Fonction inverse

Dans les mathématiques , si &fnof ; est une fonction du A au B , puis une fonction inverse pour le &fnof ; est une fonction dans la direction opposée, du B au A , avec la propriété qu'un voyage aller-retour (une composition en ) de du A au B au A et/ou de du B au A au B renvoie chaque élément de l'ensemble initial à lui-même. Non chaque fonction a un inverse ; ceux qui font s'appellent le inversible.

Par exemple, laisser le &fnof ; être la fonction qui convertit une température dans le Celsius de degrés en température dans le Fahrenheit de degrés : $f\; de\; (C)\; =\; \backslash \; tfrac95\; C\; +\; 32\; ;\; \backslash ,\; \backslash \; !$ alors sa fonction inverse convertit des degrés Fahrenheit en degrés Celsius : = de f^ de $de\; \{-\; 1\}\; (f)\; \backslash \; tfrac59\; (F\; -\; 32).\; \backslash ,\; \backslash \; !$

Ou, supposer le &fnof ; assigne à chaque enfant dans une famille de trois l'année de sa naissance. Une fonction inverse nous indiquerait quel enfant était né en année donnée. Cependant, si la famille a des jumeaux (ou des triplets) puis nous ne pouvons pas savoir quel au nom pendant leur année commune de naissance. Aussi bien, si nous sommes donnés une année l'où aucun enfant n'était né puis nous ne peut pas appeler un enfant. Mais si chaque enfant était né en année séparée, et si nous limitons l'attention aux trois années lesoù un enfant était né, alors nous avons une fonction inverse. Par exemple, le

Définitions

Laisser le ƒ être une fonction dont le domaine est le X de réglé par , et dont la gamme est le Y d'ensemble. Alors le inverse du ƒ est la fonction ƒ^-1 avec le Y de domaine et le X de gamme, défini par la règle suivante : $de\; \backslash \; texte\; \{si\}\; f\; (f^\; de\; x)\; =\; de\; y\; \backslash \; textes\; \{,\; puis\}\; \{-\; 1\}\; (y)\; =\; x\; \backslash \; texte\; \{.\}\backslash ,\; \backslash \; !$

Ainsi, une fonction inverse identifie uniquement le X d'entrée d'une autre fonction basée seulement sur son de rendement y , pour tout le &isin du y ; Y . Non toutes les fonctions ont un inverse. Pour que cette règle soit appliable, chaque   du y d'élément ; &isin ;   ; Le Y doit correspondre à exactement un   du X d'élément ; &isin ;   ; X . Un ƒ de fonction avec cette propriété s'appelle linéaire, ou information-préservation, ou une injection .

Par exemple, si le ƒ ( X ) = le y = X ², chaque élément dans le Y correspondrait à deux éléments différents dans le X ( X de ±), et donc le ƒ ne serait pas inversible. Plus avec précision, la place du X n'est pas inversible parce qu'il est impossible de déduire de son rendement le signe de son entrée. Une telle fonction s'appelle non-injective ou information-perdante. Noter que ni la racine carrée ni la fonction principale de la racine carrée n'est l'inverse du X ² parce que la première n'est pas le Single-valued, et le deuxième renvoie - le X quand le X est négatif.

Inverses dans des mathématiques plus élevées

La définition donnée ci-dessus est généralement adoptée dans le calcul . Dans des mathématiques plus élevées, le $f\; de\; denotation\backslash \; deux\; points\; X\; \backslash \; à\; Y\; \backslash ,\; \backslash \; !$ signifie le " ; le ƒ est une fonction traçant des éléments d'un X d'ensemble aux éléments d'un " du Y d'ensemble ;. La source, le X , s'appelle le domaine du ƒ, et la cible, le Y , s'appelle le Codomain . Le codomain contient la gamme du ƒ comme sous-ensemble , et est considéré une partie de la définition du ƒ.

En employant des codomains, l'inverse d'une fonction est exigé pour avoir le Y de domaine et le X de codomain. Pour que l'inverse soit défini sur tout le Y , chaque élément du Y doit se situer dans la gamme du ƒ de fonction. Une fonction avec cette propriété s'appelle sur ou un Surjection . Ainsi, une fonction avec un codomain est inversible si et seulement si elle est linéaire et sur. Une telle fonction s'appelle une correspondance linéaire ou un Bijection , et a la propriété que chaque élément correspond à exactement un élément.

