Forme de massacre

Dans les mathématiques , la forme de massacre de , baptisée du nom du massacre de Wilhelm de , est une forme bilinéaire symétrique qui joue un rôle de base dans les théories des groupes de Lie et des algèbres de Lie dans un exemple de la loi de Stigler de eponymy, la forme de massacre a été inventée réellement par le Élie Cartan , tandis que la matrice de Cartan de est due au massacre de Wilhelm.

Définition

Considérer un de l'algèbre de Lie g au-dessus d'un K du champ . Chaque X d'élément du g définit l'annonce ( X ) de de l'endomorphism d'Adjoint de du g à l'aide de la parenthèse de mensonge, As annonce ( X ) ( y ) de

= '' y ''

Maintenant, supposer le g est de dimension finie, la trace de composition de deux tels endomorphisms définit une forme bilinéaire symétrique

B ( X , y ) de = trace annonce (d'annonce ( X ) ( y )),

avec des valeurs dans le K , la forme de massacre de sur le g .

Propriétés

Le B de forme de massacre est bilinéaire et symétrique.

la forme de massacre est une forme invariable, dans le sens qu'il a la propriété de « associativity » =B du

B de de
(, le z ) ( X ,),
de où est la parenthèse de mensonge de .

si le g est une algèbre de Lie simple puis n'importe quelle forme bilinéaire symétrique invariable sur le g est un multiple scalaire de la forme de massacre.

la forme de massacre est également le de dessous invariable s des automorphismes du g d'algèbre, c.,

B ( s ( X ), s ( y ) de
) de
de
=
de B ( X , y ) pour le s dans Aut (g).

le critère de Cartan déclare qu'une algèbre de Lie est le semisimple si et seulement si la forme de massacre est non-degenerate.

la forme de massacre d'une algèbre de Lie Nilpotent est identiquement zéro.

si le I et le J sont deux idéaux dans un d'algèbre de Lie g avec l'intersection zéro, puis le I et le J sont des sous-espaces orthogonaux du en ce qui concerne la forme de massacre.

si un donné g d'algèbre de Lie est une somme directe de son I ₁ d'idéaux,…, le I _n, puis la forme de massacre du g est la somme directe des formes de massacre des différents summands.

Éléments de Matrix

Donné un e ⁱ de base de l'algèbre de Lie g, les éléments de matrice de la forme de massacre sont donnés près

$B^ {ij} = TR (\ textrm {annonce} (e^i) \ circ \ textrm {) d'annonce} (e^j)/I_ {annonce}$

là où le _ du ${I} {annonce}$ est l'index de Dynkin de de la représentation d'adjoint du G.

Ici le $de \ est parti (\ textrm {annonce} (e^k)= d'e^i) \ circ \ textrm {annonce} (e^j) \ droit) ( [e^j, e^k] = {c^ {im}} e^n du _ du _ {n} {c^ {jk}} {m}$

et ainsi nous pouvons écrire $B^ de {ij} = \ _ _ du frac {1} {I_ {\ textrm {annonce}}} {c^ {im}} {n} {c^ {jn}} {m}$

là où le _ de ${c^ {ij}} {k}$ sont les constantes de structure de l'algèbre de Lie. La forme de massacre est les 2 les plus simples - le tenseur qui peut être formé des constantes de structure.

Dans la définition ci-dessus répertoriée, nous faisons attention à distinguer des index supérieurs et inférieurs ( des index co- de contre-variante de et de ). C'est parce que, dans beaucoup de cas, la forme de massacre peut être employée comme tenseur métrique sur une tubulure, dans ce cas la distinction devient importante pour les propriétés de transformation des tenseurs. Quand l'algèbre de Lie est semisimple, sa forme de massacre est nondegenerate, et par conséquent peut être employée comme tenseur métrique pour soulever et abaisser des index. Dans ce cas-ci, il est toujours possible de choisir une base pour le g tels que les constantes de structure avec tous les index supérieurs sont le complètement antisymmétrique.

Raccordement avec de vraies formes

Supposer que le g est une algèbre de Lie de Semisimple au-dessus du champ de vrais nombres. Par le critère de Cartan's, la forme de massacre est nondegenerate, et peut diagonalized dans une base appropriée avec les entrées diagonales +1 ou -1. Par la loi de Sylvester de de l'inertie , le nombre d'entrées positives est un invariable de la forme bilinéaire, c. il ne dépend pas du choix de la base diagonalizing, et s'appelle l'index du g d'algèbre de Lie. C'est un nombre entre 0 et la dimension du g qui est un invariable important de la vraie algèbre de Lie. En particulier, un vrai g d'algèbre de Lie s'appelle le contrat si la forme de massacre est le défini négatif. On le sait que sous la correspondance de mensonge de , les algèbres de Lie compactes correspondent aux groupes de Lie de contrat

Si le C de _{du g est une algèbre de Lie de semisimple au-dessus des nombres complexes, alors il y a plusieurs vraies algèbres de Lie non-isomorphes avec la complexification est le C} de _{du g , qui s'appellent les ses vraies formes . Il s'avère que chaque algèbre de Lie complexe de semisimple admet un vrai g de forme (jusqu'à l'isomorphisme) de contrat unique. Les vraies formes d'une algèbre de Lie complexe donnée de semisimple sont fréquemment marquées par l'index positif de l'inertie de leur forme de massacre.}

Par exemple, l'algèbre linéaire spéciale SL (2, C ) de complexe a deux vraies formes, la vraie algèbre linéaire spéciale, SL dénoté (2, R ), et algèbre unitaire spéciale , su dénoté (2). Le premier est non-compacte, forme fendue de soi-disant la vraie, et sa forme de massacre a la signature (2. Le second est la vraie forme compacte et sa forme de massacre est définie négatif, c. Les groupes de Lie correspondants sont le groupe non-compacte SL (2, R ) de 2 par 2 vraies matrices avec l'unité déterminante et le unitaire spécial SU de groupe (2) , qui est compact.

Voir également

Casimir invariable

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