Fraction continue

Dans les mathématiques , un la fraction continue est une expression comme $x de = a_0 + \ cfrac {1} {a_1 + \ cfrac {1} {a_2 + \ cfrac {1} {a_3 + \ cfrac {1} {\ ddots \,}}}}$

là où le un ₀ est un certain nombre entier et tout l'autre de nombres un n de _{de sont des nombres entiers positifs du . De plus longues expressions sont définies de façon analogue. Si les numérateurs partiels et les dénominateurs partiels sont permis d'assumer les valeurs arbitraires, qui peuvent dans quelques contextes inclure les fonctions que l'expression en résultant est une fraction continue généralisée par . Quand il est nécessaire de distinguer le format standard ci-dessus des fractions continues généralisées, ce peut s'appeler un la fraction continue régulière simple de ou de , ou serait sous la forme canonique .}

Motivation

L'étude des fractions continues est motivée par un désir d'avoir un " ; mathématiquement pure" ; représentation pour les vrais nombres

La plupart des personnes sont au courant de la représentation décimale de vrais nombres : $r de = \ ^ du sum_ {i=0} \ a_i infty 10^ {- I}$

là où le un ₀ peut être n'importe quel nombre entier, et un i de _{de est un élément de {0, 1, 2,…, 9}. Dans cette représentation, le π de nombre, par exemple, est représenté par l'ordre des nombres entiers {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,…}.}

Cette représentation décimale a quelques problèmes. Par exemple, le constant 10 est employé dans ce cas-ci parce que nous calculons ici dans le système de numération de la base 10. Nous pourrions souhaiter employer 8 bas ( octal) ou base 2 ( binaire). Un autre problème est que beaucoup de représentations finies de manque des nombres raisonnables dans ce système. Par exemple, le numéro 1/3 est représenté par l'ordre infini {0, 3, 3, 3, 3,….

La notation de fraction continue est une représentation pour les vrais nombres qui évite ces deux problèmes. Considérons comment nous pourrions décrire un nombre comme 415/93, qui est environ 4. C'est approximativement 4. En fait il est un peu plus que 4, environ 4 + 1/2. Mais les 2 dans le dénominateur n'est pas correct ; le dénominateur correct est un peu plus de que 2, environ 2 + 1/6, ainsi 415/93 est approximativement 4 + 1 (2 + 1/6). Mais les 6 dans le dénominateur n'est pas correct ; le dénominateur correct est un peu plus que 6, réellement 6+1/7. Tellement 415/93 est réellement 4+1/(2+1/(6+1/7)).

Chute des parties superflues de l'expression 4 ; + ; 1 (2 ; + ; 1 (6 ; + ; 1/7)) donne le abrégé 2, 6, 7 de notation.

La représentation de fraction continue de vrais nombres peut être définie de cette façon. Elle a plusieurs propriétés souhaitables :

la représentation de fraction continue pour un nombre est fini si et seulement si le nombre est le raisonnable.
Représentations de fraction continue pour le " ; simple" ; les nombres raisonnables sont habituellement courts.
La représentation de fraction continue de tout nombre raisonnable est unique si elle n'a aucun 1. de remorquage (cependant, '' a '' ₁,… _{'' n ''} de _{'' de '' a '' n ''}, 1 = '' a '' ₁,… '' a '' ; + ; 1.)
La représentation de fraction continue d'un nombre irrationnel est unique.
Les limites d'une fraction continue répéteront si et seulement si c'est la représentation de fraction continue d'un irrationnel quadratique, c., une vraie solution à une équation quadratique avec des coefficients de nombre entier.
La troncation de la représentation de fraction continue d'un X de nombre rapporte tôt une approximation raisonnable pour le X qui est dans un certain sens le " ; meilleur " ; approximation raisonnable (voir le théorème 5, le corollaire 1 ci-dessous pour un rapport formel).

Cette dernière propriété est extrêmement importante, et n'est pas vraie de la représentation décimale conventionnelle. La troncation de la représentation décimale d'un nombre rapporte une approximation raisonnable de ce nombre, mais pas habituellement d'une approximation très bonne. Par exemple, la troncation de 1/7 = de 0.142857… à de divers endroits rapporte des approximations telles que 142/1000, 14/100, et 1/10. Mais clairement la meilleure approximation raisonnable est " ; 1/7" ; soi-même. La troncation de la représentation décimale du π rapporte des approximations telles que 31415/10000 et 314/100. La représentation de fraction continue du π commence 7, 15, 1, 292,…. La troncation de cette représentation rapporte l'excellent les approximations raisonnables 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102,… les dénominateurs de 314/100 et de 333/106 sont presque identiques, mais l'erreur dans l'approximation 314/100 est dix-neuf fois plus grandes que l'erreur dans 333/106. Comme approximation au π, 7, 15, 1 est plus de cent fois plus précis que 3.

Calcul des représentations de fraction continue

Considérer un r de vrai nombre. Laisser le i être la partie de nombre entier et le f la partie partielle de r . Alors la représentation de fraction continue du r est le … , où " ; … " ; est la représentation de fraction continue de 1 f . Il est usuel de remplacer la première virgule du par un point-virgule.

Pour calculer une représentation de fraction continue d'un r de nombre, noter la pièce de nombre entier (techniquement le plancher ) de r . Soustraire la présente partie de nombre entier du r . Si la différence est 0, arrêter ; autrement trouver le réciproque de la différence et de la répétition. Le procédé s'arrêtera si et seulement si le r était raisonnable.

Notations pour les fractions continues

On peut abréger une fraction continue As $x de = a_1, a_2, a_3 \ ;$

ou, dans la notation du Pringsheim , As $x de = a_0 + \ frac {1 \ mi} {\ mi a_1} + \ + du frac {1 \ mi} {\ mi a_2} \ frac {1 \ mi} {\ mi a_3}.$

Voici une autre notation relative : $x de = a_0 + {1 \ au-dessus de a_1 +} {1 \ au-dessus de a_2 +} {1 \ au-dessus de a_3 +}.$

Parfois des chevrons sont utilisés, comme ceci : le $\ rangle \ ;$ .

Le point-virgule dans les notations de place et de chevron est parfois remplacé par une virgule.

On peut également définir les fractions continues simples infinies de pendant que le limite : a_ de $de {1}, a_ {2}, 3}, d'a_ {\, \ ldots = \ a_ du lim_ {n \ \ infty} {1}, 2}, d'a_ {\, \ ldots, a_ {n}.$

Cette limite existe pour n'importe quel choix de positif de nombres entiers un ₁, un ₂, un ₃…

Fractions< continu fini ! -- Cette section est liée de la fraction continue -->

Chaque fraction continue finie représente un nombre raisonnable , et chaque nombre raisonnable (excepté 1) peut être représenté de avec précision deux manières différentes comme fraction continue finie. Ces deux représentations conviennent excepté en leurs termes finaux. Dans la représentation plus longue la limite finale dans la fraction continue est 1 ; la représentation plus courte laisse tomber le 1 final, mais des augmentations la nouvelle limite finale par 1. L'élément final dans la représentation courte est donc plus considérablement que 1, si la représentation courte a au moins deux limites. Dans les symboles : a_ de

de  {1}, a_ {2}, 3}, d'a_ {\, \ ldots, a_ {n}, a_ 1= {1}, a_ {2}, 3}, d'a_ {\, \ ldots, a_ {n} + 1. \ ;

Par exemple, $2.25 = 9/4 = 3, 1 = 4, \ ; de -4.2 = -21/5 = 1, 3, 1 = 1, 4. \ ;$

Fractions continues des reciprocals

Les représentations de fraction continue d'un nombre raisonnable positif et de son réciproque sont identiques excepté un endroit du décalage un quitté ou droit selon si le nombre est moins qu'ou plus considérablement qu'un respectivement. En d'autres termes, les nombres représentés par

sont des reciprocals. C'est parce que si le

a \

est un nombre entier puis si

puis = 0+1/(a+1/b) \

1/x = a+1/b \

et si

puis = a+1/b \

1/x = 0+1/(a+1/b) \

avec le dernier nombre qui produit du reste de la fraction continue étant le même pour le

x \

et son réciproque.

