Forme d\'Automorphic

C'est le premier de ces derniers qui fait à du $F$ automorphic, c., satisfaire une équation fonctionnelle intéressant rapportant le $F\; (g)$ avec le $F\; (\backslash \; gamma\; g)$ pour le $\backslash \; gamma\; \backslash \; dans\; \backslash \; gamma$. Dans le cas vecteur-évalué les spécifications peuvent impliquer un ρ fini-dimensionnel de la représentation de groupe agissant sur les composants « les tordent ». L'état d'opérateur de Casimir indique qu'un certain Laplacians ont le $F$ comme fonction propre ; ceci s'assure que le $F$ a d'excellentes propriétés analytiques, mais si elle est réellement une fonction complexe-analytique dépend du cas particulier. La troisième condition est de traiter le cas où le $g\; \backslash \; gamma$ n'est pas le compact mais a les tranchants

Avant qu'on ait proposé cet arrangement très général (environ 1960), il y avait déjà eu des développements substantiels des formes automorphic autres que les formes modulaires. Le cas du $\backslash \; du\; gamma$ par groupe de Fuchsian de avait déjà suscité l'attention avant 1900. On a proposé les formes modulaires de Hilbert de (Hilbert-Blumenthal, en tant qu'un devrait indiquer) peu de temps après celle, bien qu'une pleine théorie ait été longue en venant. Les formes modulaires de Siegel de pour lesquelles le $G$ est un groupe Symplectic , ont résulté naturellement de considérer les espaces de modules de et les fonctions de thêta de l'intérêt d'après-guerre pour plusieurs variables complexes l'ont rendu normal de poursuivre l'idée de la forme automorphic dans les cas où les formes sont en effet complexe-analytiques. Beaucoup de travail a été effectué, en particulier par le Pyatetskii-Shapiro , en années autour de 1960, en créant une telle théorie. La théorie de la formule de trace de Selberg de , comme appliqué par d'autres, a montré la profondeur considérable de la théorie. Le Langlands a montré comment (dans la généralité, beaucoup de cas étant connus) le théorème de Riemann-Roch de pourrait être appliqué au calcul des dimensions des formes automorphic ; c'est un genre de contrôle hoc du poteau de sur la validité de la notion. Il a également produit la théorie générale de la série d'Eisenstein de , qui correspond à ce qui en termes spectraux de la théorie serait « le spectre continu » pour ce problème, laissant la forme de tranchant de ou la pièce discrète pour étudier. Du point de vue de la théorie des nombres, le tranchant forme avait été reconnu, depuis le Ramanujan , comme coeur de la matière.

La notion suivante de la représentation automorphic s'est avérée de la grande valeur technique pour traiter le $G$ par groupe algébrique , traitée comme groupe algébrique d'Adelic de . Elle n'inclut pas complètement l'idée automorphic de forme présentée ci-dessus, parce que l'approche d'Adele est une manière d'avoir affaire avec la famille entière des sous-groupes de congruence de immédiatement. À l'intérieur d'un espace de $L^2$ pour un quotient de la forme adelic du $G$, une représentation automorphic est une représentation qui est un produit de tenseur infini des représentations des groupes de P-adic de avec le spécifique enveloppant des représentations de l'algèbre pour la perfection infinie (s). L'one-way pour exprimer le décalage en emphase est que les opérateurs de Hecke de sont ici en effet mis au même niveau que les opérateurs de Casimir ; ce qui est normal du point de vue de l'analyse fonctionnelle , cependant pas aussi évidemment pour la théorie des nombres. C'est ce concept qui est de base à la formulation de la philosophie de Langlands de .

Poincaré sur son travail sur des fonctions automorphic

Le premier centre d'intérêt de Poincaré dans les mathématiques, datant aux 1880s , était les formes automorphic. Il les a appelées des fonctions de Fuchsian, après le Lazarre Fuchs de mathématicien, parce que Fuchs a été connu pour être un bon professeur et avait recherché des équations et la théorie de fonctions fortement. (Évidemment, les fonctions n'ont pas gardé le Fuchsian nommé). Poincaré a développé réellement le concept de ces fonctions en tant qu'élément de sa thèse de doctorat.

Sous la définition de Poincaré, une fonction automorphic est une qui est analytique dans son domaine et est invariable sous un groupe infini denumerable de transformations partielles linéaires. Les fonctions d'Automorphic généralisent des fonctions trigonométriques et elliptiques.

Poincaré explique comment il a découvert des fonctions de Fuchsian :

pendant quinze jours j'ai tâché de montrer qu'il ne pourrait pas y avoir aucune fonction comme ceux j'ont depuis appelé des fonctions de Fuchsian. J'étais alors très ignorant ; journalier je me suis assis à ma table de travail, suis resté une heure ou deux, essayé un grand nombre de combinaisons et atteint aucuns résultats. Une soirée, contrairement à ma coutume, j'ai bu du café noir et ne pourrais pas dormir. Les idées ont monté dans les foules ; Je les ai senties se heurter jusqu'à ce que les paires aient enclenché, comme on dit, faisant une combinaison stable. Par le lendemain matin j'avais établi l'existence d'une classe des fonctions de Fuchsian, ceux qui viennent de la série hypergéométrique ; J'ai eu écrire seulement les résultats, qui ont pris mais quelques heures.

Poincaré a communiqué beaucoup avec le Felix Klein , un autre mathématicien travaillant sur des fonctions de Fuchsian. Elles pouvaient discuter et promeuvent la théorie de fonctions d'automorphic/Fuchsian. Apparemment, Klein est devenu jaloux de l'opinion élevée de Poincaré du travail de Fuchs et a fini leur rapport à de mauvaises conditions.

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