Fonction normale

Exemples

Une fonction normale simple est donnée par le f (α) = 1 + α ; noter cependant que le f (α) = α + 1 est normale du pas . Si le β est un nombre ordinal fixe, puis le f (α) de fonctions = β + α, le f (α) = des × de β ; α et f (α) = β^α (pour le β > 1) sont tout normal.

Des exemples plus importants des fonctions normales sont donnés par le f (α) des nombres d'Aleph de = le א _α qui relie les nombres cardinaux de nombre ordinal et de et par le f (α) des nombres de Beth de = $\backslash \; beth\_\; \backslash \; alpha$.

Faits

Si le f est normal, puis pour tous $\backslash \; alpha\; \backslash dans\backslash \; mathrm\; \{Ord\}$, α de ≥ du f (α) de . (Preuve : si ce n'était pas le cas, nous pourrions choisir un γ minimal avec le < du f (α) ; α ; puis, puisque le f augmente strictement monotoniquement, f ( f (α)) < ; f (α), qui est une contradiction au α étant minimal.)

En outre, pour n'importe quel non vide S d'ensemble des nombres ordinaux, nous prenons le f ( S de de sup) = le f ( S ) de sup. (Preuve : " ; ≥" ; suit du monotonicity du f et de la définition du supremum. Pour le " ; ≤" ; , nous plaçons le S de δ = de sup et distinguons trois cas :
si δ = 0, puis S = {0} et f ( S ) de sup = f (0) ;
si le δ = le ν + 1, existe alors là le s dans le S avec le ν < le s , impliquant le f ( s ) de ≤ du s et ainsi du f (δ) de ≤ de δ, qui implique le f ( S ) de sup de ≤ du f (δ) ;
si le δ est un nombre ordinal de limite infinie, nous sélectionnons n'importe quels ν < δ, alors trouvons le s dans le S avec le ν < le s (puisque le S de δ = de sup) et par conséquent le f (ν) < le f ( s ), impliquant le f (ν) < le f ( S ) de sup et donc le f (δ) = sup { f (ν) : de sup de ≤ de ν < de δ} f ( S ) comme désiré.)