Functor étourdi

Dans les mathématiques , dans le secteur de la théorie de catégorie de , un functor étourdi est un type de Functor . La nomenclature est suggestive d'un comportement de tels functor : donné un certain objet avec la structure comme entrée, une partie ou la structure ou les propriétés de tout les objet « est oubliée » dans le rendement. Pour une structure algébrique du d'une signature donnée , ceci peut être exprimé en raccourcissant la signature d'une manière quelconque : la nouvelle signature est une forme éditée de la vieille. Si la signature est laissée comme liste vide , le functor est simplement de prendre l'ensemble étant à la base d'une structure ; c'est en fait le cas le plus commun.

Par exemple, il y a plusieurs functors étourdis de la catégorie des anneaux commutatifs . L'anneau d'A ( Unital ), décrit dans la langue de l'algèbre universelle , est axiomes satisfaisants commandés d'un tuple (le R , +, *, le un , le m , 0.1) certains, où " ; +" ; et " ; *" ; sont les fonctions binaires sur le R d'ensemble, le un et le m sont des opérations unaires correspondant à l'inverse additif et multiplicatif, et 0 et 1 sont des opérations nullary donnant les identités des deux opérations binaires. La suppression du 1 donne un functor étourdi à la catégorie des anneaux sans unité ; il simplement " ; forgets" ; l'unité. Suppression du " ; *" ; , m , et rendements 1 un functor à la catégorie des groupes abéliens qui assigne à chaque R d'anneau le groupe abélien additif fondamental de R . À chaque Morphism des anneaux est assigné la même fonction considérée simplement qu'un morphism d'addition entre les groupes fondamentaux. La suppression de toutes les opérations donne le functor au réglé étant à la base R .

Il est salutaire de distinguer les functors étourdis qui " ; oublier le structure" ; contre ceux qui " ; oublier le properties" ;. Par exemple, dans l'exemple ci-dessus des anneaux commutatifs, en plus de ces functors qui suppriment certaines des opérations, il y a des functors qui oublient certains des axiomes. Il y a un functor du CRng de catégorie au Rng qui oublie l'axiome du commutativity, mais aux subsistances toutes les opérations. De temps en temps l'objet peut inclure les ensembles de frais supplémentaires non définis strictement en termes d'ensemble étant à la base (dans ce cas-ci, c'est une question de goût qui pièce pour considérer l'ensemble étant à la base, bien que ce soit rarement ambigu dans la pratique). Pour ces objets, il y a des functors étourdis qui oublient les ensembles supplémentaires qui sont plus généraux.

La plupart des objets communs étudiés dans les mathématiques sont construits en tant qu'ensembles étant à la base avec les ensembles supplémentaires de structure sur ces ensembles (opérations sur l'ensemble étant à la base, les sous-ensembles privilégiés de l'ensemble étant à la base, etc.) qui peuvent satisfaire quelques axiomes. Pour ces objets, un functor étourdi généralement considéré est comme suit. Laisser le $\ {C}$ mathcal soit n'importe quelle catégorie basée sur les groupes - ensembles de des ensembles par exemple d'éléments - ou les espaces topologiques - ensembles de de « points ». Comme d'habitude, écrire le $\ operatorname {Ob} (\ mathcal {C})$ pour le objecte de $\ {C} de$ mathcal et écrit le $\ operatorname {la Floride} (\ mathcal {C})$ pour les morphisms de la même chose. Considérer la règle :
$A$ de
dans, de $\ operatorname {Ob} (\ mathcal {C}) \ quadruple A \ mapsto |A|=$ l'ensemble étant à la base de $A, u de$ dans le $\, de l'operatorname {la Floride} (\ mathcal {C}) \ quadruple u \ mapsto |u|=$ le morphism, $u$ , comme carte des ensembles. Le $de functor|\ ; \ ; |$ est alors le functor étourdi du $\ {C} du$ mathcal au $\ au mathbf {placer}$ , la catégorie de des ensembles .

Les functors étourdis sont presque toujours le fidèle. Les catégories concrètes ont des functors étourdis à la catégorie des ensembles -- en effet elles peuvent être définis par en tant que ces catégories qui admettent un functor fidèle à cette catégorie.

Les functors étourdis qui oublient seulement des axiomes sont toujours entièrement fidèles ; chaque morphism qui respecte la structure entre les objets qui satisfont les axiomes automatiquement également respecte les axiomes. Les functors étourdis qui oublient des structures n'ont pas besoin d'être pleins ; il y a des morphisms qui ne respectent pas la structure. Ces functors sont encore fidèles cependant ; les morphisms distincts qui respectent la structure sont encore distincts quand la structure est oubliée. Functors qui oublient les ensembles supplémentaires n'a pas besoin d'être fidèle ; les morphisms distincts respectant la structure de ces ensembles supplémentaires peuvent être indistinguibles sur l'ensemble étant à la base.

Dans la langue de la logique formelle, un functor de la première sorte est un qui enlève des axiomes. Un de la deuxième sorte sont ceux qui enlève des attributs. La troisième sorte sont ceux qui enlève des types.

Un exemple du premier genre de &rarr étourdi du ab de functor ; Grp . Un de la deuxième sorte est le &rarr étourdi du ab de functor ; réglé. Un functor de la troisième sorte est le &rarr de mod de functor ; ab , où mod est la catégorie de Fibred de de tous les modules au-dessus d'anneau arbitraire. Pour voir ceci, choisir juste un homomorphisme d'anneau entre les anneaux fondamentaux qui ne change pas l'action d'anneau. Sous le functor étourdi, ce morphism rapporte l'identité. Noter qu'un objet dans mod est un tuple qui inclut un anneau et un groupe abélien, ainsi c'est une question de goût qui pour oublier.

Adjoint gauche : Libre

Les functors étourdis tendent à avoir les adjoints laissés par qui sont des constructions du « libre ». Par exemple :
Module libre : le functor étourdi du

\ du mathbf {mod} (R)

(la catégorie de module de

R

-) au

\ au mathbf {placer}

a laissé le

d'adjoint \ operatorname _R

{libre}, avec le _R {libre} de

X \ mapsto \ operatorname (X)

, le

R

-module libre avec base

X

de .
Groupe libre
Trellis libre
Algèbre de tenseur de

Pour une liste plus étendue, voir (ruelle 1997 de Mac).

En tant que ceci un exemple fondamental des adjoints, nous l'orthographions dehors : l'adjointness signifie que donné un X d'ensemble et un M , d'objet (dire, un R - module) de cartes de $X des ensembles \ à M$ correspondre aux cartes du $de modules \ du _R {libre} d'operatorname (X) \ à M$ : chaque carte des ensembles rapporte une carte des modules, et chaque carte des modules vient d'une carte des ensembles.

Dans le cas des espaces de vecteur, ceci est récapitulé comme : " ; Une carte entre les espaces de vecteur est déterminée par où elle envoie une base, et une base peut être tracée à anything." ;

Symboliquement : , du _ de $\ operatorname de {Hom} {\ _R de mathbf {mod}} (\ _R {libre} d'operatorname (X), M) = \ _ d'operatorname {Hom} {\ mathbf {placer}} (X \ operatorname {oublier} (m))$

Le counit de de l'adjonction de libre-oublier est le " ; inclusion d'un basis" ; : $X \ \ _R {libre} d'operatorname (X)$ .

Le Fld , la catégorie des champs, fournit un exemple d'un functor étourdi sans l'adjoint. Il n'y a aucun champ satisfaisant une propriété universelle libre pour un ensemble donné.

Random links: