Fonction erreur

Dans les mathématiques , la fonction erreur de (également appelé la fonction erreur de gauss de ) est un la fonction que non-élémentaire qui se produit dans la probabilité , les statistiques et les équations différentielles partielles il est définie comme :

$\backslash \; operatorname\; \{erf\}\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{2\}\; e^\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; int\_0^x\; \{-\; t^2\}\; dt.$

Propriétés

La fonction erreur est le impair :

$\backslash \; operatorname\; \{erf\}\; (-\; x)\; =\; -\; \backslash \; operatorname\; \{erf\}\; (x).$

En outre, parce que n'importe quel X un de nombre complexe a = de $\backslash \; operatorname\; de$

{erf} (x^ {*}) \ operatorname {erf} (x)^ {*}

là où le X * est le conjugé de complexe de du X .

L'intégrale ne peut pas être évaluée dans la forme close en termes de fonctions élémentaires , mais en augmentant la fonction à intégrer d'une série de Taylor , on obtient la série de Taylor pour la fonction erreur comme suit : $de$

\ operatorname {erf} (x)= \ frac {2} {\ racine carrée {\ pi}} \ ^ \ infin \ frac du sum_ {n=0} {(- x^ de ^n de 1) {2n+1}} {n ! (2n+1)} = \ frac {2} {\ racine carrée {\ pi}} \ (x \ frac {x^3} {3} + \ 10} - du frac {x^5} {\ frac {x^7} {42} + \ 216} - du frac {x^9} {\ \ cdots \ droit) laissé

ce qui se tient pour chaque X du vrai nombre , et également dans tout le plan complexe .

Pour le calcul itératif de la série ci-dessus, la formulation alternative suivante peut être utile : $de\; \backslash \; operatorname\; \{erf\}\; (x)=\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash racine\; carrée\{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; ^\; du\; sum\_\; \{n=0\}\; \backslash \; infin\; \backslash$ laissé (^n de x \ prod_ {i=1} {\ frac {- (2i-1) x^2} {I (2i+1)}} \ droit) parce que $\backslash \; frac\; \{-\; (2i-1)\; x^2\}\; \{I\; (2i+1)\}$ exprime le multiplicateur pour transformer la limite d'i^th en (limite d'i+1)^th (supposant nous numérotons le " ; x" ; comme la première limite).

(Ce résultat surgit de Taylor série expansion de $e^\; \{-\; x^2\}$, qui est $\backslash \; sum\_\; \{n=0\}\; \backslash \; frac\; \{(-\; 1)\; x^\; de\; ^n\; \{2n\}\}\; \{n\; !\}$, que nous intégrons alors la limite par limite. Les limites de dénominateur sont l'ordre A007680 dans l'OEIS.)

La fonction erreur à l'infini est exactement 1 (voir l'intégrale gaussienne ).

Le dérivé de la fonction erreur suit immédiatement de sa définition :

$\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{erf\}\; (x)=\; \backslash \; frac\; \{2\}\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash ,\; e^\; \{-\; x^2\}.$

inverse fonction erreur a série

$\backslash \; operatorname\; \{erf\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (x)=\; \backslash \; sum\_\; \{k=0\}\; ^\; \backslash \; infin\; \backslash \; frac\; \{c\_k\}\; \{2k+1\}\; \backslash \; à\; gauche\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; pi\}\}\; \{2\}\; x\; \backslash ),\; droit\; du\; ^\; \{2k+1\}\; \backslash ,\; \backslash \; !$ là où c ₀ = 1 et $c\_k=\; de$

\, de ^ {k-1} \ frac du sum_ {m=0} {c_ de c_m {k-1-m}} {(m+1) (2m+1)} = \ laissé \ {1.1, \ frac {7} {6} \ frac {127} {90}, \ ldots \ droit \}.

Ainsi nous avons l'expansion de série (note que des facteurs communs ont été décommandés des numérateurs et des dénominateurs) :

$\backslash \; operatorname\; \{erf\}\; ^\; \{-\; 1\}\; (x)=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash racinecarré\}\; \{\backslash \; pi\; \backslash \; laissé\; (x+\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\; x^3\}\; \{12\}\; +\; \backslash \; 480\}\; +\; du\; frac\; \{7\; \backslash \; pi^2\; x^5\}\; \{\backslash \; frac\; \{127\; \backslash \; pi^3\; x^7\}\; \{40320\}\; +\; \backslash \; 5806080\}\; +\; du\; frac\; \{4369\; \backslash \; pi^4\; x^9\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi^5\; x^\; 34807\; \{11\}\}\; \{182476800\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; droit).\; \backslash ,\; \backslash \; !$ (Après l'annulation les fractions de numérateur/dénominateur sont les entrées A092676/A132467 dans l'OEIS ; sans annulation les limites de numérateur sont données dans l'entrée A002067.)