Inverses et composition

Si le ƒ est une fonction inversible avec le X de domaine et le Y de gamme, puis le f^ de $de$

{- 1} \ est parti (\, f (x) \, \ droit) = x \ texte {, pour le chaque} x \ en X \ texte {.}

Ce rapport est équivalent au premier des définitions au-dessus-données de l'inverse, et il devient équivalent à la deuxième définition si Y coïncide avec le codomain du ƒ. Using la composition de des fonctions nous pouvons récrire ce rapport comme suit :

$f^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; circ\; f\; =\; \backslash \; \_X\; du\; mathrm\; \{identification\}\; \backslash \; texte\; \{,\}$

là où le X d'id _{est la fonction d'identité sur le X d'ensemble. Dans la théorie de catégorie de , ce rapport est employé comme définition d'un inverse Morphism .}

Si nous pensons de composition comme genre de multiplication des fonctions, cette identité indique que l'inverse d'une fonction est analogue à un inverse multiplicatif . Ceci explique l'origine de la notation ƒ^-1.

Note sur la notation

La notation placée au-dessus pour des inverses peut parfois être confondue avec d'autres utilisations des indices supérieurs, particulièrement en traitant le des fonctions hyperboliques trigonométriques de et .

Dans ƒ⁻¹ ( X ), le " placé au-dessus ; &minus ; 1" ; n'est pas un exposant. Une notation semblable est employée dans les systèmes dynamiques pour les fonctions réitérées par par exemple, ƒ² dénote deux itérations du ƒ de fonction ; si, puis, ou X + 2.

Dans le calcul, le ƒ ^{( n )} , avec des parenthèses, dénote le dérivé de Th du n d'un ƒ de fonction.

En trigonométrie , pour des raisons historiques, le de sin² ( X ) habituellement fait le moyen de la place du péché ( X ). Par exemple, les expressions

$\backslash \; sin^2\; X\; \backslash \; quadruple\; \backslash texte\{et\}\; \backslash \; quadruple\; (\backslash \; péché\; x)^2$

représenter la même chose, premier être une abréviation commode pour la seconde. Cependant, les expressions

$\backslash \; sin^\; \{-\; 1\}\; x\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; texte\; \{et\}\; \backslash \; quadruple\; (\backslash \; x)^\; de\; péché\; \{-\; 1\}$

sont le différent. Le premier dénote l'inverse à la fonction de sinus (réellement un inverse partiel , voient ci-dessous). Pour éviter la confusion, une fonction trigonométrique inverse est souvent indiquée par le " de préfixe ; arc" ;. Par exemple le sinus inverse s'appelle typiquement l'arc sinus :

$\backslash \; sin^\; \{-\; 1\}\; x\; =\; \backslash \; arcsin\; X\; =\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; d\text{'}asin\; \backslash ,\; X.\; \backslash ,\; \backslash \; !$

La fonction est l'inverse multiplicatif au sinus, et s'appelle le Cosecant . C'est habituellement csc  dénoté ; X : $de\; (\backslash \; x)^\; de\; péché\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; =\; de\; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; péché\; X\}\; \backslash \; csc\; X.\; \backslash ,\; \backslash \; !$

Propriétés

Unicité

Si une fonction inverse existe pour un ƒ donné de fonction, elle est unique.

Symétrie

Il y a une symétrie entre une fonction et son inverse. Spécifiquement, si l'inverse du ƒ est ƒ^-1, puis l'inverse de ƒ^-1 est le ƒ original de fonction. Dans les symboles : le $de$

\ commencent {aligner} et \ texte {si} &f^ {- 1} \ circ f = \ \ de _X \ textes du mathrm {identification} {,} \ et \ &f des textes {puis} \ f^ de circ {- 1} = \ _Y \ texte du mathrm {identification} {.} \ extrémité {aligner}

Ce rapport est une conséquence évidente de la déduction au-dessus-expliquée qui, pour que le ƒ soit inversible, elle doit être injective (première définition de l'inverse) ou bijective (deuxième définition). La propriété de la symétrie peut être avec concision exprimée par la formule suivante : $de$

\ (f^ {- 1} \ droit) ^ laissé {- 1} = F. \, \ !

Inverse de composition

L'inverse de composition des fonctions est donné par le $de\; de\; formule\; (g)^\; de\; f\; \backslash \; circ\; \{-\; 1\}\; =\; g^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; f^\; de\; circ\; \{-\; 1\}$ Noter que l'ordre du ƒ et le g ont été renversés ; pour défaire le g suivi du ƒ, nous devons d'abord défaire le ƒ et ensuite défaire le g .

Par exemple, laisser, et laisser. Alors la composition est la fonction qui multiplie d'abord près trois et additionne alors cinq : $de\; (f\; \backslash \; circ\; g)\; (x)\; =\; 3x\; +\; 5$ Pour renverser ce processus, nous devons d'abord soustraire cinq, et puis nous divisons par trois : $de\; (=\; de\; g)^\; de\; f\; \backslash \; circ\; \{-\; 1\}\; (y)\; \backslash \; tfrac13\; (y\; -\; 5)$ C'est la composition .

