Fonction de chantre

Dans les mathématiques , la fonction de chantre de , baptisée du nom du chantre de Georg de , est un exemple d'une fonction qui est le continu, mais pas du absolument continu.

Définition

Le c de fonction de chantre : &rarr ; est défini comme suit : exprès de

X dans la base 3. Si possible, n'employer aucun 1s. (Ceci fait une différence seulement si l'expansion finit dans 022222… = 100000… ou 200000… = 122222…)

Remplacer le 1 premier par des 2 et tout après lui avec 0.

Remplacer tout le 2s par 1s.

Interpréter le résultat comme nombre binaire. Le résultat est le c ( X ).

Par exemple :
1/4 devient 0.02020202… base 3 ; il n'y a aucun 1s ainsi la prochaine étape est toujours 0.02020202… ; ceci est récrit en tant que 0.01010101… ; une fois lue dedans la base 2, ceci est 1/3 ainsi c (1/4) = 1/3.01210121… base 3 ; le 1 premier change en 2 suivis de 0s pour produire 0.02000000… ; ceci est récrit en tant que 0.01000000… ; une fois lue dedans la base 2, ceci est 1/4 ainsi c (1/5) = 1/4.

(Il peut être beaucoup plus facile de comprendre cette définition en regardant le graphique ci-dessous qu'en saisissant l'algorithme.)

Propriétés

La fonction de chantre conteste des intuitions naïves au sujet de la continuité et de la mesure ; bien qu'elle soit continue partout et ait le dérivé nul presque partout , le c va de 0 à 1 car le X va de 0 à 1, et prend sur chaque valeur dans l'intervalle. La fonction de chantre est plus souvent l'exemple cité d'une vraie fonction qui est continue mais pas du absolument continu. Elle n'a aucun dérivé à n'importe quel membre du réglé par chantre ; elle est constante sur des intervalles de la forme (0. X ₃ du X ₂ du X ₁… X _n022222…, 0. X ₃ du X ₂ du X ₁… X _n200000…), et chaque point pas dans l'ensemble de chantre est dans un de ces intervalles, ainsi son dérivé est 0 extérieurs de l'ensemble de chantre. Prolongé vers la gauche avec la valeur 0 et vers la droite avec la valeur 1, c'est la fonction de répartition de probabilité cumulée d'une variable aléatoire qui est uniformément distribuée sur l'ensemble de chantre. Cette distribution de probabilité n'a aucune pièce discrète, c., elle ne concentre pas la probabilité positive à un point quelconque. Elle n'a également aucune partie qui peut être représentée par une fonction de densité ; l'intégration de n'importe quelle fonction de densité putative de probabilité qui n'est pas le presque partout zéro pendant aucun intervalle donnera la probabilité positive à un certain intervalle auquel cette distribution assigne la probabilité zéro. Voir la distribution de chantre de . La fonction de chantre est l'exemple standard d'une fonction singulière .

Définition alternative

Au-dessous de nous définissons un ordre du f _n de fonctions sur l'intervalle qui converge à la fonction de chantre.

Laisser le f ₀ ( X ) = le X .

Alors le n +1 ( X ) de _{du f sera défini en termes de n} ( X ) de _{du f .}

Laisser le n +1 ( X ) de _{du f = 0.5 n} (3 X ) de _{du f quand 0 &le ; &le du X ; 1/3.}

Laisser le n +1 ( X ) = 0.5 de _{du f quand 1/3 &le ; &le du X ; 2/3.}

Laisser le n +1 le n (3 de _{du f (de X ) = 0.5 de _{du f (&minus de X ; 2/3)) quand 2/3 &le ; &le du X ; 1.}}

Observer que le n de _{du f converge à la fonction de chantre. Noter également que le choix de commencer la fonction n'importe pas vraiment, si le f ₀ (0) = 0 et le f ₀(1) = 1 et le f ₀ est lié par .}

Encore une autre définition

La fonction de chantre est étroitement liée au chantre réglé de . Le réglé C de chantre peut être défini comme ensemble de ces nombres dans l'intervalle qui ne contiennent pas le chiffre 1 dans leur expansion base-3. Il s'avère que l'ensemble de chantre est une fractale avec (uncountably) infiniment beaucoup de points (volume zéro-dimensionnel), mais la longueur nulle (volume unidimensionnel). Seulement le

D-dimensionnel H_D

de volume (dans le sens d'une Haussdorff-mesure ) prend une valeur finie, où = de

(2) \ notation (3)

est la dimension de fractale du C . Nous pouvons définir la fonction de chantre alternativement comme le volume D-dimensionnel de sections de l'ensemble de chantre

$f (x)=H_D (C \ chapeau (0, x)).$

Généralisations

Laisser le ^ de $y= \ sum_ {k=1} \ b_k infty 2^ {- k}$ soit l'expansion (binaire) dyadique du du &le du vrai nombre 0 ; &le du y ; 1 en termes de b _k= {0.1} d'éléments binaires. Considérer alors le $C_z de fonction (^ de y)= \ sum_ {k=1} \ z^ infty de b_k {k}$ . Pour le du z ; = ; 1/3, l'inverse du $x= de fonction (2/3) C_ {1/3} (y)$ est la fonction de chantre. C'est-à-dire, du y ; = ; le y ( X ) est la fonction de chantre. Généralement pour tout du z ; < ; ; 1/2, le z ( y ) de _{du C ressemble à la fonction de chantre tournée de son côté, avec la largeur des étapes obtenant plus au loin pendant que le z approche zéro.}

La fonction de point d'interrogation de Minkowski de ressemble visuellement lâchement à la fonction de chantre, ayant l'aspect général d'un " ; out" doux ; Fonction de chantre. La fonction de point d'interrogation a la propriété intéressante de avoir les dérivés vanishing à tous les nombres raisonnables.

Random links: