Fonction de jet

La fonction de jet de est définie pour des écoulements bidimensionnels de diverses sortes. La fonction de jet peut être employée pour tracer les lignes de jet, qui sont perpendiculaires aux lignes équipotentielles du . Dans la plupart des cas, la fonction de jet est la partie imaginaire du potentiel complexe, alors que la fonction potentielle est la vraie cloison.

Vu le cas particulier de la dynamique des fluides , la différence entre les valeurs de fonction de jet à deux points quelconques donne le débit volumétrique (ou flux ) par une ligne reliant les deux points.

Noter que puisque les lignes profilées sont la tangente à l'écoulement, la valeur de la fonction de jet doit être la même le long d'une ligne profilée. S'il y avait un flux à travers une ligne, ce ne serait nécessairement pas tangente à l'écoulement, par conséquent ne serait pas une ligne profilée.

L'utilité de la fonction de jet se situe dans le fait que les composants de vitesse dans le X - et le y - des directions à un point donné sont donnés par les dérivés partiels de la fonction de jet à ce point. Une fonction de jet peut être définie pour n'importe quel écoulement des dimensions plus considérablement que deux, toutefois il est généralement le plus facile visualiser et dériver le cas bidimensionnel.

Pris ainsi que le potentiel de vitesse de , la fonction de jet peut être employée pour dériver un potentiel complexe pour un flux de fluide.

Fonction de jet bidimensionnelle

Le $de\; fonction\; de\; jet\; \backslash \; psi$ pour un écoulement bidimensionnel est défini tels que la vitesse d'écoulement peut être exprimée comme :

$\backslash \; =\; du\; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; nabla\; \backslash \; périodes\; \backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}$

Là où $\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}\; =\; (0.0,\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré)$ si le $de\; vecteur\; devitesse\backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; (u,\; v,\; 0)$.

Dans le système du même rang cartésien c'est équivalent au $de\; ,\; d\text{'}u=\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}\; \{\backslash \; y\; partiel\}\; \backslash \; qquad\; -\; de\; v=\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}\; \{\backslash \; x\; partiel\}$ Là où $u$ et $v$ sont les vitesses dans le $\backslash \; chapeau\; \{\backslash \; mathbf\; \{x\}\}$ et directions de $\backslash \; chapeau\; \{\backslash \; mathbf\; \{y\}\}$, respectivement.

Cette formulation de la fonction de jet satisfait l'équation bidimensionnelle de continuité de :

$\backslash \; +\; de\; frac\; \{\backslash \; u\; partiel\}\; \{\backslash \; x\; partiel\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; v\; partiel\}\; \{\backslash \; y\; partiel\}\; =\; 0$

Dérivation de la fonction de jet bidimensionnelle

Considérer deux points d'A et B dans l'écoulement plat bidimensionnel. Si la distance entre ces deux points est très petite : le δn, et un jet des passages d'écoulement entre ces points avec une vitesse moyenne, perpendiculaire de q à la ligne ab, le taux de débit par épaisseur d'unité, δΨ est donné par : $de\; \backslash \; delta\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; =\; q\; \backslash \; delta\; n\; \backslash ,$

Comme le → 0 de δn, réarrangeant cette expression, nous obtiennent :

$q\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}\; \{\backslash \}\; partiel\; de\; n\; \backslash ,$

Considérer maintenant l'écoulement plat bidimensionnel concernant un système du même rang. Supposer les regards d'un observateur le long d'un axe arbitraire dans la direction de l'augmentation et voit que l'écoulement croisant l'axe de la droite de a laissé . Une convention de signe est adoptée tels que la vitesse de l'écoulement est le positif. Cependant, cette convention de signe n'est pas universel et ne doit pas être prise ainsi avec prudence. Deux ou trois exemples doivent clarifier ce point :

Écoulement dans des coordonnées cartésiennes

En observant l'écoulement dans une place élémentaire dans un système cartésien de la coordonnée de x/y, nous avons : $de\; \backslash \; delta\; \backslash \; livre\; parpouce\; carré=\; -\; u\; \backslash \; delta\; y\; \backslash ,$ $\backslash \; delta\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; =\; v\; \backslash \; delta\; X\; \backslash ,$

là où u est la vitesse parallèle et dans à la direction de l'axe des abscisses, et de v est la vitesse parallèle et dans à la direction de l'axe des ordonnées. Dans ce cas-ci, nous avons une vitesse négative - d'u puisque l'écoulement croise l'axe des ordonnées de gauche à droite. Ainsi comme → 0 de δn et par le réarrangement, nous avons :