Par exemple, = de $de 2.25 \ frac {9} {4} = 4, \ ;$ = de $\ frac de 2.25} {1} {\ frac {4} {9} = 2, 4. \ ;$

Fractions continues infinies

Chaque fraction continue infinie est le irrationnel, et chaque nombre irrationnel peut être représenté dans avec précision à sens unique comme fraction continue infinie.

Une représentation infinie de fraction continue pour un nombre irrationnel est principalement utile parce que ses segments initiaux fournissent d'excellentes approximations raisonnables au nombre. Ces nombres raisonnables s'appellent les convergents 'de la fraction continue. Les convergents pairs sont plus petits que le nombre original, tandis qu'impairs ceux sont plus grands.

Pour une fraction continue , les quatre premiers convergents (numérotés $0$ par $3$ ) sont

$\ 1}, du frac {a_0} {\ qquad \, du frac {a_1a_0+1} {a_1} \ qquad \ frac {{a_2a_1+1}, a_2 (a_1a_0+1)+a_0} \ qquad \ frac {a_3 (a_2 (a_1a_0+1)+a_0) + (a_1a_0+1)} {a_3 (a_2a_1+1)+a_1}.$

Dans les mots, le numérateur du troisième convergent est constitué en multipliant le numérateur du deuxième convergent par le troisième quotient, et en ajoutant le numérateur du premier convergent. Les dénominateurs sont formés pareillement.

Si des convergents successifs sont trouvés, avec les numérateurs $h_1, h_2, \ ldots$ et dénominateurs $k_1, k_2, \ ldots$ alors la relation récursive appropriée est :

$, du h_n=a_nh_ {n-1} +h_ {N2} \ qquad k_n=a_nk_ {n-1} +k_ {N2}.$

Les convergents successifs sont donnés par la formule

$\ frac {h_n} {k_n} = \ frac {a_nh_ {n-1} +h_ {N2}} {a_nk_ {n-1} +k_ {N2}}.$

Quelques théorèmes utiles

Si le un ₀, un ₁, un ₂,… est un ordre infini des nombres entiers positifs, définir les ordres

h_n

k_n

périodiquement :

Théorème 1

Pour tout

x positif \ dans \ mathbb {R}

$\ a laissé a_1, \, \ pointille, l'a_ {n-1}, x \ right= \ frac {h_ de x {n-1} +h_ {N2}} {k_ de x {n-1} +k_ {N2}}.$

Théorème 2

Les convergents de '' a '' ₁, '' a '' ₂,… sont donnés près

$\ a laissé a_1, \, \ pointille, a_n \ right= \ frac {h_n} {k_n}.$

Théorème 3

Si le convergent de Th du n à une fraction continue est

h_n/k_n

, puis le

de k_nh_ {n-1} - h_n= du k_ {n-1} (- 1) ^n. \,

Corollaire 1 de : chacun convergent est en ses plus bas termes (pour si $h_n$ et $k_n$ avaient un diviseur commun non trivial qu'il diviserait le $k_nh_ {n-1} - k_ {n-1} h_n$ , qui est impossible).

Corollaire 2 de : la différence entre les convergents successifs est une fraction dont le numérateur est unité :

$\ est parti|\ - de frac {h_n} {k_n} \ frac {h_ {n-1}} {k_ {n-1}} \ droit|= \ est parti|\ frac {h_nk_ {n-1} - k_nh_ {n-1}} {k_nk_ {n-1}} \ droit|= \ frac {1} {k_nk_ {n-1}}.$

Corollaire 3 de : la fraction continue est équivalent à une série de limites alternatives :

$a_0 + \ ^ du sum_ {n=0} \ infty \ frac {(- ^ de 1) {n}} {k_ de k_ {n+1} {n}}.$

Corollaire 4 de : le $de de matrice \ commencent {bmatrix} \ de h_n et de h_ {n-1} \ k_n et k_ {n-1} \ extrémité {bmatrix}$ a la cause déterminante plus ou sans une, et appartient ainsi au groupe de $des matrices du 2x2 (2, \ mathbb {Z})$ .