Individu-inverses

Si le X est un ensemble, alors la fonction d'identité sur le X est son propre inverse : = de _X^ de $\backslash \; mathrm\; de$

{identification} {- 1} \ mathrm {identification} _X

Plus généralement, une fonction est égale à son propre inverse si et seulement si la composition est égale au X d'id_{. Une telle fonction s'appelle une involution .}

Inverses dans le calcul

le calcul Simple-variable est principalement concerné par les fonctions qui tracent les vrais nombres à de vrais nombres. De telles fonctions sont souvent définies par les formules comme : $f\; de\; (x)\; =\; (2x\; +\; 8)^3.\; \backslash ,\; \backslash \; !$ Un ƒ de fonction des vrais nombres aux vrais nombres possède un inverse tant que il est linéaire, c. tant que le graphique de la fonction passe au le trait horizontal l'essai .

La table suivante montre plusieurs fonctions standard et leurs inverses :

Formule pour l'inverse

Une approche à trouver une formule pour ƒ^-1, si elle existe, est de résoudre l'équation pour le X . Par exemple, si le ƒ est la fonction $f\; de$

(x) = (2x + 8)^3 \, \ !

alors nous devons résoudre l'équation pour le X : le $de$

\ commencent {aligner} y et = (2x+8)^3 \ \ \ racine carrée {y} et = 2x + 8 \ \ \ racine carrée {y} - 8 et = 2x \ \ \ dfrac {\ racine carrée {y} - 8} {2} et = X. \ extrémité {aligner}

Ainsi la fonction inverse ƒ^-1 est donnée par la formule = de $f^\; de$

{- 1} (y) \ dfrac {\ racine carrée {y} - 8} {2}. \, \ !

Parfois l'inverse d'une fonction ne peut pas être exprimé par une formule. Par exemple, si le ƒ est la fonction $f\; de$

(x) = x + \, de péché X \, \ !

alors le ƒ est linéaire, et possède donc une fonction inverse ƒ^-1. Il n'y a aucune formule simple pour cet inverse, puisque l'équation ne peut pas être résolue algébriquement pour le X .

Graphique de l'inverse

Si le ƒ et les ƒ^-1 sont des inverses, puis le graphique de la fonction

$y\; =\; f^\; \{-\; 1\}\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; !$

est le même que le graphique de l'équation $x\; de$

= f (y). \, \ !

C'est identique à l'équation qui définit le graphique du ƒ, sauf que les rôles du X et du y ont été renversés. Ainsi le graphique de ƒ^-1 peut être obtenu à partir du graphique du ƒ en commutant les positions des haches du X et du y . C'est équivalent au reflétant le graphique à travers la ligne .

Inverses et dérivés

Un ƒ de la fonction continue est linéaire (et par conséquent inversible) si et seulement si c'est augmentant ou diminuant (sans maximum ou minimum locaux ). Par exemple, la fonction $f\; de$

(x) = x^3 + x \, \ !

est inversible, depuis le dérivé est toujours positif.

Si le ƒ de fonction est le différentiable, alors le ƒ^-1 inverse sera différentiable tant que. Le dérivé de l'inverse est donné par le théorème de fonction inverse : $de\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{Dy\}\; \backslash \; f^\; laissé\; \{-\; 1\}\; (y)\; \backslash \; =\; droit\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{f\text{'}\backslash \; laissé\; (f^\; \{-\; 1\}\; (y)\; \backslash \; droit)\}.$ Si nous plaçons, alors la formule ci-dessus peut être écrite = de $\backslash \; frac\; de\; \{dx\}\; \{Dy\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{Dy/dx\}.$ Ce résultat suit de la règle à chaînes (voir l'article sur les fonctions inverses et la différentiation ).

Le théorème de fonction inverse peut être généralisé aux fonctions de plusieurs variables. Spécifiquement, une fonction différentiable est inversible dans un voisinage d'un p de point tant que la matrice de Jacobian du ƒ au p est le inversible. Dans ce cas-ci, le Jacobian de ƒ^-1 au ƒ ( p ) est le Matrix inverse du Jacobian du ƒ au p .

Généralisations

Inverses partiels

Même si un ƒ de fonction n'est pas linéaire, il peut être possible de définir un inverse partiel de ƒ par le limitant le domaine. Par exemple, la fonction $f\; de$

(x) = x^2 \, \ !

n'est pas linéaire, depuis. Cependant, la fonction devient linéaire si nous limitons au domaine, dans ce cas = de $f^\; de$

{- 1} (y) \ racine carrée {y}.

