Fonction gamma

Dans les mathématiques , la fonction gamma (représentée par le &Gamma grec profité de ''' de de lettre ; le ''' ) est une prolongation de la fonction factorielle du au de vrais nombres complexes de et . Pour un de nombre complexe z avec la partie réelle positive il est défini près

$\ gamma (z) = \ int_0^ \ infty t^ {z-1} e^ {-} de t \, \ mathrm {d} t$

ce qui peut être prolongé au reste du plan complexe, sauf les nombres entiers non positifs.

Si le z est un nombre entier positif, puis $\ gamma de (z) = (z-1) ! \,$ représentation du raccordement à la fonction factorielle. La fonction gamma généralise la fonction factorielle pour le non-nombre entier et les valeurs complexes du n .

La fonction gamma est un composant dans diverses fonctions de probabilité-distribution, et car telle il s'applique dans les domaines de la probabilité et des statistiques , aussi bien que la combinatoire .

Définition

Définition principale

La notation Γ ( z ) est due au Adrien-Marie Legendre . Si la partie réelle du z de nombre complexe est positive (au sujet > de 0), puis le $intégral de du \ Gamma (z) = \ int_0^ \ infty t^ {z-1} e^ {-} de t \, décollement \, \ !$ le converge absolument . Using l'intégration de par les pièces , on peut montrer ces $(z+1)=z \, \ gamma (z) \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, (1) \, \ !$ .

Cette équation fonctionnelle généralise le n de relation ! = × du n ; ( n -1) ! de la fonction factorielle. Nous pouvons évaluer Γ (1) analytiquement : $\ gamma de (1) = \ int_0^ \ = infty d'e^ {- t} décollement \ lim_ {k \ rightarrow \ infty} - e^ {- t} |_0^k = -0 - (- 1) = 1$ .

Combinaison de ces expositions de deux relations comment la fonction factorielle est un cas spécial de la fonction gamma : $\ gamma de (n+1) = n \, \ gamma (n) = \ cdots = n ! \, \ gamma (1) = n ! \,$

pour tout le n des nombres normaux .

C'est une fonction méromorphe du X avec les poteaux simples au X = n ( n de − = 0, 1, 2, 3,…) et résidus ( n de n /de −1)^{!. Il peut plus loin être employé pour prolonger Γ ( z ) à une fonction méromorphe définie pour tout le de nombres complexes z excepté le du z ; = ; 0, ; −1, −2, −3,… par la suite analytique . C'est cette version prolongée qui désigné généralement sous le nom de la fonction gamma.}

Définitions alternatives

Les définitions suivantes du produit infini pour la fonction gamma, les dues au Euler et au Weierstrass respectivement, sont valides pour tout le z de nombres complexes qui ne sont pas des nombres entiers ou zéro négatifs :

$\ commencer {aligner} \ Gamma (z) &= \ lim_ {n \ \} infty \ frac {n ! \ ; n^z} {z \ ; (\ de z+1) \ cdots (z+n)} \ \ Gamma (z) &= \ frac {e^ {- \ gamma z}} {z} \ ^ du prod_ {n=1} \ (1 + \ frac {z} {n} \ droit) \ infty \ laissé de l'e^ de ^ {- 1} {z/n} \ \ extrémité {aligner}$

là où &gamma ; est le Euler-Mascheroni constant.

Il est franc pour prouver que la définition d'Euler satisfait l'équation fonctionnelle (1) ci-dessus, comme suit. Si le z n'est pas égal à 0, -1, -2,…

$\ commencer {aligner} \ Gamma (z+1) &= \ lim_ {n \ \} infty \ frac {n ! \ ; n^ {z+1}} {(z+1) \ ; (\ de z+2) \ cdots (z+1+n)} \ le &= \ lim_ {n \ \ infty} \ sont partis (z \ ; \ frac {n ! \ ; n^z} {z \ ; (z+1) \ ; (z+2) \ cdots (z+n)} \ ; \ \ du frac {n} {(z+1+n)} \ droit) \ &= z \ ; \ Gamma (z) \ ; \ lim_ {n \ \} infty \ frac {n} {(z+1+n)} \ \ &= z \ ; \ Gamma (z) \ \ \ extrémité {aligner}$

Propriétés

Généralités

D'autres équations fonctionnelles importantes pour la fonction gamma sont la formule de la réflexion d'Euler de

$\ Gamma (1-z) \ ; \ Gamma (z) = {\ pi \ au-dessus de \ péché {(\ pi z)}} \, \ !$

et la formule de duplication

$\ Gamma (z) \ ; \ Gamma \ parti (z + \ frac {1} {2} \ droit) = 2^ {1-2z} \ ; \ racine carré} {\ pi \ ; \ Gamma (2z). \, \ !$

La formule de duplication est un cas spécial du théorème de multiplication de

$\ Gamma (z) \ ; \ Gamma \ parti (z + \ frac {1} {m} \) droit \ ; \ Gamma \ parti (z + \ frac {2} {m} \ droit) \ cdots \ Gamma \ parti (z + \ frac {m-1} {m} \ droit) = (2 \ pi) ^ {(m-1) /2} \ ; m^ {1/2 -} du MZ \ ; \ Gamma (MZ). \, \ !$

Une propriété de base mais utile, qui peut être vue de la définition de limite, est :

$\ overline {\ = de gamma (z)} \ gamma (\) d'overline {z} \, \ !$

Peut-être la valeur la plus bien connue de la fonction gamma à un argument de non-nombre entier est $de \ (\ frac {1} {2} \ droit), gamma \ laissé = \ racine carrée {\ pi} \, \ !$

ce qui peut être trouvé en plaçant le z =1/2 dans les formules de réflexion ou de duplication, en employant la relation à la bêta fonction donnée ci-dessous avec le X = y = 1/2, ou simplement en faisant = de $u de substitution \ racine carrée {t}$ dans la définition intégrale de la fonction gamma, ayant pour résultat une intégrale gaussienne . Généralement pour des valeurs de nombre entier impaires du n nous prenons :

$\ gamma \ parti (\ frac {n} {2} +1 \ droits) = \ racine carré} {\ pi \, \ frac {n ! !}{2^ {(n+1)/2}}$ ; ; ; ; ( n impair)

là où n ! ! dénote le double factoriel de .

Les dérivés de la fonction gamma sont décrits en termes de fonction de Polygamma de . Par exemple : $de \ z)= de Gamma'(\ gamma (z) \ psi_0 (z). \, \ !$

La fonction gamma a un poteau de l'ordre 1 au du z ; = ; de − n pour chaque n du nombre normal ; le résidu là est donné près $de \ operatorname {recherche} (\ gamma, - n) = \ frac {(- 1) ^n} {n !}. \, \ !$

Le théorème de Bohr-Mollerup de déclare que parmi toutes les fonctions l'élargissement des fonctions factorielles aux vrais nombres positifs, seulement la fonction gamma est le Notation-convexe, c., son logarithme naturel est le convexe. $de \ gamma (z+1)=z \ gamma (z) \,$ parce que :

$\ commencer {aligner} \ Gamma (z+1) &= \ int_0^ \ infty t^ {z+1-1} e^ {-} de t \, \ \ de mathrm {d} t \ &= \ int_0^ \ infty t^ {z} e^ {-} de t \, \ \ du mathrm {d} t \ \ extrémité {aligner}$

Et avec l'intégration par des pièces :

$\ commencer {aligner} &= \ parti t^ {} de z \ frac {1} {\ notation (e^ {- 1})}(e^ {- 1}) ^ {t} \ right_ {0} ^ {\ infty} + \ int_0^ \ infty zt^ {z-1} e^ {-} de t \, \ \ du mathrm {d} t \ &= \ underbrace {- ^ de _ d'e^ du t^ {z} {- t} 0} {{\ infty}} _ {=0-0} + \ int_0^ \ infty zt^ {z-1} e^ {-} de t \, \ \ du mathrm {d} t \ &= z \ int_0^ \ infty t^ {z-1} e^ {-} de t \, \ \ du mathrm {d} t \ &= z \ gamma (z) \ extrémité {aligner}$

Le dérivé de la fonction gamma est :

${d \ au-dessus de dx} \, \ gamma (x) = \ int_0^ \ infty t^ {x-1} e^ {-} de t \ ln t \, dt$

Fonction de pi

Une notation alternative qui a été à l'origine présentée par le gauss et qui est parfois employée est la fonction du pi, qui en termes de fonction gamma est

de  \ pi (z) = \ gamma (z+1) = z \ ; \ Gamma (z), \, \ !

de sorte que $de \ pi (n) = n ! \ !$ .

Using la fonction de pi la formule de réflexion prend la forme $de \ pi (z) \ ; \ Pi (- z) = \ frac {\ pi z} {\ = de péché (\ pi z)} \ frac {1} {\} d'operatorname {sinc} (z) \, \ !$

là où le sinc de est la fonction normale de Sinc de , alors que le théorème de multiplication prend la forme

$\ Pi \ parti (\ frac {z} {m} \) droit \, \ pi \ parti (\ frac {z-1} {m} \ droit) \ cdots \ pi \ (\ frac {z-m+1} {m} \ droit)$

laissé

\ parti (\ frac {(2 \ pi) ^m} {2 \ pi m} \ droit) ^ {1/2} \, m^ {-} de z \, \ pi (z). \, \ !

Nous trouvons également parfois $de \ pi (z) = \, de frac {1} {\ pi (z)} \ \ !$

ce qui est une fonction entière , définie pour chaque nombre complexe. Que le π ( z ) est entier le nécessite n'a aucun poteau, ainsi Γ ( z ) n'a aucun zéro .

Relation à d'autres fonctions

Dans la première intégrale ci-dessus, qui définit la fonction gamma, les limites de l'intégration sont fixes. Les fonctions gamma inachevées supérieur et inférieur sont les fonctions obtenues en permettant (respectivement) à la limite de l'intégration inférieure ou supérieure de varier.
La fonction gamma est liée à la bêta fonction par le de formule

\ Bêta (x, y)= \ frac {\ gamma (x) \ ; \ Gamma (y)} {\ gamma (x+y)}. \, \ !

Le dérivé de du logarithme de la fonction gamma s'appelle la fonction de digamma de ; de plus hauts dérivés sont les fonctions de Polygamma de
L'analogue de la fonction gamma au-dessus d'un champ fini ou un anneau fini sont les sommes gaussiennes par type de somme exponentielle .
La fonction gamma réciproque est une fonction entière et a été étudiée comme matière spécifique.
La fonction gamma apparaît également en relation importante avec la fonction de zéta de Riemann , &zeta ; ( z ).

) \ zéta (z) = \ pi^ {- \ 2}} de frac {1-z} {\ ; \ Gamma \ parti (\ frac {1-z} {2} \) droit \ ; \ zéta (1-z). de

et également dans la formule élégante suivante :

de  \ zéta (z) \ ; \ Gamma (z) = \ int_ {0} ^ {\} infty \ frac {u^ {z-1}} {e^u - 1} \ ; \ mathrm {d} u \, \ !.

qui est seulement valide pour le Re (z) > 1.

Parcelles de terrain

Valeurs particulières

Article principal de : Valeurs particulières de de la fonction gamma

$carrée {\ pi} \ approximativement -3.545 \ \ \ Et gamma du &= (de 1/2) \ racine carrée {\ pi} \ approximativement 1.772 \ \ \ Gamma (1) &= 0 ! \ du &= 1 \ \ 2} et de gamma (3/2) &= \ frac {\ racine carrée {\ pi}} {\ approximativement 0.886 \ \ \ Gamma (2) &= 1 ! \ du &= 1 \ \ 4} et de gamma (5/2) &= \ frac {3 \ racine carrée {\ pi}} {\ approximativement 1.329 \ \ \ Gamma (3) &= 2 ! \ du &= 2 \ \ 8} et de gamma (7/2) &= \ frac {15 \ racine carrée {\ pi}} {\ approximativement 3.323 \ \ \ Gamma (4) &= 3 ! \ du &= 6 \ \ extrémité {rangée}$

Approximations

Des valeurs complexes de la fonction gamma peuvent être calculées numériquement avec la précision arbitraire using l'approximation de Stirling de ou l'approximation de Lanczos de .

Appliquant l'intégration de par les pièces à l'intégrale d'Euler, la fonction gamma peut également être écrite

< ! -- Pouvons-nous avoir une meilleure définition, svp ? Quel est le X ici ? --> $\ gamma de (z) = e^ de x^z {- x} \ ^ de sum_ {n=0} \, infty \ frac {x^n} {z (z+1) \ cdots (z+n)} + \ int_x^ \ infty e^ {- t} t^ {z-1} \ mathrm {d} t \ \ !$

au sujet de là où, si ( z ) a été réduit à l'intervalle 2, la dernière intégrale est plus petit que le du X ; exp (- X ) < 2^{- N}. Ainsi en choisissant un approprié X , la fonction gamma peut être évaluée au peu du N de la précision avec la série ci-dessus. Si le z est raisonnable, le calcul peut être exécuté avec le de division binaire dans le O de temps ( M ( N ) (de notation ( N ) ²) où le M ( N ) est le temps nécessaire pour multiplier deux le N - nombres de bits.

Pour les arguments qui sont des multiples de nombre entier de 1/24 la fonction gamma peut également être évaluée rapidement using des itérations Arithmétique-géométriques du moyen (voir les valeurs particulières de de la fonction gamma ).

Puisque le gamma et les fonctions factorielles se développent tellement rapidement pour de modéré-grands arguments, beaucoup d'environnements de calcul incluent une fonction qui renvoie le logarithme naturel de la fonction gamma ; ceci se développe beaucoup plus lentement, et des calculs combinatoires tient compte ajouter et soustraire des notations au lieu de multiplier et de diviser des valeurs très grandes. La fonction de digamma, qui est le dérivé de cette fonction, est également généralement - vu.

Voir également

style=" de

Bêta fonction
Théorème de Bohr-Mollerup de
Fonction de digamma de
Fonction gamma elliptique
factoriel
Distribution gamma
Le constant du gauss de
Fonction gamma inachevée
Fonction gamma multivariable
K-symbole de Pochhammer de
Fonction de Polygamma de
L'approximation de Stirling de
Fonction de Trigamma de

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