Forme de tranchant

Dans la théorie des nombres , une branche des mathématiques , une forme de tranchant de est un genre particulier de forme modulaire , distingué dans le cas des formes modulaires pour le groupe modulaire par le disparaition dans l'expansion de la série de Fourier De $de \ a_n q^n$ de sigma

du constant a₀ de coefficient. Cette expansion de Fourier existe par suite de la présence dans l'action de groupe modulaire sur le haut de - demi - le plan de la transformation $z de \ mapsto z+1.$

Pour d'autres groupes, il peut y avoir une certaine traduction par plusieurs unités, dans ce cas l'expansion de Fourier est en termes de paramètre différent. Dans tous les cas, bien que, la limite comme &rarr du q ; 0 est la limite dans le haut - demi - avion comme pièce imaginaire de &rarr du z ; &infin ;. La prise le quotient par le groupe modulaire par exemple de cette limite correspond à un tranchant d'une courbe modulaire (dans le sens d'un point supplémentaire pour Compactification ). Ainsi, la définition s'élève à dire qu'une forme de tranchant est une forme modulaire qui disparaît à un tranchant. Dans le cas d'autres groupes, il peut y avoir plusieurs tranchants, et la définition devient une forme modulaire disparaissant au tous les tranchants de . Ceci peut impliquer plusieurs expansions.

Les dimensions des espaces des formes de tranchant sont en principe calculables, par l'intermédiaire du théorème de Riemann-Roch de . Par exemple, le &tau célèbre de fonction de Ramanujan ; ( n ) surgit comme l'ordre des coefficients de Fourier de la forme de tranchant du poids 12 pour le groupe modulaire, avec le a₁ = 1. L'espace de telles formes a la dimension 1, qui signifie que cette définition est possible ; et cela explique l'action des opérateurs de Hecke de sur l'espace étant par la multiplication scalaire (la preuve de de Mordell des identités de Ramanujan). Explicitement c'est le discriminant modulaire

Δ( z , q ),

ce qui représente (jusqu'à un normalisant constant) le discriminant du cubique du côté droit de l'équation de Weierstrass de d'une courbe elliptique ; et la 24ème puissance de la fonction d'eta de Dedekind de . Les coefficients de Fourier ici sont écrits

τ( n )

et fonction du tau « de Ramanujan appelé de », avec la normalisation : &tau ; (1) = 1.

Dans l'image plus grande du Automorphic forme que les formes de tranchant sont complémentaires à la série d'Eisenstein de , dans un spectre discret de /spectre continu de , ou représentation discrète de série de /distinction de la représentation induite par typique dans différentes parties de la théorie spectrale . C'est-à-dire, la série d'Eisenstein peut « être conçue » pour prendre des valeurs indiquées aux tranchants. Il y a une grande théorie générale, dépendant cependant de la théorie tout à fait complexe des sous-groupes paraboliques et des représentations Cuspidal correspondantes

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