Functor

Dans la théorie de catégorie de , une branche des mathématiques , un functor est un type spécial de cartographie entre les catégories. Functors peut être considéré comme le Morphisms dans la catégorie de des petites catégories .

Functors ont été considérés la première fois dans la topologie algébrique , où des objets algébriques (comme le groupe fondamental ) sont associés aux espaces topologiques et au algébrique Homomorphisms sont associés aux cartes continues du . De nos jours, des functors sont employés dans toutes des mathématiques modernes pour rapporter de diverses catégories. Le " de mot ; functor" ; a été emprunté par des mathématiciens à la ruelle de de Carnap de philosophe, P. Carnap a employé le " de limite ; functor" ; pour se tenir par rapport aux fonctions de façon analogue comme attributs se tenir par rapport aux propriétés. Carnap, la syntaxe logique de la langue, p.13-14, 1937, Routledge et Kegan Paul. Pour Carnap alors, à la différence de l'utilisation de la théorie moderne de catégorie de la limite, un functor est un article linguistique. Pour des théoriciens de catégorie, un functor est un genre particulier de fonction.

Définition

Laisser le C et le D être les catégories . Un du functor F du C au D est une cartographie de ce
associés à chaque $X\; d\text{'}objet\; \backslash \; dans\; C$ un $F\; d\text{'}objet\; (X)\; \backslash \; dans\; D$,
associés à chaque $f\; de\; morphism\; :\; X\; \backslash \; rightarrow\; Y\; \backslash \; dans\; C$ un $F\; de\; morphism\; (f)\; :\; F\; (X)\; \backslash \; rightarrow\; F\; (Y)\; \backslash \; dans\; D$ tels que deux la prise suivante des états de concordance de :
$F\; (id\_\; \{X\})\; =\; id\_\; \{F\; (X)\}$ pour chaque $X\; d\text{'}objet\; \backslash \; dans\; C$
$F\; (g\; \backslash \; circ\; f)\; =\; F\; (g)\; \backslash \; circ\; F\; (f)$ pour tout le $f\; de\; morphisms\; :\; X\; \backslash \; rightarrow\; Y$ et $g\; :\; Y\; \backslash \; rightarrow\; Z.$

C'est-à-dire, les functors doivent préserver les morphisms d'identité et la composition des morphisms.

Un functor d'une catégorie à lui-même s'appelle un endofunctor .

Covariance et contravariance

Il y a beaucoup de constructions dans les mathématiques qui seraient des functors mais pour le fait ce ils " ; tourner l'around" de morphisms ; et " ; composition" renversé ;. Nous définissons alors un contravariant du functor F du C au D en tant que cartographie de ce
associés à chaque $X\; d\text{'}objet\; \backslash \; dans\; C$ un $F\; d\text{'}objet\; (X)\; \backslash \; dans\; D,$
associés à chaque $f\; demorphism:\; X\; \backslash \; rightarrow\; Y\; \backslash \; dans\; C$ un $F\; de\; morphism\; (f)\; :\; F\; (Y)\; \backslash \; rightarrow\; F\; (X)\; \backslash \; dans\; D$ tels que
=id_ de $F\; (id\_X)\; \{F\; (X)\}$ pour chaque $X\; d\text{'}objet\; \backslash \; dans\; C$,
$F\; (g\; \backslash \; circ\; f)\; =\; F\; (f)\; \backslash \; circ\; F\; (g)$ pour tout le $f\; de\; morphisms\; :\; X\; \backslash \; rightarrow\; Y$ et $g\; :\; Y\; \backslash \; rightarrow\; Z.$

Noter que les functors contravariant renversent la direction de composition.

Des functors ordinaires s'appellent également les functors de covariant de afin de les distinguer de le contravariant. Noter qu'on peut également définir un functor contravariant comme functor du covariant de sur le $C^\; duel\; de\; la\; catégorie$ {op}. Quelques auteurs préfèrent écrire toutes les expressions covariantly. C'est-à-dire, au lieu de dire le $F\; :\; C\; \backslash \; rightarrow\; D$ est un functor contravariant, ils écrivent simplement le $F\; :\; C^\; \{op\}\; \backslash \; rightarrow\; D$ (ou parfois $F\; :\; C\; \backslash \; rightarrow\; D^$ {op}) et l'appellent un functor.