Théorème 4

Chacun convergent (de Th de s ) est plus proche d'un convergent suivant (de Th de n ) que n'importe quel convergent précédent (de Th de r ) est. Dans les symboles, si le convergent de Th du n est pris pour être le

a_n=x_n

, puis le

de \ est parti| x_r - x_n \ droit| > \ est parti| x_s - x_n \ droit|

pour tout le < du r ; < du s ; n .

Corollaire 1 de : que même les convergents (avant que le Th de n ) augmentent continuellement, mais sont toujours moins que le n de _{du X .}

Corollaire 2 de : que les convergents impairs (avant que le Th de n ) diminuent continuellement, mais sont toujours plus grands que le n de _{du X .}

Théorème 5

\ frac {1} {k_n (k_ {n+1} +k_n)}< \ est parti|X \ frac {h_n} {k_n} \ droit|< \ frac {1} {k_nk_ {n+1}}.

Corollaire 1 de : le convergent de est plus proche de la fraction continue que n'importe quelle autre fraction dont le dénominateur est inférieur cela du convergent

Corollaire 2 de : le convergent de qui précède immédiatement un grand quotient est une approximation proche à la fraction continue.

Semiconvergents< ! -- Cette section est liée du quotient complet -->

Si le $\ frac {h_ {n-1}} {k_ {n-1}}$ et $\ frac {h_n} {k_n}$ sont des convergents successifs, puis toute fraction du $de de forme \ du frac {h_ {n-1} + ah_n} {k_ {n-1} +ak_n}$ là où $a$ est un nombre entier non négatif et les numérateurs et les dénominateurs sont entre le $n$ et des limites de $n+1$ incluses s'appellent les semiconvergents de , les convergents secondaires, ou les fractions intermédiaires. Souvent le terme est pris pour signifier qu'être un semiconvergent exclut la possibilité d'être un convergent, plutôt que c'un convergent est un genre de semiconvergent.

Les semiconvergents à l'expansion de fraction continue d'un vrai nombre $x$ incluent toutes les approximations raisonnables qui sont meilleures que n'importe quelle approximation avec un plus petit dénominateur. Une autre propriété utile est que les semiconvergents consécutifs a/b et c/d sont tels que = de $ad-bc \ P.$

