Fonction gaussienne

Dans les mathématiques , une fonction gaussienne (baptisé du nom de Carl Friedrich Gauss ) est une fonction de la forme : $f\; de$

(x) = un e^ {- {(x-b) ^2 \ plus de 2 c^2}}

pour un certain vrai de constantes du > 0, un b , et un c > 0.

Le de paramètre un est la taille de la crête gaussienne, le b est la position du centre de la crête, et le c commande la largeur du " ; bump" ;.

Propriétés

Le c de paramètre est lié au FWHM de la crête selon

$\backslash \; mathrm\; \{FWHM\}\; =\; 2\; \backslash \; racine\; carré\; \{2\; \backslash \; ln\; (2)\}\; \backslash \; c.$

Alternativement, le c de paramètre peut être interprété en disant que les deux points d'inflexion de de la fonction se produisent au X = b - le c et le X = b + c .

Prenant à la transformée de Fourier d'une fonction gaussienne avec le de paramètres un , le b =0 et le c rapporte une autre fonction gaussienne, avec C. de de paramètres , b =0 et 1 c . Tellement en particulier les fonctions gaussiennes avec le b =0 et le c =1 sont maintenues fixes par la transformée de Fourier (elles sont les fonctions propres de la transformée de Fourier avec la valeur propre 1).

Les fonctions gaussiennes sont le analytique, et leur limite pour le &rarr du X ; ± ; &infin ; est 0. Les fonctions gaussiennes sont parmi ces fonctions qui sont le élémentaire mais le élémentaire Antiderivatives de manque le intégral de la fonction gaussienne est la fonction erreur . Néanmoins leurs intégrales inexactes au-dessus de la vraie ligne de totalité peuvent être évaluées exactement, using l'intégrale gaussienne

$\backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; e^\; \{-\; x^2\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; pi\}$

et on obtient $de$

\ ^ d'int_ {- \ infty} \ infty un e^ {- {(x-b) ^2 \ plus de 2 c^2}} \, dx=ac \ cdot \ racine carrée {2 \ pi}

Cette intégrale est 1 si et seulement si = 1 ( c &radic ; (2&pi ;)), et dans ce cas-ci le gaussien est la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire normalement distribuée du avec le &mu de la valeur prévue ; = b et &sigma du désaccord ; c ² de ²=. Ces Gaussians sont représentés graphiquement dans la figure de accompagnement.

Fonction gaussienne bidimensionnelle

Un exemple particulier d'une fonction gaussienne bidimensionnelle est < ! -- Ceci rend la formule compatible à la formule 1d ci-dessus --> $f\; de\; (x,\; y)\; =\; A\; e^\; \{-\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{(x-x\_o)\; ^2\}\; \{2\; \backslash \; sigma\_x^2\}\; \backslash )\; -\; droit\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{(y-y\_o)\; ^2\}\; \{2\; \backslash \; sigma\_y^2\}\; \backslash \; droit)\}.$

Ici le A de coefficient est l'amplitude, le X _o, y_o est le centre et le X , le y de σ _{de σ sont les diffusions du X et du y de la goutte . La figure du côté gauche a été créée using le A = 1, le X o = 0, le y o = 0, le X de σ = y de σ = 1.}

Généralement une fonction gaussienne bidimensionnelle est exprimée As $f\; de$

(x, y) = A \ exp \ parti (- \ laissé (a (x - x_o) ^2 + b (x-x_o) (y-y_o) + c (y-y_o) ^2 \ droit) \) droit

là où la matrice le $de$

\ est parti du \ d'a et de b \ b et c \ extrémité {matrice} \ droit

est le positif-défini.

Using cette formulation, la figure du côté gauche peut être créée using le A = 1, ( X _o, y _o) = (0, 0), = c = 1, le b = 0.

Signification des paramètres pour l'équation générale

Pour la forme générale de l'équation le A de coefficient est l'amplitude et ( X _o,   ; le y _o) est le centre de la goutte.

