Fonction de poids

Une fonction de poids de est un dispositif mathématique utilisé en exécutant une somme, une intégrale, ou une moyenne afin de donner à quelques éléments plus d'un " ; weight" ; que d'autres. Ils se produisent fréquemment dans les statistiques et l'analyse , et sont étroitement liés au concept d'une mesure . Des fonctions de poids peuvent être construites dans les arrangements discrets et continus.

Poids discrets

Dans l'arrangement discret, un poids $w\; de\; fonction\; :\; A\; \backslash \; \{\backslash \; Bbb\; R\}\; à\; ^+$ est une fonction positive définie sur un réglé A du discret du , qui est typiquement fini ou comptable. Le $w\; de\; fonction\; de\; poids\; (a)\; :\; =\; 1$ correspond à la situation non pondérée du dans laquelle tous les éléments ont le poids égal. On peut alors appliquer ce poids à de divers concepts.

Si

$f:\; A\; \backslash \; \{\backslash \; Bbb\; R\}\; à$

est un vrai - la fonction évaluée , puis la somme non pondérée f sur le A est $de$

\ sum_ {a \ dans A} f (a) ;

mais pour une fonction de poids de

$w:\; A\; \backslash \; \{\backslash \; Bbb\; R\}\; à\; ^+$,

la somme pesée par est $de$

\ f_ du sum_ {I} {I} (s, a) w_ {I} .

Une application commune des sommes pesées surgit dans l'intégration numérique .

Si le B est un sous-ensemble fini du de A , on peut remplacer le non pondéré de la cardinalité |B| du B par le a pesé la cardinalité $de$

\ sum_ {a \ à B} W (a).

Si le A est un ensemble non vide fini du , on peut remplacer le moyen non pondéré ou le moyen $de$

\

du frac {1} Poids continus

Dans l'arrangement continu, un poids est une mesure positive tel que le W (x) dx sur un certain $de\; domaine\; \backslash \; Omega$, ce qui est typiquement un sous-ensemble d'un $del\text{'}espace\; euclidien\{\backslash \; Bbb\; R\}\; ^n$, par exemple le $\backslash \; Omega$ a pu être un intervalle $$ de . Ici le dx de est la mesure de Lebesgue de et le $w\; :\; \backslash \; Omega\; \backslash \; à\; \backslash \; R^+$ est une fonction mesurable du non négatif . Dans ce contexte, le W de fonction de poids (x) désigné parfois sous le nom d'une densité .

si $f\; :\; \backslash \; Omega\; \backslash \; \{\backslash \; Bbb\; R\}\; à$ est un vrai - la fonction évaluée , puis le $intégral\backslash \; int\_\; \backslash \; Omega\; f\; du\; non\; pondéré\; du\; (x)\; \backslash \; dx$ peut être généralisé au $intégral\; \backslash \; à\; int\_\; \backslash \; à\; Omega\; de\; pesé\; par\; f\; (x)\; \backslash \; W\; (x)\; dx$. Noter qu'on peut devoir exiger du f d'être le absolument intégrable en ce qui concerne le W de poids (x) le dx afin de cette intégrale soit finie.

Si le E est un sous-ensemble de $\backslash \; Omega$, alors le volume vol. ( E ) de E peut être généralisé au $duvolume\backslash \; à\; int\_E\; pesés\; par\; W\; (x)\; \backslash \; dx$.

Si le $\backslash \; Omega$ a le volume pesé différent de zéro fini, alors nous pouvons remplacer le $de\; la\; moyenne\; \backslash \; frac\; non\; pondérés\; \{1\}\; \{vol.\; (\backslash \; Omega)\}\; \backslash \; int\_\; \backslash \; Omega\; f\; (x)\; \backslash \; dx$ par le $\backslash \; frac\; demoyennepesée\; \{\backslash \; int\_\; \backslash \; Omega\; f\; (x)\; \backslash \; W\; (x)\; dx\}\; \{\backslash \; int\_\; \backslash \; Omega\; W\; (x)\; \backslash \; dx\}.$

de Si $f\; :\; \backslash \; Omega\; \backslash \; \{\backslash \; Bbb\; R\}\; à$ et à $g\; :\; \backslash \; Omega\; \backslash \; \{\backslash \; Bbb\; R\}\; à$ sont deux fonctions, une peut généraliser le $duproduit\; intérieur\backslash \; langle\; non\; pondérés\; f,\; g\; \backslash \; rangle\; :\; =\; \backslash \; int\_\; \backslash \; Omega\; f\; (x)\; g\; (x)\; \backslash \; dx$ à un $de\; produit\; intérieur\; \backslash \; à\; langle\; pesés\; f,\; g\; \backslash \; rangle\; :\; =\; \backslash \; int\_\; \backslash \; Omega\; f\; (x)\; g\; (x)\; \backslash \; W\; (x)\; dx$. Voir l'entrée sur l'orthogonalité pour plus de détails.

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