Grandeur scalaire de Lorentz

Dans la physique un Lorentz scalaire est un scalaire qui est invariable sous une transformation de Lorentz de . Une grandeur scalaire de Lorentz est produite des vecteurs et des tenseurs. Tandis que les vecteurs et les tenseurs sont changés par des transformations de Lorentz, les grandeurs scalaires sont inchangées.

Grandeurs scalaires simples dans la relativité spéciale

La longueur d'un vecteur de position

Dans la relativité spéciale l'endroit d'une particule dans l'espace-temps dimensionnel du 4 est donné par sa ligne du monde de x^ de $de {\ MU} = (, de ct \ mathbf {x})$

là où = de $\ mathbf {x} \ mathbf {v} t$ est la position dans l'espace à trois dimensions de la particule, le $\ mathbf {v}$ est la vitesse dans l'espace à trois dimensions et le $c$ est la vitesse de la lumière .

Le " ; length" ; du vecteur est un Lorentz scalaire et est donné près

$x_ {\ MU} x^ {\ MU} = \ eta_ {\ MU \ NU} x^ {\ MU} x^ {\ NU} = (ct) ^2 - \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {} de x \ \ \ de stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ tau^2$

là où le $\ tau$ est des temps de c le temps approprié comme mesuré par une horloge dans l'armature de repos de la particule et du métrique est indiqué près = de $\ eta^ de {\ MU \ NU} \ eta_ {\ MU \ NU} = \ commencent {pmatrix} 1 et 0 et 0 et 0 \ \ 0 et -1 et 0 et 0 \ \ 0 et 0 et -1 et 0 \ \ 0 et 0 et 0 et -1 \ extrémité {pmatrix}$ .

C'est a temps-comme métrique. Souvent on emploie le Minkowski métrique dans lequel les signes de ceux sont renversés. = de $\ eta^ de {\ MU \ NU} \ eta_ {\ MU \ NU} = \ commencent {pmatrix} -1 et 0 et 0 et 0 \ \ 0 et 1 et 0 et 0 \ \ 0 et 0 et 1 et 0 \ \ 0 et 0 et 0 et 1 \ extrémité {pmatrix}$ .

C'est a espace-comme métrique. Dans métrique de Minkowski espace-comme le $s d'intervalle$ est défini As

$x_ {\ MU} x^ {\ MU} = \ eta_ {\ MU \ NU} x^ {\ MU} x^ {\ NU} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x} - (ct) ^2 \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ s^2$ .

Nous employons le Minkowski métrique dans le reste de cet article.

La longueur d'un vecteur de vitesse

La vitesse dans l'espace-temps est définie As

$v^ {\ MU} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {dx^} {\ MU \ au-dessus de d \ de tau}$ = = \ laissé (c {décollement \ au-dessus de d \ de tau}, {décollement \ au-dessus de d \ tau} {d \ mathbf {} de x \ au-dessus du décollement} \ droit) \ laissé (\ gamma, \ gamma {\ mathbf {} de v \ au-dessus de c} \ droit)

là où

${1 - mathbf {} de v \} de cdot \ mathbf {v} \ au-dessus du c^ }}}$ .

L'importance des 4 vitesses est un Lorentz scalaire et est sans un, v^ de v_ de $de {\ MU} {\ MU} = -1$ .

Les 4 vitesses sont donc, non seulement une représentation de la vitesse dans l'espace-temps, sont également un vecteur d'unité dans la direction de la position de la particule dans l'espace-temps.

Le produit intérieur de l'accélération et de la vitesse

L'accélération 4 est donnée près

$a^ {\ MU} \ \ stackrel {\ mathrm {def}} {=} \ {dv^} {\ MU \ au-dessus de d \ de tau}$ .

L'accélération 4 est toujours perpendiculaire aux 4 vitesses

$0 = {1 \ plus de 2} {d \ au-dessus de} de d \ tau \ laissé (v^ de v_ {\ MU} {\ MU} \ droit) = {d v_} {\ MU \ au-dessus de d \ de tau} v^ {\ MU} = v^ d'a_ {\ MU} {\ MU}$ .

Par conséquent, nous pouvons considérer l'accélération dans l'espace-temps comme simplement une rotation des 4 vitesses. Le produit intérieur de l'accélération et de la vitesse est un Lorentz scalaire et est zéro. Cette rotation est simplement une expression des économies d'énergie :

${d E \ au-dessus de d \ de tau} = \ mathbf {} de F \ cdot {\ mathbf {} de v \ au-dessus de c}$

là où le $E$ est l'énergie d'une particule et $\ mathbf {F}$ est la force 3 sur la particule.

Énergie, la masse de repos, élan 3, et 3 vitesses de l'élan 4

Voir 2, P. A espace-comme métrique est employé.

L'élan 4 d'une particule est le p^ de $de {\ MU} = = de v^ de m {\ MU} \ laissé (\ gamma m, \ gamma {m \ mathbf {} de v \ au-dessus de c} \) = droit \ laissé (\ gamma m, {\ mathbf {} de p \ au-dessus de c} \ droit) = \ est parti ({E \ au-dessus de c^2}, {\ mathbf {} de p \ au-dessus de c} \)$ droit

là où le $m$ est la masse de repos de particules, le $\ mathbf {p}$ est l'élan dans l'espace 3, et = de $de E \ gamma m c^2$

est l'énergie de la particule.

Mesure de l'énergie d'une particule

Considérer une deuxième particule avec le $u$ de 4 vitesses et un $de 3 vitesses \ mathbf {u} _2$ . Dans l'armature de repos de la deuxième particule le produit intérieur du $u$ avec le $p$ est proportionnel à l'énergie de la première particule u^ de p_ de $de {\ MU} {\ MU} = - {E_1 \ au-dessus de c^2}$

là où le 1 souscrit indique la première particule.

Puisque le rapport est vrai dans l'armature de repos de la deuxième particule, il est vrai dans n'importe quelle armature de référence. Le $E_1$ , l'énergie de la première particule dans l'armature de la deuxième particule, est une grandeur scalaire de Lorentz. Par conséquent = du $de {E_1 \ au-dessus de c^2} \ - de gamma_1 \ gamma_2 m_1 \ gamma_2 \ mathbf {p} _1 \ cdot \ mathbf {u} _2$

dans toute armature de référence intertial, où le $E_1$ est toujours l'énergie de la première particule dans l'armature de la deuxième particule.

Mesure de la masse de repos de la particule

Dans l'armature de repos de la particule le produit intérieur de l'élan est

p^ de p_ de ${\ MU} {\ MU} = - m^2$ .

Par conséquent le $m^2$ est une grandeur scalaire de Lorentz. Le rapport demeure indépendant vrai de l'armature dans laquelle le produit intérieur est calculé.

Mesure de l'élan 3 de la particule

Noter cela

$\ parti (u^ de p_ {\ MU} {\ MU} \ droit) ^2 + p_ {\ MU} p^ {\ MU} = {E_1^2 \ au-dessus de c^4} - m^2 = \ parti (\ gamma_1^2 -1 \ droit) m^2 = \ gamma_1^2 {{\ mathbf {v}} mathbf {v} de _1 \ cdot \ _1 \ au-dessus c^2} m^2 du = \ mathbf {p} _1 \ cdot \ mathbf {p} _1$ .

La place de l'importance de l'élan 3 de la particule comme mesuré dans l'armature de la deuxième particule est une grandeur scalaire de Lorentz.

Mesure des 3 vitesses de la particule

Les 3 vitesses, dans l'armature de la deuxième particule, peuvent être construites de deux grandeurs scalaires de Lorentz

$v_1^2 = \ mathbf {v} _1 \ cdot \ mathbf {v} _1 = {{\ mathbf {p}} de _1 \ cdot \ mathbf {p} _1 c^6 \ plus de {E_1^2}}$ .

Des grandeurs scalaires plus compliquées

Des grandeurs scalaires peuvent également être construites des tenseurs et des vecteurs, de la contraction des tenseurs, ou des combinaisons des contractions des tenseurs et des vecteurs.

Voir également

transport de Fermi-Marcheur de de
d'Albert Einstein de

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