamiltonien.

Caractérisation et identification

Un G de graphique est graphe linéaire d'un autre graphique, si et seulement s'il est possible de trouver une collection de cliques dans le G , divisant les bords du G , tels que chaque sommet du G appartient exactement à deux des cliques. Afin de faire ceci, il peut être que certaines des cliques soient des sommets simples. Par le résultat de Whitney (1932), si le G n'est pas une triangle, il peut y avoir seulement une cloison de ce type. Si une telle cloison existe, nous pouvons récupérer le graphique original pour lequel le G est graphe linéaire, en créant un sommet pour chaque clique, et en reliant deux cliques par un bord toutes les fois que le G contient un sommet appartenant aux deux cliques. Roussopoulos (1973) a employé cette observation comme base pour un algorithme linéaire de temps pour identifier graphes linéaires et reconstruire leurs graphiques d'original.

Par exemple, cette caractérisation peut être employée pour prouver que le graphique suivant n'est pas graphe linéaire :
de
Dans cet exemple, les bords allant vers le haut, vers la gauche, et vers la droite du sommet central de degré-quatre n'ont aucune clique en commun. Par conséquent, n'importe quelle cloison des bords du graphique dans des cliques devrait avoir au moins une clique pour chacun de ces trois bords, et ces trois cliques intersecteraient tout dans ce sommet central, violant la condition que chaque sommet apparaissent dans exactement deux cliques. Ainsi, le graphique montré n'est pas graphe linéaire.

Une caractérisation alternative de graphes linéaires a été prouvée par Beineke (1968, 1970). Il a prouvé qu'il y a neuf graphiques minimaux qui ne sont pas graphes linéaires, tels que n'importe quel graphique qui n'est pas graphe linéaire a un de ces neuf graphiques comme sous-graphe induit par . C'est-à-dire, un graphique est graphe linéaire si et seulement s'il aucun sous-ensemble de ses sommets induit un de ces neuf graphiques. Dans l'exemple ci-dessus, les quatre sommets le plus élevé induisent une griffe (c'est-à-dire, un bipartite complet K _1,3 de graphique ), montrée sur le gauche supérieur de l'illustration des sous-graphes interdits. Par conséquent, par la caractérisation de Beineke's, cet exemple ne peut pas être graphe linéaire.

Généralisations

Le concept de graphe linéaire du G peut naturellement être prolongé au cas où le G est un multigraphe, bien que dans l'unicité de ce Whitney de cas le théorème ne se tienne plus ; par exemple un bipartite complet K _{1, le n} de graphique a même graphe linéaire comme graphique dans lequel deux sommets sont reliés par un n - bord de tuple.

Il est également possible de généraliser graphes linéaires aux graphiques dirigés. Si le G est un graphique dirigé, son le graphe linéaire dirigé ou la ligne le digraphe a un sommet pour chaque bord du G . Deux sommets représentant les bords dirigés du u au v et du W au X dans le G sont reliés par un bord du UV au wx de dans la ligne digraphe quand le v = W . C'est-à-dire, chaque bord dans la ligne digraphe du G représente un chemin dirigé de longueur-deux dans le G . Les graphiques de De Bruijn de peuvent être constitués en répétant ce processus de former graphes linéaires dirigé, à partir d'un graphique dirigé complet (Zhang et Lin 1987).

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