Des functors de Contravariant s'appellent également de temps en temps les cofunctors de .

Exemples

Functor constant de : le &rarr du C de functor ; Le D est un qui trace chaque objet du C à un fixe d'objet X dans le D et chaque morphism dans le C au morphism d'identité sur le X . Un tel functor s'appelle un functor constant du choix de ou de .

Functor diagonal : Le functor diagonal est défini comme functor du D au C de ^{du D de catégorie de functor qui envoie chaque objet dans le D au functor constant à cet objet.}

Functor de limite de : Pour un fixe J de la catégorie d'index de , si chaque C de → du J de functor a une limite (par exemple si le C est complet), puis le C du J → de ^{du C de functor de limite assigne à chaque functor sa limite. L'existence de ce functor peut être prouvée en se rendant compte qu'il est le droit-adjoint au functor diagonal et à appeler le théorème de functor d'adjoint de Freyd. Ceci exige une version appropriée de l'axiome de du choix . Les remarques semblables s'appliquent au functor de colimit (qui est covariant).}

Ensembles de puissance de : le réglé P de functor de puissance : &rarr réglé du ; Le réglé trace chaque ensemble à sa puissance réglé de et chaque $f\; de\; fonction\; :\; X\; \backslash \; à\; Y$ à la carte qui envoie le $U\; \backslash \; subseteq\; X$ à son $f\; d\text{'}image\; (U)\; \backslash \; subseteq\; Y$. On peut également considérer la puissance contravariant le functor réglé qui envoie le f à la carte qui envoie le U à son image inverse dans le Y .

L'espace de vecteur duel de : la carte qui assigne à chaque espace de vecteur son espace duel et à chaque carte linéaire son duel ou transposent sont un functor contravariant de la catégorie de tous les espaces de vecteur au-dessus d'un champ fixe à lui-même.

Groupe fondamental de : considèrent la catégorie des espaces topologiques topologiques dirigés par des espaces c. avec les points distingués. Les objets sont des paires ( X , X ₀), où le X est un espace topologique et le X ₀ est un point dans le X . Un morphism de ( X , X ₀) ( Y , y ₀) est donné par un continu f de carte du : &rarr du X ; Y avec le f ( X ₀) = y ₀.

À chaque de l'espace topologique X avec le distingué X ₀, un de point peut définir le groupe fondamental basé au X ₀, &pi dénoté ; ₁ ( X , X ₀). C'est le groupe de classes de Homotopy des boucles basées au X ₀. Si f : &rarr du X ; Le morphism du Y des espaces dirigés par alors chaque boucle dans le X avec le bas X ₀ de point peut se composer avec le f pour rapporter une boucle dans le Y avec le bas y ₀ de point. Cette opération est compatible avec la relation d'équivalence homotopy et la composition des boucles, et nous obtenons un homomorphisme de groupe de du &pi ; ( X , X ₀) au &pi ; ( Y , y ₀). Nous obtenons ainsi un functor de la catégorie des espaces topologiques aigus à la catégorie de des groupes .

Dans la catégorie des espaces topologiques (sans point distingué), on considère les classes homotopy des courbes génériques, mais elles ne peuvent pas se composer à moins qu'elles partagent un point final. Ainsi on a le fondamental Groupoid au lieu du groupe fondamental, et cette construction est functorial.

Algèbre de des fonctions continues : un functor contravariant de la catégorie des espaces topologiques (avec les cartes continues comme morphisms) à la catégorie des algèbres associatives de vrai est donné en assignant à chaque X de l'espace topologique l'algèbre C ( X ) de toutes les fonctions continues à valeurs réelles sur cet espace. Chaque continu f de carte : &rarr du X ; Le Y induit un homomorphisme C ( f ) d'algèbre de : &RARR DE C ( Y ) ; C ( X ) par la règle C ( f ) (&phi ;) = &phi ; d'o f pour chaque &phi ; dans C ( Y ).

