Fonction se produisante

Dans les mathématiques une fonction se produisante de est une série entière formelle dont les coefficients codent des informations sur un de l'ordre un n de _{de qui est indexé par les nombres normaux}

Il y a de divers types de fonctions se produisantes, y compris les fonctions se produisantes ordinaires , les fonctions se produisantes exponentielles , les séries de Lambert de , les séries de Bell de , et les séries de Dirichlet de ; des définitions et les exemples sont donnés ci-dessous. Chaque ordre a une fonction se produisante de chaque type. La fonction se produisante particulière qui est la plus utile dans un contexte donné dépendra de la nature de l'ordre et des détails du problème étant adressé.

Des fonctions se produisantes sont souvent exprimées en forme close comme fonctions d'un formel X d'argument. Parfois une fonction se produisante est évaluée à une valeur spécifique du X . Cependant, il doit se rappeler que les fonctions se produisantes sont des séries entières formelles, et elles nécessairement ne convergeront pas pour toutes les valeurs du X .

Il est important de noter cela des fonctions se produisantes sont des fonctions du pas dans le sens formel d'une cartographie d'un domaine à un codomain ; le nom provient simplement de l'étude historique des structures.

Définitions

la fonction se produisante du A de

est une corde à linge sur laquelle nous accrochons vers le haut un ordre des nombres pour l'affichage. &mdash ; Herbert Wilf , Generatingfunctionology (1994)

Fonction se produisante ordinaire

La fonction se produisante ordinaire de d'un d'ordre un n de _{de est $G de (a_n ; ^ de x)= \ sum_ {n=0} {\ infty} a_nx^n.$}

Quand la fonction se produisante limite est employée sans qualification, elle est habituellement prise pour signifier une fonction se produisante ordinaire.

Si le un n de _{de est la fonction de masse de probabilité d'une variable aléatoire discrète , alors sa fonction se produisante ordinaire s'appelle une fonction Probabilité-produisante .}

La fonction se produisante ordinaire peut être généralisée aux ordres avec des index multiples. Par exemple, la fonction se produisante ordinaire d'un d'ordre un m, n de _{de (où le n et le m sont des nombres normaux) est $G de (a_ {m, n} ; X, a_ de ^ de y)= \ sum_ {m, n=0} {\ infty} {m, n} x^my^n.$}

Fonction se produisante exponentielle

La fonction se produisante exponentielle de d'un d'ordre un n de _{de est}

< maths > de PAR EXEMPLE (a_n ; a_n de ^ du _ de x)= \ somme {n=0} {\ infty} \ frac {x^n} {n !}.

Fonction se produisante de Poisson

La fonction se produisante de Poisson de d'un d'ordre un n de _{de est $PG de (a_n ; x)= \ somme _ {n=0} ^ {\ infty} a_n. ^ {-} de x \ frac {x^n} {n !}.$}

Série de Lambert

La série de Lambert de d'un d'ordre un n de _{de est $LG de (a_n ; a_n de ^ du _ de x)= \ somme {n=1} {\ infty} \ frac {x^n} {1-x^n}.$}

Noter que d'une série de Lambert que le n d'index commence à 1, pas à 0.

Série de Bell

La série de Bell de d'un f ( n ) de la fonction arithmétique et d'un principal p est $f_p de (^ de x)= \ sum_ {n=0} \ f infty (p^n) x^n.$

Fonctions se produisantes de série de Dirichlet

Les séries de Dirichlet sont souvent classifiées en tant que fonctions se produisantes, bien qu'elles ne soient pas strictement des séries entières formelles. La fonction se produisante de série de Dirichlet de d'un d'ordre un n de _{de est $DG de (a_n ; s) = \ somme _ {n=1} ^ {\} infty \ frac {a_n} {n^s}.$}

La fonction se produisante de série de Dirichlet est particulièrement utile quand le un n de _{de est une fonction multiplicative , quand il a une expression du produit d'Euler de en termes de série de Bell de la fonction $DG de (a_n ; s) = \ prod_ {p} f_p () de p^ {- s} \.$}

Si le un n de _{de est un caractère de Dirichlet de puis sa fonction se produisante de série de Dirichlet s'appelle une série L de Dirichlet de .}

Fonctions se produisantes d'ordre polynôme

L'idée des fonctions se produisantes peut être prolongée aux ordres d'autres objets. Ainsi, par exemple, des ordres polynômes du type binomial sont produits près $e^ de {xf (t)} = \ ^ de sum_ {n=0} \ infty {p_n (x) \ au-dessus de n !}t^n$

là où le n ( X ) de _{du p est un ordre des polynômes et du f ( t ) est une fonction d'un certain forment. Les ordres de Sheffer de sont produits d'une manière semblable. Voir les polynômes d'Appell généralisés par principal d'article pour plus d'information.}

Exemples

voient également : Exemples des fonctions se produisantes

Quelques brefs exemples suivent.

Les fonctions se produisantes pour l'ordre du des nombres carrés un n de _de = n ² sont :

Fonction se produisante ordinaire $G de de$

(n^2 ; ^ de x)= \ sum_ {n=0} {\ infty} n^2x^n= \ frac {x (x+1)} {(1-x) ^3}

Fonction se produisante exponentielle
< maths > de
de

PAR EXEMPLE (n^2 ; x)= \ somme _ {n=0} ^ {\} infty \ frac {n^2x^n} {n !}=x (x+1) e^x

Série de Bell $f_p de de$

(^ de x)= \ sum_ {n=0} \ x^n= de p^ {2n} \ frac infty {1} {1-p^2x}

Fonction se produisante de série de Dirichlet $DG de de$

(n^2 ; s) = \ ^ du sum_ {n=1} {\ infty} \ = du frac {n^2} {n^s} \ zéta (s-2)

Applications

Des fonctions se produisantes sont employées à
Relations de récurrence de de trouvaille de

pour le &ndash d'ordres ; la forme d'une fonction se produisante peut suggérer une formule de répétition.
Rapports de trouvaille entre le &ndash d'ordres ; si les fonctions se produisantes de deux ordres ont une forme semblable, alors les ordres eux-mêmes sont probablement connexes.
Explorer le comportement asymptotique des ordres.
Prouver les identités impliquant des ordres.
Résoudre les problèmes de l'énumération dans la combinatoire .
Évaluer les sommes infinies.

D'autres fonctions se produisantes

Les exemples des ordres de polynôme de produits par des fonctions se produisantes plus complexes incluent :
polynômes de différence
Polynômes d'Appell généralisés par
polynômes de Q-différence de

Voir également

fonction Moment-produisante
fonction Probabilité-produisante
Théorème de la réciprocité de Stanley de

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