La fonction erreur complémentaire de , erfc dénoté, est définie en termes de fonction erreur :

$\backslash mbox\{erfc\}\; (x)\; =\; 1\; \backslash \; mbox\; \{erf\}\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; int\_x^\; \{\backslash \; infty\}\; e^\; \{-\; t^2\}\; \backslash ,\; dt.$

La fonction erreur complexe de , le dénoté W ( X ), (également connu sous le nom de fonction de Faddeeva) est également définie en termes de fonction erreur : $w\; de$

(x) = e^ {- x^2} {\ textrm {erfc}} (- IX). \, \ !

Noter que la valeur de la fonction erreur au plus/sans l'infini est égale au plus/sans 1.

Applications

Quand résultat de série de mesure sont décrit par de distribution normale avec écart type $\backslash \; sigma$ et prévu valeur 0, alors $\backslash \; operatorname\; \{erf\}\; \backslash ,\; \backslash \; est\; partie\; (\backslash ,\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{\backslash \}\; de\; sigma\; \backslash \; racine\; carrée\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash )$ droit est la probabilité que l'erreur d'une mesure simple se trouve entre le &minus ; un et + un .

L'erreur et les fonctions erreur complémentaires se produisent, par exemple, dans les solutions de l'équation de la chaleur de quand les états de frontière sont donnés par la fonction d'étape de Heaviside .

En système numérique de télécommunication optique, le JUJUBE est exprimé par :

$\backslash \; mathrm\; \{JUJUBE\}\; =\; 0.5\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{\}\; d\text{'}erfc\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; mu\_1\; -\; \backslash \; mu\_2\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{2\}\; \backslash \; estparti(\backslash \; sigma\_1\; +\; \backslash \; sigma\_2\; \backslash \; droit)\}\; \backslash \; droit).$

Expansion asymptotique

Une expansion asymptotique utile de la fonction erreur complémentaire (et donc aussi de la fonction erreur) pour le grand X est = de $\backslash \; mathrm\; de$

{erfc} (x) \ frac {e^ {- x^2}} {x \ racine carrée {\ pi}} \ (- 1) ^n \ frac laissés {1 \ cdot3 \ cdot5 \ cdots (2n-1)}{(2x^2)^n} \ = droit \ frac {e^ {- x^2}} {x \ racine carrée {\ pi}} \ ^ du sum_ {n=0} \ (- 1) ^n \ frac infty {(2n) !}{n ! ^ (2x) {2n}}. \,

Cette série diverge pour chaque fini X . Cependant, dans la pratique seulement les limites premières de cette expansion sont nécessaires pour obtenir une bonne approximation d'erfc ( X ), tandis que la série de Taylor indiquée ci-dessus converge très lentement.

Une autre approximation est donnée près $de$

(\ operatorname {erf} (x)) ^2 \ approximativement 1 \ exp \ (- x^2 \ frac {4 \ pi+ax^2} {1+ax^2} \ droit) laissé

là où

$a\; =\; \backslash \; frac\; \{-\; 8\}\; \{\}\; de\; 3\; \backslash \; pi\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi-3\}\; \{\backslash \; pi-4\}.$

Fonctions relatives

La fonction erreur est essentiellement identique à la fonction de répartition cumulative normale standard , &Phi dénoté ; , comme ils diffèrent seulement par le mesurage et la traduction. En effet, $\backslash \; phi\; de$

(x) = \ frac {1} {2} \ est parti \.

Le inverse du $\backslash \; du\; phi\; \backslash ,$ est connu en tant que la fonction normale de quantile de , ou fonction du probit et peut être exprimé en termes de fonction erreur inverse en tant que $de\; \backslash \; operatorname\; \{probit\}\; (p)\; =\; \backslash \; Phi^\; \{-\; 1\}\; (p)\; =\; \backslash \; racine\; carré\; \{2\}\; \backslash ,\; \backslash \; ^\; d\text{'}operatorname\; \{erf\}\; \{-\; 1\}\; (2p-1).$

Le cdf normal standard est employé plus souvent dans la probabilité et les statistiques, et la fonction erreur est employée plus souvent dans d'autres branches des mathématiques.

La fonction erreur est un cas spécial de la fonction de Mittag-Leffler de , et peut également être exprimée comme fonction hypergéométrique confluente (la fonction de de Kummer) : $de$

\ mathrm {erf} (x)= \ frac {2x}} {\ racine carrée {\ pi} \, de _1F_1 \ laissé (\ frac {1} {2} \ frac {3} {2}, - x^2 \ droit).