Si nous placions = de $a\; de$

\ laissé (\ frac {\ cos \ thêta} {\ sigma_x} \ droit) ^2 + \ (\ frac {\ péché \ thêta} {\ sigma_y} \ droit) ^2 laissé

< ! -- interligne supplémentaire entre deux lignes de TeX montré, pour la lisibilité --> $b\; de$

= - \ + de frac {\ sin2 \ thêta} {\ sigma_x^2} \ frac {\ sin2 \ thêta} {\ sigma_y^2}

< ! -- interligne supplémentaire entre deux lignes de TeX montré, pour la lisibilité --> = de $c\; de$

\ laissé (\ frac {\ péché \ thêta} {\ sigma_x} \ droit) ^2 + \ (\ frac {\ cos \ thêta} {\ sigma_y} \ droit) ^2 laissé

alors nous tournons la goutte par un $d\text{'}angle\; \backslash \; theta$. Ceci peut être vu dans les exemples suivants :

L'explication du laïque

La fonction gaussienne explique des anomalies de distribution, par exemple le bombardement des molécules pour obtenir des ions dans spectometry de masse. L'énergie cinétique des molécules avant que l'ionisation soit idéalement mettent dedans la référence à zéro à la direction de l'accélération par le secteur magnétique. Bien que si l'énergie cinétique de la molécule respective était négative avant le moment de l'ionisation par l'énergie cinétique transférée de l'électron, la vitesse résultante au détecteur soit plus lente que prévue. Vice versa pour une molécule maintenant une vitesse positive relative avant le moment de l'ionisation éprouve une vitesse plus rapide que prévu pour lui est le poids. Les effets sont représentés dans une courbe de cloche par lequel le trouver en bloc en dessous du domaine prévu, et les déviations duquel diminuent exponentiellement dans l'une ou l'autre direction de ce point. Le mentionné ci-dessus explique une distribution prescribed simple, bien que les effets puissent être complexés par les courbes de recouvrement multiples de cloche. Pour le visuel, imaginer une anomalie distribuée faire partie d'une cloche voisine, tordant de ce fait les données vues.

Applications

Les fonctions gaussiennes apparaissent dans beaucoup de contextes en sciences normales , sciences sociales , mathématiques , et technologie . Quelques exemples incluent :
Dans les statistiques et la théorie des probabilités , les fonctions gaussiennes apparaissent comme fonction de densité du de distribution normale , qui est une distribution de probabilité limiteuse des sommes compliquées, selon le théorème de limite centrale .
Des fonctions gaussiennes sont étroitement liées à l'équation (homogène et isotrope) , une équation différentielle partielle de diffusion de qui décrit l'évolution de temps d'une masse-densité sous la diffusion . Spécifiquement, si la masse-densité au t =0 de temps est indiquée par un delta de Dirac de , qui signifie essentiellement que la masse est au commencement concentrée dans un unique, puis la masse-distribution au t de temps sera donnée par une fonction gaussienne, avec le c de paramètre étant linéairement lié à &radic ; t . Plus généralement, si la masse-densité initiale est &phi ; ( X ), alors la masse-densité aux heures postérieures est obtenue en prenant la convolution du &phi ; avec une fonction gaussienne.
Une fonction gaussienne est la fonction d'onde de l'état fondamental de l'oscillateur harmonique de Quantum de .
Les orbites moléculaires utilisées dans la chimie informatique peuvent être les combinaisons linéaires des fonctions gaussiennes appelées les orbitales gaussiennes (voir également la base de (chimie) réglé).
Mathématiquement, les dérivés de la fonction gaussienne sont employés pour définir les polynômes de Hermite de
En conséquence, des fonctions gaussiennes sont également associées à l'état de vide dans la théorie des champs de Quantum .
Les faisceaux gaussiens sont employés dans les systèmes optiques et de micro-onde,
Des fonctions gaussiennes sont employées comme lissant des grains pour se produire multi-mesurent des représentations dans la vision d'ordinateur et le à traitement d'images -- voir l'article sur la représentation de l'espace de balance de . Spécifiquement, des dérivés de Gaussians sont employés comme base pour définir un grand nombre de types d'opérations visuelles.
Des fonctions gaussiennes sont employées dans quelques types de réseaux neurologiques artificiel

Voir également

Fonction de Lorentzian de
de distribution normale multivariable

.

Random links:

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