(Si nous limitons à la place au domaine, alors l'inverse est le négatif de la racine carrée du X .) Alternativement, il n'y a aucun besoin de limiter le domaine si nous sommes contents avec l'inverse étant une fonction à valeurs multiples : = de $f^\; de$

{- 1} (y) \ P. \ racine carrée {y}.

Parfois cet inverse à valeurs multiples s'appelle le plein inverse du ƒ, et les parties (telles que &radic ; X et −&radic ; le X ) s'appellent les branches . La branche la plus importante d'une fonction à valeurs multiples (par exemple la racine carrée positive) s'appelle la branche principale , et la sa valeur au y s'appelle la valeur principale de ƒ^-1 ( y ).

Pour une fonction continue sur la vraie ligne, une branche est exigée entre chaque paire d'extrema locaux . Par exemple, l'inverse d'une fonction cubique avec un maximum local et un minimum local a trois branches (voir l'image vers la droite).

Ces considérations sont particulièrement importantes pour définir les inverses des fonctions trigonométriques . Par exemple, la fonction de sinus de n'est pas linéaire, depuis = de $\backslash \; péché\; de$

(x + 2 \ pi) \ péché (x) \, \ !

pour chaque vrai X (et plus généralement pour chaque n de nombre entier ). Cependant, le sinus est linéaire sur l'intervalle , et l'inverse partiel correspondant s'appelle l'arc sinus . Ceci est considéré la branche principale du sinus inverse, ainsi la valeur principale du sinus inverse est toujours entre - ^{&pi ;} &frasl ; ₂ et ^{&pi ;} &frasl ; ₂. La table suivante décrit la branche principale de chaque fonction trigonométrique inverse :

Inverses gauches et droits

Si ƒ : Le Y de → du X , un inverse gauche pour le ƒ (ou rétraction de de de ƒ) est une fonction tels que $g\; \backslash \; circ\; de$

f = \ _X du mathrm {identification}. \, \ !

C'est-à-dire, le g de fonction satisfait la règle $de$

\ texte {si} f (x) = y \ texte {, puis} g (y) = X. \, \ !

Ainsi, le g doit égaler l'inverse du ƒ sur la gamme du ƒ, mais peut prendre toutes les valeurs pour des éléments du Y pas dans la gamme. Un ƒ de fonction a un inverse gauche si et seulement s'il est injectif.

Un droit de inverse pour le ƒ (ou section de de de ƒ) est une fonction tels que $f\; \backslash \; circ\; de$

h = \ _Y du mathrm {identification}. \, \ !

C'est-à-dire, le h de fonction satisfait la règle $de$

\ texte {si} h (y) = x \ texte {, puis} f (x) = Y. \, \ !

Ainsi, le h ( y ) peut être des éléments l'uns des du X qui tracent au y sous le ƒ. Un ƒ de fonction a un bon inverse si et seulement s'il est surjectif (cependant construction telle un inverse exige en général l'axiome de du choix ).

Un inverse qui est un inverse gauche et droit doit être unique ; autrement pas. De même, si le g est un inverse gauche pour le &fnof ; puis &fnof ; ne peut pas être un bon inverse pour le g ; et si &fnof ; est un bon inverse pour le g du g alors n'est pas nécessairement un inverse gauche pour le &fnof ;.

Preimages

Si ƒ : Le Y de → du X est n'importe quelle fonction (pas nécessairement inversible), le preimage (ou image inverse ) d'un élément est l'ensemble de tous les éléments du X qui tracent au y : le $f^\; de$

{- 1} (y) = \ est parti \ {x \ dans X : f (x) = y \ droit \}. \, \ !

Le preimage du y peut être considéré comme image du y sous le plein inverse (à valeurs multiples) du f de fonction.

De même, si le S est n'importe quel sous-ensemble Y , le preimage du S est l'ensemble de tous les éléments du X qui tracent au S : le $f^\; de$

{- 1} (s) = \ est parti \ {x \ dans X : f (x) \ dans S \ droit \}. \, \ !

Le preimage d'un élément simple s'appelle parfois la fibre de de du y . Quand le Y est l'ensemble de vrais nombres, il est commun pour se rapporter à ƒ^-1 ( y ) car un niveau réglé de de .

Voir également

Fonction trigonométrique inverse
Logarithme
Théorème de fonction inverse
Fonctions inverses et différentiation
Relation inverse
Élément inverse

.

Random links:

Observatoire de McDonald | 1798) d'USS Pickering ( | Autorité de rail d'état de la Nouvelle-Galles du Sud | Michael Penn (base-ball) | James Henry | Función_inversa

© 2007-2009 encyclopediefrancaise.com; le texte de cet article est distribué sous les termes de GFDL; en.wikipedia.org