Les meilleures approximations raisonnables

Une meilleure approximation raisonnable de à un X de vrai nombre est un d , du n ⁄_{de ^{de nombre raisonnable du d ; > ; 0, celui est plus près du X que n'importe quelle approximation avec un plus petit dénominateur. La fraction continue simple pour le X produit du tout le des meilleures approximations raisonnables pour le X selon trois règles : tronquent la fraction continue, et décrémentent probablement sa dernière période. La limite décrémentée ne peut pas avoir moins que la moitié de sa valeur originale.
Si la limite finale est égale, une règle spéciale décide si la moitié de sa valeur est admissible.) Par exemple, 0.84375 a la fraction continue. Voici toutes ses meilleures approximations raisonnables. Comparaison des fractions continues
Considérer le X = et le y =. Si le k est le plus petit index pour quel un _k est inégal au x< du b _k puis ; y si (- k ( un b _k de _k-) <0 et y< de ^{de 1) ; X autrement. S'il n'y a aucun un tel k , mais une expansion est plus courte que l'autre, dire le X = et le y = avec le un i de _{du b du i}= de _{de pour 0&le ; &le du i ; n , puis < du X ; y si le n est même et < du y ; X si le n est impair. Expansions de fraction continue de π
Pour calculer convergents de pi nous peut placer $a_0 = \ lfloor \ pi \ rfloor = 3$ , définissent $\ approximativement \ frac {113} {16} = 7.0625$ et = de $a_1 \ lfloor u_1 \ rfloor = 7$ , = de $u_2 \ frac {1} {u_1 - 7} \ approximativement \ frac {31993} {2000} = 15.9965$ et = de $a_2 \ lfloor u_2 \ rfloor = 15$ , = de $u_3 \ frac {1} {u_2 - 15}$ $\ approximativement \ frac {1003} {1000} = 1. Continuant comme ceci, on peut déterminer la fraction continue infinie du π en tant que 7, 15, 1, 292, 1, 1,…. Le troisième convergent du π est 7, 15, 1 = 355/113 = 3.14159292035…, qui est assez près de la valeur vraie du π. Supposons que les quotients trouvés sont, comme ci-dessus, 7, 15, 1. Ce qui suit est une règle par laquelle nous pouvons noter immédiatement les fractions convergentes qui résultent de ces quotients sans développer la fraction continue. Le premier quotient, supposé divisé par l'unité, donnera la première fraction, qui sera trop petite, à savoir, 3/1. Puis, multipliant le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le deuxième quotient et ajoutant l'unité au numérateur, nous aurons la deuxième fraction, 22/7, qui sera trop grand. Multipliant de manière semblable le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le troisième quotient, et ajoutant au numérateur le numérateur de la fraction précédente, et au dénominateur le dénominateur de la fraction précédente, nous aurons la troisième fraction, qui sera trop petite. Ainsi, le troisième quotient étant 15, nous prenons pour notre numérateur (22 × 15 = 330) + 3 = 333, et pour notre dénominateur, (7 × 15 = 105) + 1 = 106. Le troisième convergent est, donc, 333/106. Nous procédons de la même manière pour le quatrième convergent. Le quatrième quotient étant 1, nous disons que 333 fois 1 font 333, et ce plus 22, le numérateur de la fraction précédant, est 355 ; pareillement, 106 fois 1 font 106, et ce plus 7 est 113. De cette manière, en utilisant les quatre quotients 7, 15, 1, nous obtenons les quatre fractions : de \ frac {3} {1}, \, du frac {22} {7} \ frac {333} {106}, \, du frac {355} {113} \, \ ldots$ Ces convergents sont alternativement plus petits et plus grands que la valeur vraie du π, et s'approchent plus près et plus près au π. La différence entre un convergent et un π donnés est moins que réciproque du produit des dénominateurs de cela convergent et du prochain convergent. Par exemple, la fraction 22/7 est plus grande que le π, mais 22/7 π de − est moins de 1 (7×106), qui est 1/742 (en fait, 22/7 π de − est juste moins de 1/790).
La démonstration des propriétés antérieures est déduite du fait que si nous cherchons la différence entre une des fractions convergentes et le prochain à côté de elle nous obtiendra une fraction dont le numérateur est toujours unité et le dénominateur le produit des deux dénominateurs. Ainsi la différence entre 22/7 et 3/1 est 1/7, supérieur ; entre 333/106 et 22/7, 1/742, dans le déficit ; entre 355/113 et 333/106, 1/11978, supérieur ; et ainsi de suite. Le résultat étant, celui en utilisant cette série de différences que nous pouvons exprimer de l'un autre et de la façon très simple les fractions par lesquelles nous sommes ici concernés, au moyen d'une deuxième série de fractions dont les numérateurs sont toute l'unité et les dénominateurs soient successivement le produit de chaque deux dénominateurs adjacents. Au lieu des fractions écrites ci-dessus, nous avons ainsi la série : $de \ 1} + du frac {3} {\ frac {1} {1 \ périodes 7} - \ + du frac {1} {7 \ périodes 106} \ frac {1} {106 \ périodes 113} - \ cdots$
La première limite, comme nous voyons, est la première fraction ; les premiers et les deuxièmes donnent ensemble la deuxième fraction, 22/7 ; les premiers, les deuxièmes et le tiers donnent la troisième fraction 333/106, et ainsi de suite avec le repos ; le résultat étant que la série entière est équivalente à la valeur originale. le
pour plus voient le &pi de ; . L'ordre des dénominateurs partiels de la fraction continue simple du &pi ; est quelque peu imprévisible et l'irregular :

$\ pi = 3 + \ cfrac {1} {7 + \ cfrac {1} {15 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {292 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {1 + \ cfrac {1} {2 + \ cfrac {1} {\ ddots}}}}}}}}}$
Cependant, il y a les fractions continues généralisées pour le π avec une structure parfaitement régulière, comme :

$\ pi = \ cfrac {4} {1 + \ cfrac {1} {3 + \ cfrac {4} {5 + \ cfrac {9} {7 + \ cfrac {16} {9 + \ cfrac {25} {11 + \ cfrac {36} {13 + \ cfrac {49} {\ ddots}}}}}}}}$

$\ pi=3 + \ cfrac {1} {6 + \ cfrac {9} {6 + \ cfrac {25} {6 + \ cfrac {49} {6 + \ cfrac {81} {6 + \ cfrac {121} {\ ddots \,}}}}}}$
là où chacun des numérateurs est un nombre impair carré par de .