Paquets de tangente et de cotangent de : la carte qui envoie à chaque la tubulure différentiable à son paquet de tangente de et chaque la carte que lisse à son dérivé est un functor de covariant de la catégorie des tubulures différentiables à la catégorie du vecteur de empaquette de même, la carte qui envoie chaque tubulure différentiable à son paquet de Cotangent de et chaque carte lisse à son retrait est un functor contravariant.

Faire le pointwise de ces constructions donne le covariant et les functors contravariant de la catégorie des tubulures différentiables aiguës à la catégorie des vrais espaces de vecteur.

Actions de groupe de /représentations : chaque G du groupe peut être considéré comme catégorie avec un objet simple. Un functor du G au réglé n'est rien mais une action de groupe du G sur un ensemble particulier, c. De même, un functor du G à la catégorie de des espaces de vecteur , le K de _{de Vect , est une représentation linéaire du G . Généralement un &rarr du G de functor ; Le C peut être considéré comme " ; action" ; du G sur un objet dans le C de catégorie.}

Algèbres de Lie de : assignant à chaque vrai groupe de Lie (complexe) sa vraie algèbre de Lie (complexe) définit un functor.

Produits de tenseur de : si le C dénote la catégorie des espaces de vecteur au-dessus d'un champ fixe, avec les cartes linéaires comme morphisms, alors $V\; du\; produit\; de\; tenseur\; \backslash \; otimes\; W$ définit des × du C un de functor ; &rarr du C ; C qui est covariant dans les deux arguments.

Functors étourdis de : le U de functor : Grp → Le réglé qui trace un groupe à son ensemble étant à la base et un homomorphisme de groupe de à sa fonction fondamentale des ensembles est un functor. Functors aiment ces derniers, qui " ; forget" ; une certaine structure, se nomment les functors étourdis '. Un autre exemple est le &rarr de Rng de functor ; ab qui trace un anneau à son groupe abélien additif fondamental. Morphisms dans le Rng (les homomorphisms d'anneau de deviennent des morphisms dans le ab (homomorphisms de groupe abélien).

Functors libres de : allant dans la direction opposée des functors étourdis sont des functors libres. Le libre du functor F : &rarr réglé du ; Le Grp envoie chaque de l'ensemble X au groupe libre produit par le de X. Les fonctions obtiennent tracées pour grouper des homomorphisms entre les groupes libres. Les constructions libres existent pour beaucoup de catégories basées sur les ensembles structurés.

Groupes d'homomorphisme de : à chaque des paires A, de B des groupes abéliens un de peut assigner le groupe abélien Hom ( de A, de B) se composant de tous les homomorphisms de groupe de de A au de B. C'est un functor qui est contravariant dans le premier et le covariant dans le deuxième argument, c. c'est des × du ab un ^op de functor ; &rarr du ab ; ab (où le ab dénote la catégorie de des groupes abéliens avec des homomorphisms de groupe). Si de f : &rarr du ₁ de A ; ₂ de A et de g : &rarr du ₁ de B ; Le ₂ de B sont des morphisms dans le ab , puis l'homomorphisme Hom ( de f, de groupe de g) : &rarr de Hom ( ₂ de A, ₁ de B) ; Hom ( ₁ de A, ₂ de B) est donné par &phi ; &phi du o du $\backslash \; mapsto$ g ; d'o f. Voir le functor de Hom de .

Functors représentables de : nous pouvons généraliser l'exemple précédent à n'importe quel de la catégorie C. À chaque des paires X, le de Y des objets dans le un de C peut assigner l'ensemble Hom ( de X, de Y) de morphisms de de X au de Y. Ceci définit un functor au réglé qui est contravariant dans le premiers argument et covariant dans la seconde, c. c'est des × du un ^op du functor C ; &rarr de de C ; réglé. Si de f : &rarr du ₁ de X ; ₂ de X et de g : &rarr du ₁ de Y ; Le ₂ de Y sont des morphisms dans le de C, puis l'homomorphisme Hom ( de f, de groupe de g) : &rarr de Hom ( ₂ de X, ₁ de Y) ; Hom ( ₁ de X, ₂ de Y) est donné par &phi ; &phi du o du $\backslash \; mapsto$ g ; d'o f.

Functors comme ces derniers s'appellent les functors représentables qu'un but important dans beaucoup d'arrangements est de déterminer si un functor donné est représentable.

