Gerbe injective

Dans les mathématiques , les gerbes injectives de groupes abéliens sont employées pour construire les résolutions requises pour définir le cohomology de gerbe de (et d'autres functors dérivés par tel qu'ext.

Il y a un nouveau groupe de concepts relatifs appliqués aux gerbes : mou flasque en français), fin, doux MOU en français), acyclique (de (de . Dans l'histoire du sujet elles ont été présentées avant les 1957 papiers de « Tohoku » du Alexandre Grothendieck , qui a prouvé que la notion abélienne de la catégorie de l'objet injectif de a suffi pour fonder la théorie. Les autres classes des gerbes sont historiquement des notions plus anciennes. Le cadre abstrait de définir le cohomology et les functors dérivés fait ad hoc pour ne pas avoir besoin de eux. Cependant, dans la plupart des situations concrètes, il est souvent plus facile construire des résolutions par les gerbes acycliques. Les gerbes acycliques servent donc aux buts informatiques, par exemple l'ordre spectral de Leray de .

Gerbes injectives

Un injectif F de la gerbe est juste une gerbe qui est un élément injectif du de la catégorie des gerbes abéliennes ; en d'autres termes, des homomorphisms du A au F peuvent toujours être soulevés à n'importe quel B de gerbe contenant le A .

La catégorie des gerbes abéliennes a assez d'éléments injectifs : ceci signifie que n'importe quelle gerbe est un subsheaf d'une gerbe injective. Ce résultat de Grothendieck suit de l'existence d'un générateur la catégorie (il peut noter explicitement, et est lié au classificateur de Subobject de ). C'est assez pour prouver que les functors dérivés droits de n'importe quel functor exact gauche existent et sont uniques jusqu'à l'isomorphisme canonique.

Pour des buts techniques, les gerbes injectives sont habituellement supérieures aux autres classes des gerbes mentionnées ci-dessus : elles peuvent faire presque n'importe quoi que les autres classes peuvent faire, et leur théorie est plus simple et plus générale. En fait, les gerbes injectives sont molles (flasque de ), molles, et acycliques. Cependant, il y a des situations où les autres classes des gerbes se produisent naturellement, et c'est particulièrement vraie dans des situations informatiques concrètes.

Le concept duel des gerbes projectives n'est pas employé beaucoup, parce que dans une catégorie générale des gerbes il n'y a pas assez de elles : non chaque gerbe est le quotient d'une gerbe projective, et en particulier les résolutions projectives n'existent pas toujours. C'est le cas, par exemple, en regardant la catégorie des gerbes sur l'espace projectif dans la topologie de Zariski. Ceci pose des problèmes en essayant de définir à gauche a dérivé des functors d'un functor exact droit (tels que le massif de roche). Ceci peut parfois être fait par des moyens ad hoc : par exemple, les functors dérivés gauches du massif de roche peuvent être définis using une résolution plate plutôt que projective, mais elle prend un certain travail pour prouver que c'est indépendant de la résolution. Non toutes les catégories des gerbes rencontrent ce problème ; par exemple, la catégorie des gerbes sur un affinent l'arrangement contient assez de projectives.

Gerbes acycliques

Un acyclique de la gerbe F au-dessus du X est un tels que tous les groupes plus élevés de cohomology de gerbe disparaissent.

Les groupes de cohomology de n'importe quelle gerbe peuvent être calculés à partir de n'importe quelle résolution acyclique de elle (ceci va par le nom du théorème de De Rham-Weil de ).

Gerbes fines

Une gerbe d'amende de au-dessus du X est une avec le " ; Cloisons de de " de l'unité ; ; plus avec précision pour couverture ouverte du X de l'espace nous en pouvons trouver une famille des homomorphisms de la gerbe à elle-même avec la somme 1 tels que chaque homomorphisme est 0 extérieurs un certain élément de la couverture ouverte.

Des gerbes fines habituellement sont seulement utilisées au-dessus du X des espaces de Paracompact Hausdorff de . Les exemples typiques sont la gerbe de vraies fonctions continues au-dessus d'un tel espace, ou des fonctions douces au-dessus (paracompact Hausdorff) d'une tubulure douce, ou des modules au-dessus de ces gerbes d'anneaux.

Les gerbes fines au-dessus des espaces de Hausdorff de paracompact sont molles et acycliques.

Comme application, considérer un vrai le divers X de . Il y a la résolution suivante du ℝ constant de gerbe par les gerbes fines de formes (douces) de différentiel de : → 0 de C^{dim X}_X de → de → du → C¹_X du → C⁰_X de ℝ de → du
0 de
… C'est une résolution, c. un complexe exact des gerbes par le lemme de Poincaré de . Le cohomology du X avec des valeurs dans le ℝ peut est ainsi calculé par le cohomology du complexe des formes différentielles globalement définies :
Hⁱ (X, ℝ) de
= Hⁱ (C^·_X(X)).

Gerbes molles

Un mou de la gerbe F au-dessus du X est un tels que n'importe quelle section au-dessus de n'importe quel a clôturé le sous-ensemble de X peut être prolongé à une section globale.

Les gerbes molles sont acycliques au-dessus des espaces de Hausdorff de paracompact.

Flasque ou gerbes molles

Une gerbe de flasque de (également appelé un la gerbe molle ) est un

de la gerbe \ {F}

mathcal avec la propriété suivante : si

X

est l'espace topologique bas sur lequel la gerbe est définie et

U de  \ sous-ensemble V \ sous-ensemble X

sont les sous-ensembles ouverts puis la carte de restriction de $r_ de {V \ sous-ensemble U} : \ Gamma (V, \ {F}) mathcal \ \ gamma (U, \ mathcal {F})$

est le surjectif, car une carte de groupe (le sonne , modules , etc.

Les gerbes de Flasque sont utiles parce que (par définition) les sections de elles se prolongent. Ceci signifie qu'elles sont certaines des gerbes les plus simples à manipuler en termes d'algèbre homologique . N'importe quelle gerbe a un encastrement canonique dans la gerbe de flasque tout probablement de sections discontinues de l'espace d'étale, et en répétant ceci nous pouvons trouver une résolution canonique de flasque pour n'importe quelle gerbe. Les résolutions , c., les résolutions de Flasque de de à l'aide des gerbes de flasque, sont une approche à définir le cohomology de gerbe de .

Le Flasque est un mot français du , celui a été parfois traduit en anglais comme mou.

Les gerbes molles sont molles et acycliques.

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