Il a une expression simple en termes de Fresnel intégral. En termes de fonction gamma régularisée P et la fonction gamma inachevée , $de$

\ operatorname {erf} (x)= \ operatorname {sgn} (x) P \ parti (\ frac {1} {2}, x^2 \ droit) = {\ operatorname {sgn} (x) \ au-dessus de \ racine carrée {\ pi}} \ gamma \ parti (\ frac {1} {2}, x^2 \ droit).

le $\backslash \; operatorname\; \{sgn\}\; (x)\; \backslash$ est la fonction de signe .

Fonctions erreur généralisées

Quelques auteurs discutent les fonctions plus générales $E\_n\; de$

(x) = \ frac {n !}{\ racine carré {\ pi}} \ int_0^x e^ {-} de t^n \, décollement

\ frac {n !}{\ racine carrée {\ pi}} \ ^ du sum_ {p0} \ ^p d'infin (- 1) \ frac {x^ {np+1}} {(np+1) p !}\.

Le E ₂ ( X ) est la fonction erreur.

Graphique du généralisé E _n ( X ) de fonctions erreur. courbe du Grey : E ₁ ( X ) de = 1  ; &minus ;   ; e  ^{; &minus ; X} , courbe du red : erf de ( X ) = E ₂ ( X ), courbe du green : E ₃ ( X ), courbe de du blue : E ₄ ( X ) de , et courbe du yellow : E ₅ ( X ) de . (La courbe jaune est tout à fait près du y - axe et peut ne pas être évidente.) Après division par le n ! , tout le n de _{du E pour le sembler impair du n semblable (mais non identique) entre eux. De même, le n} de _{du E pour même le sembler du n semblable (mais non identique) entre eux après une division simple par le n !. Le n} de du E avec impair et même sembler du n semblable du côté positif du X du graphique.

$E\_n\; (x)\; \backslash ,$ peut également être exprimé pour x>0 using la fonction gamma $E\_n\; de$

(x) = \ frac {x \ (x^n \ droit) ^ {- 1/n} \ gamma laissés (n) \ parti (\ gamma \ parti (\ frac {1} {n} \ droit) - \ gamma \ parti (\ frac {1} {n}, x^n \ droit) \ droit)}{\ racine carrée \ pi}

Par conséquent $de$

\ operatorname {erf} (x) = 1 - \ frac {\ gamma \ parti (\ frac {1} {2}, x^2 \ droit)}{\ racine carrée \ pi}

Intégrales réitérées de la fonction erreur complémentaire

Les intégrales réitérées de la fonction erreur complémentaire sont définies près

$\backslash \; mathrm\; i^n\; \backslash \; operatorname\; \{erfc\}\; \backslash ,\; z\; =\; \backslash \; int\_z^\; \backslash \; infty\; \backslash \; mathrm\; i^\; \{n-1\}\; \backslash \; operatorname\; \{\}\; d\text{'}erfc\; \backslash ,\; \backslash \; zéta\; \backslash \; ;\; \backslash \; mathrm\; d\; \backslash \; zéta.\; \backslash ,$

Ils ont la série entière

$\backslash \; mathrm\; i^n\; \backslash \; operatorname\; \{\}\; d\text{'}erfc\; \backslash ,\; z$

\ ^ du sum_ {j=0} \ infty \ frac {(-) ^j z} {2^ {n-j} j ! \ Gamma \ parti (1 + \ frac {n-j} {2} \ droits)}\, de ce qui suivent le $de\; de\; propriétés\; de\; symétrie\; \backslash \; mathrm\; i^\; \{\}\; de\; 2m\; \backslash \; operatorname\; \{erfc\}\; (-\; z)$

- \ mathrm i^ {2m} \ operatorname {} d'erfc \, z

+ \ ^m du sum_ {q=0} \ frac {z^ {2q}} {2^ {2 (m-q) - 1} (2q) ! (m-q) !}

et

$\backslash \; mathrm\; i^\; \{2m+1\}\; \backslash \; operatorname\; \{erfc\}\; (-\; z)$

\ mathrm i^ {2m+1} \ operatorname {} d'erfc \, z

+ \ ^m du sum_ {q=0} \ frac {z^ {2q+1}} {2^ {2 (m-q) - 1} (2q+1) ! (m-q) !}\.

Exécution

C/C++ : Il est mis en application en tant que l'erf double de fonctions (double x) et erfc double (double x) dans l'en-tête math.h ou cmath dans la version de GNU. Ce n'est pas une partie de la norme et ne dépend pas de différentes réalisations de bibliothèque. Les paires de fonctions {erff () , erfcf () } et {erfl () , erfcl () } de valeurs de prise et de retour du type float et du long double respectivement.

Voir également

fonction gaussienne

.

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