Presheaves : si le de X est un espace topologique , puis les ensembles ouverts sous la forme de de X un a partiellement commandé réglé ouvert ( de X) sous l'inclusion. Comme chaque ensemble partiellement commandé, ouvrir les formes (de de X) une petite catégorie en ajoutant un &rarr simple de de la flèche U ; de V si et seulement si $U\; \backslash \; subseteq\; V$. Des functors de Contravariant sur ouvert ( de X) s'appellent le des presheaves de sur le de X. Par exemple, en assignant à chaque ouvert de l'ensemble U l'algèbre associative des fonctions continues à valeurs réelles sur le de U, on obtient un presheaf des algèbres sur le de X.

Propriétés

Deux conséquences importantes des axiomes de functor sont :
Le F transforme chaque diagramme commutatif dans le C en diagramme commutatif dans le D ;
si le f est un isomorphisme dans le C , alors le F ( f ) est un isomorphisme dans le D .

Sur n'importe quel C de catégorie on peut définir le C du functor 1 _{d'identité de qui trace chaque objet et morphism à lui-même. On peut également composer des functors, c. si le F est un functor du A à du B et à du G est un functor du B au C alors un peut former le composé de functor GF du A au C . La composition des functors est associative où définie. Ceci prouve que des functors peuvent être considérés comme morphisms dans les catégories des catégories.}

Une petite catégorie avec un objet simple est la même chose comme monoîde : les morphisms d'une catégorie d'un-objet peuvent être considérés comme des éléments du monoîde, et la composition dans la catégorie est considérée comme opération de monoîde. Functors entre les catégories d'un-objet correspondent au Homomorphisms de monoîde tellement dans une certaine mesure, des functors entre les catégories arbitraires sont un genre de généralisation des homomorphisms de monoîde aux catégories avec plus d'un objet.

Bifunctors

Un bifunctor est une généralisation du concept de functor à « deux variables ». Le functor de Hom de est un exemple normal, et est contravariant dans une variable, covariant dans l'autre.

Relation à d'autres concepts catégoriques

Laisser le C et le D être des catégories. La collection de toute la forme du D de → du C de functors les objets d'une catégorie : la catégorie de Functor de . Morphisms dans cette catégorie sont les transformations normales entre les functors.

Functors sont souvent définis par les propriétés universelles ; les exemples sont le produit de tenseur , la somme directe et le produit direct des groupes ou des espaces de vecteur, la construction des groupes et des modules libres, le direct et les limites inverses du . Les concepts de la limite et du colimit généralisent plusieurs de ce qui précède.

Les constructions universelles provoquent souvent des paires de functors d'Adjoint de .

Voir également

Functor additif : un functor entre les catégories dont hom-a placé sont les groupes abéliens de que est additif si c'est un groupe l'homomorphisme du hom-a placé
Adjoint functors : le F de functors et le G sont adjoint si &cong de Hom ( FX , Y ) ; Hom ( X , GY ), où l'isomorphisme est normal dans le X et le Y
Functor dérivé par : l'image d'un ordre exact de short de sous un functor qui est seulement moitié-exact peut être prolongée à un long ordre exact , les objets de dont sont les images d'un functor dérivé
Le a enrichi le functor
De functor surjectif essentiellement : un functor chaque objet lequel du codomain est isomorphe à l'image d'un objet dans le domaine
Functor exact : un functor qui prend à les ordres exacts courts aux ordres exacts courts
Functor fidèle : un functor qui est le injectif sur l'ensemble de morphisms avec le domaine et le codomain donnés
Plein functor : un functor qui est le surjectif sur l'ensemble de morphisms avec le domaine et le codomain donnés
Prolongation de Kan de
Functor lisse : un de functor F du K - Vect à K - Vect tels que le → Hom ( FV , FW ) de Hom ( V , W ) est le lisse. Les exemples incluent le V *, le V , le V du k de Λ ^{du k} de Σ et semblable.

Random links:

Carrigaline | Site Web de socialiste du monde | Soulèvement biologique | Fest Noz | Shaun McNally | Functor

© 2007-2009 encyclopediefrancaise.com; le texte de cet article est distribué sous les termes de GFDL; en.wikipedia.org