Gerbe
Dans les mathématiques , un gerbe est une construction dans l'algèbre homologique et la topologie . Gerbes ont été présentés par le Jean Giraud après des idées de Alexandre Grothendieck comme outil pour le non commutatif Cohomology en degré 2. Elles peuvent être vues comme généralisation des paquets de principal de à l'arrangement des catégories du 2. Gerbes fournissent, la langue commode, si fortement abstraite pour traiter beaucoup de types de questions de déformation particulièrement dans la géométrie algébrique moderne. En outre, des caisses spéciales de gerbes ont été employées plus récemment dans la topologie différentielle et la géométrie différentielle pour donner des descriptions alternatives à certaines classes de cohomology et à structures additionnelles attachées à elles.
Définitions
Gerbe
Un gerbe sur un X de l'espace topologique est un G de la pile du Groupoids au-dessus du X qui est le localement non vide (chaque point dans le X a un ouvert U dont de voisinage au-dessus le G ( U ) de catégorie de section du gerbe n'est pas vide) et le transitif (pour n'importe quel de deux objets un et b du G ( U ) pour en ouvre le réglé U , il y a un ensemble ouvert V à l'intérieur d'U tels que les restrictions du un et du b à V sont reliés par au moins un morphism).
Un exemple canonique est le gerbe des paquets de principal de avec un fixe H de groupe de structure : la catégorie de section au-dessus d'un ouvert U d'ensemble est la catégorie du principal H - paquets sur le U avec l'isomorphisme comme morphisms (ainsi la catégorie est un groupoid). Pendant que principal la colle de paquets ensemble (remplir la condition de descente), ces groupoids forment une pile. Le insignifiant du X X de paquet H au-dessus du X prouve que l'état local de non-vide est satisfaisant, et finalement car les principaux paquets sont localement insignifiants, ils deviennent isomorphes une fois limités suffisamment à petit ouvrent des ensembles ; ainsi la condition de transitivité est aussi bien satisfaite.
Bande
Bande d'un gerbe La forme commutative
Bande en général
Gerbe bondissent par une bande
Cohomology non commutatif
Définition en termes de Torsors (degré 1) et gerbes (degré 2) Cocycles de Čech
Propriétés principales
Degree-1 assortit la définition cocycle-basée habituelle
Degree-2 assortit le cohomology standard de gerbe quand les coefficients sont abéliens
Long exact ordre associé court exact ordre de bande se prolonge à et à mathcal si la première bande est abélienne.
Exemples
La géométrie algébrique
Algèbres d'Azumaya de * Déformations des agents d'épaississement infinitestimal Formes Twisted de variétés projectives
Functors de fibre de pour les motifs
La géométrie différentielle
et -gerbes mathcal : approche de s de Brylinski Jean-Luc '
Histoire
Gerbes est apparu la première fois dans le cadre de la géométrie algébrique . Ils ont été plus tard développés dans un cadre géométrique plus traditionnel par Brylinski. On peut penser aux gerbes en tant qu'étant une étape normale dans une hiérarchie des objets mathématiques fournissant des réalisations géométriques des classes intégrales de Cohomology .
Une notion plus spécialisée de gerbe a été présentée par le Murray et a appelé les gerbes de paquet de . Essentiellement ils sont une version douce du des gerbes abéliens appartenant davantage à la hiérarchie commençant par les paquets de principal de que des gerbes. Des gerbes de paquet ont été employés dans la théorie de mesure de et également la théorie de corde de . Le travail courant à côté de d'autres développe une théorie des gerbes Non-abéliens de paquet de
.
| Random links: | Pêche de sport | Chandra | Lecture de vitesse | Chasse à mâle | Gerbe |