Fonction se produisante de Logmoment

Dans les mathématiques , la fonction se produisante d'élan logarithmique de (équivalent à fonction se produisante ) (GEN fonctionnel de cumulant de de logmoment de ) est définie comme suit : $de \ mu_ {Y} (s)= \ ln E (e^ {s \ cdot Y})$

là où le Y est une variable aléatoire .

Ainsi, si le Y est une variable aléatoire discrète , puis $de \ mu_ {Y} (s) : = \ ln \ P sum_y (y) \ e^ de cdot {s \ cdot y},$

particulièrement pour le cas binaire (distribution de Bernoulli ) $\ mu_Y= \ ln de \ parti \ {e^s de p \ cdot + (1-p) \ droit \}$

et si le Y est une variable aléatoire avec la distribution continue , puis $de \ mu_ {Y} (s) : = \ ln \ int_y \ phi (y) \ e^ de cdot {s \ cdot y}.$

Ici &Phi ; est la fonction de répartition cumulative du Y .

il est également vrai que pour une somme de variables aléatoires indépendantes $Y= de \ ^J X_j$ du sum_ {j=1}

cela $de \ ^J de mu_Y= \ sum_ {j=1} \ mu_ {X_j} (s)$

Preuve :

$\ mu_Y= \ ln \ (e^ {s \ cdot Y} \ droit) = laissé \ ln E \ parti (e^ {^J X_j de s \ cdot \ sum_ {j=1}} \ droit) \ stackrel {*} {=} \ ^ de ln \ prod_ {j=1} {J} E \ parti (e^ {s \ cdot X_j} \ droit) = \ ^J du sum_ {j=1} \ ln E \ parti (e^ {s \ cdot X_j} \ droit) = \ ^J du sum_ {j=1} \ mu_ {X_j} (s).$

(" ; *" ; est où nous avons employé l'indépendance des variables aléatoires de $X_j$ )

Voir également

Fonction se produisante de cumulant de
Fonction se produisante de moment de

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