D'autres expansions de fraction continue
Fractions continues périodiques
Les nombres avec l'expansion périodique de fraction continue sont avec précision les solutions irrationnelles des équations quadratiques avec des coefficients raisonnables (les solutions raisonnables ont des expansions finies de fraction continue comme précédemment indiqué). Les exemples les plus simples sont le φ d'or du rapport = 1, 1, 1, 1, 1,… et √ 2 = 2, 2, 2, 2,… ; tandis que √14 = et √42 =. Toutes les racines carrées irrationnelles des nombres entiers ont un formulaire spécial pour la période ; une corde symétrique, comme la corde vide (pour le √ 2) ou 1.1 (pour √14), a suivi du double du principal nombre entier.

Une propriété du &phi d'or de rapport ;
Un résultat intéressant, provenant du fait que l'expansion de fraction continue pour le φ n'emploie pas aucun nombre entier plus considérablement que 1, est que le φ est un de la plupart de " ; difficult" ; vrais nombres à rapprocher avec des nombres raisonnables. Un théorème déclare que n'importe quel k de vrai nombre peut être rapproché par le raisonnable m / n avec le $de \ est parti| k - {m \ au-dessus de n} \ droit| < {1 \ au-dessus de n^2 \ de racine carrée 5}.$
Tandis que pratiquement tout le k de vrais nombres aura par la suite infiniment le m / n de beaucoup de convergents dont la distance du k est sensiblement plus petite que cette limite, les convergents pour le " de φ (c., les numéros 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, etc.) uniformément ; botter le boundary" ; , gardant une distance presque exactement du ${\ scriptstyle {1 \ au-dessus de n^2 \ de racine carrée 5}}$ à partir de φ, de ce fait ne produisant jamais une approximation presque aussi impressionnante que, par exemple, 355/113 pour le π. Il peut également montrer que chaque vrai nombre de la forme ( un de ; + ; ) de φ du b /( de c ; + ; &ndash de φ du d ) ; là où le un , le b , le c , et le d sont des nombres entiers tels que de l'annonce de ; &minus ; du avant Jésus Christ ; = ; &ndash ±1 ; partage cette propriété avec le φ d'or de rapport.

Modèles réguliers dans les fractions continues
Tandis qu'on ne peut discerner aucun modèle dans l'expansion simple de fraction continue du π, cela ne vaut pas pour le e , la base de du logarithme naturel : = de $e de \ exp (1) = 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, \ points \, \ !$
Nous avons également, quand le n est un nombre entier plus considérablement qu'un, $de \ exp (1/n) = n-1, 1, 1, 3n-1, 1, 1, 5n-1, 1, 1, 7n-1, \ points \, \ !$
Un autre, un modèle plus complexe apparaît dans cette expansion de fraction continue : $de \ exp (\ frac {2} {2n+1}) = \ points \, \ !$
D'autres fractions continues de cette sorte sont $de \ tanh (1/n) \, \, \, = n, 3n, 5n, 7n, 9n, 11n, 13n, 17n, 19n, \ points \, \ !$
là où le n est un nombre entier positif ; aussi $de \ tan (1) \, \, \, = 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15 \ points \, \ !$
et, pour le intégral n >1, $de \ tan (1/n) \, \, \, = n-1, 1, 3n-2, 1, 5n-2, 1, 7n-2, \ points \, \ !.$
Si le n ( X ) de _{du I est modifiée, ou hyperbolique, la fonction Bessel De de la première sorte, nous pouvons définir une fonction sur le p / q de nombres rationnels près $S de (p/q) = \ frac {I_ {p/q} (2/q)} {I_ {1+p/q} (2/q)},$}
ce qui est défini pour tous les nombres raisonnables, avec le p et le q en plus bas termes. Alors pour tous les nombres rationnels non négatifs, nous prenons $S de (p/q) \, \, \, = p+2q, p+3q, p+4q, \ points \, \ !.$
avec les formules semblables pour des nombres rationnels négatifs ; en particulier nous avons $S de (0) = S (0/1) \, \, \, = 2, 3, 4, 5, 6, 7, \ points \, \ !.$
Les deux dernières formules le plus facilement sont prouvées en termes de fonction de Bessel-Clifford de .