$u\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}\; \{\backslash \; y\; partiel\}\; \backslash ,$
$v\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}\; \{\backslash \}\; partiel\; de\; x\; \backslash ,$

Écoulement dans des coordonnées polaires

En observant l'écoulement dans une place élémentaire dans un système de la coordonnée polaire de r-θ, nous avons :

$\backslash \; delta\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; =\; -\; v\_r\; (r\; \backslash )\; de\; delta\; \backslash \; thêta\; \backslash ,$ $\backslash \; delta\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; =\; v\_\; \backslash \; thêta\; \backslash \; delta\; r\; \backslash ,$

là où v_r est la vitesse parallèle et dans à la direction du r-axe, et v_θ est la vitesse parallèle et dans à la direction du θ-axe. Dans ce cas-ci, nous avons une vitesse négative - de v_r puisque l'écoulement croise le θ-axe de gauche à droite. Ainsi comme → 0 de δn et par le réarrangement, nous avons :

$v\_r\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; thêta\}\; \backslash ,$
$v\_\; \backslash \; thêta\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}\; \{\backslash \}\; partiel\; de\; r\; \backslash ,$

Continuité : La dérivation

Considérer l'écoulement plat bidimensionnel dans un système du même rang cartésien. La continuité déclare que si nous considérons l'écoulement dans une place élémentaire, l'écoulement dans ce petit élément doit égaler le sortir de cet élément.

Tout le écoulement dans l'élément est donné par : $\backslash \; delta\; \backslash \; psi\_\; de\; \{dedans\}\; =\; u\; \backslash \; delta\; y\; +\; v\; \backslash \; delta\; X\; \backslash ,$

Tout le sortir de l'élément est donné par :

$\backslash \; delta\; \backslash \; psi\_\; \{dehors\}\; =\; \backslash \; parti\; (u\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; partiel\}\; \{\backslash \}\; partiel\; de\; x\; \backslash \; delta\; X\; \backslash \; droit)\; \backslash \; delta\; y\; +\; \backslash \; parti\; (v\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; v\; partiel\}\; \{\backslash \}\; partiel\; de\; y\; \backslash \; delta\; y\; \backslash )\; droit\; \backslash \; delta\; X\; \backslash ,$

Ainsi nous avons :

$\backslash \; delta\; \backslash \; psi\_\; \{dedans\}\; =\; \backslash \; delta\; \backslash \; psi\_\; \{dehors\}\; \backslash ,$
$u\; \backslash \; delta\; y\; +\; v\; \backslash \; delta\; X\; \backslash \; =\; \backslash \; parti\; (u\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; partiel\}\; \{\backslash \}\; partiel\; de\; x\; \backslash \; delta\; X\; \backslash \; droit)\; \backslash \; delta\; y\; +\; \backslash \; parti\; (v\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; v\; partiel\}\; \{\backslash \}\; partiel\; de\; y\; \backslash \; delta\; y\; \backslash )\; droit\; \backslash \; delta\; X\; \backslash ,$

et simplifiant à : de
de $\backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; partiel\}\; de$
+ {\ x partiel} \ frac {\ v partiel} {\ y partiel} = 0

(NOTA: : Tandis que nous avons ignoré la convention plus tôt de signe pour Ψ, les mathématiques doivent établir très bien mais cette preuve est peut-être légèrement plus rangée et plus facile à suivre). Substituant les expressions de la fonction de jet dans cette équation, nous avons : - de $\backslash \; frac\; de$

{\ partial^2 \ livre par pouce carré} {\ x partiel \ y partiel} \ frac {\ partial^2 \ livre par pouce carré} {\ y partiel \ x partiel} = 0

Vorticité

Dans des coordonnées cartésiennes, la fonction de jet peut être trouvée de la vorticité using l'équation de Poisson De : $\backslash \; vec\; \backslash \; nabla\; de\; ^2\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; =\; -\; \backslash \; omega$

là où $\backslash \; vec\; \backslash \; Omega\; =\; (0,\; 0,\; \backslash \; Omega)\; =\; de$ et de $\backslash \; vec\; \backslash \; Omega\; \backslash \; vec\; \backslash \; nabla\; \backslash \; périodes\; \backslash \; vec\; v.$

Voir également

Écoulement potentiel

.

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