Fractions continues typiques
La plupart des nombres irrationnels n'ont aucun comportement périodique ou régulier dans leur expansion de fraction continue. Néanmoins le Khinchin a montré que pour le presque tout le X de vrais nombres de , le un i de _{de (pour i = 1, 2, 3,…) avoir une propriété étonnante : leur moyen géométrique est un constant (connu en tant que constant de Khinchin de , ≈ 2.6854520010 de K …) indépendant de la valeur du X . Le Paul Lévy a prouvé que la racine de Th du n du dénominateur du convergent de Th du n de l'expansion de fraction continue de presque tous les vrais nombres approche une limite asymptotique, qui est connue en tant que constant de Lévy de .}

L'équation de Pell
Les fractions continues jouent un rôle essentiel dans la solution de l'équation de Pell de . Par exemple, pour les nombres entiers positifs $p$ et $q$ , $p^2 - 2q^2 = \ pm1$ si et seulement si $p/q$ est un convergent du $\ sqrt2$ .
Fractions continues et chaos
Les fractions continues jouent également un rôle dans l'étude du chaos , où elles attachent ensemble les fractions de Farey de qui sont vues dans le Mandelbrot réglé avec la fonction de point d'interrogation de Minkowski de et le gamma modulaire du groupe . Vers l'arrière l'opérateur de décalage pour les fractions continues est le $h de la carte (- de x)=1/x \ lfloor 1/x \ rfloor,$ a appelé la carte de gauss de , qui taille outre des chiffres d'une expansion de fraction continue : $h () =$ . L'opérateur de transfert de de cette carte s'appelle l'opérateur de Gauss-Kuzmin-Wirsing de . La distribution des chiffres dans les fractions continues est donnée par le vecteur propre de zero'th de cet opérateur, et s'appelle la distribution de Gauss-Kuzmin de .

Histoire des fractions continues

300 AVANT JÉSUS CHRIST Euclid , éléments - algorithme de pour le plus grand diviseur commun qui produit d'une fraction continue comme sous-produit
1579 Rafaël Bombelli , opéra - méthode de L'Algebra de pour l'extraction des racines carrées qui est liée aux fractions continues
1613 Pietro Cataldi , numeri trovar - première notation de delli de quadra de radice de La de Di de brevissimo de Trattato del modo de pour le de fractions continues le Cataldi de}}
a représenté une fraction continue comme ${n_3 \ au-dessus de d_3}$ avec les points indiquant où les fractions suivantes ont disparu.
1695 de John Wallis , opéra Mathematica - introduction de du " de limite ; fraction" continu ;
le 1780 du Ca Joseph Louis Lagrange - a fourni la solution générale à l'équation de Pell using les fractions continues semblables à Bombelli
1748 Leonhard Euler , Introductio dans l'infinitorum d'analysin. I, le chapitre 18 - a prouvé l'équivalence d'une certaine forme de la fraction continue et des séries infinies généralisées
le gauss 1813 de Karl Friedrich , Werke , vol. 134-138 - a dérivé un complexe-évalué très général de fraction continue par l'intermédiaire de une identité intelligente impliquant la série hypergéométrique
1972 Bill Gosper . - Premiers algorithmes exacts pour l'arithmétique de fraction continue.

Voir également

Quotient complet
Expansion d'Engel de
Constantes mathématiques de (assorties par la représentation de fraction continue)
Fraction continue périodique
Quotients partiels restreints .
Random links: Stanfield, la Caroline du Nord | Wladimir Klitschko | Albinos Blacksheep | Explorateurs nous | Müggelsee | Fracción_continua}}