Fonction de Sinc

Dans les mathématiques, la fonction de sinc de , dénotée par le $\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; mathrm\; \{sinc\}\; (x)\; \backslash ,$ et parfois comme $\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; mathrm\; \{SA\}\; (x)\; \backslash ,$, a deux définitions, parfois distinguées en tant que la fonction de sinc de normalisée par et fonction unnormalized de sinc du . Dans le traitement numérique du signal De et la théorie de l'information de , le la fonction normalisée de sinc est généralement défini près $de$

\ mathrm {SA} (x) = \ = de mathrm {sinc} (x) \ frac {\ péché (\ pi x)} {\ pi X}.

Dans les mathématiques , la fonction unnormalized de sinc de historique (ou cardinalis de sinus de ), est définie près $de$

\ mathrm {SA} (x) = \ = de mathrm {sinc} (x) \ frac {\ péché (x)} {x}.

Dans les deux cas, la valeur de la fonction à la singularité démontable à zéro, habituellement calculée par la règle de L'Hôpital de , est parfois spécifiée explicitement comme valeur 1 de limite. La fonction de sinc est le analytique partout.

Le " de limite ; sinc" ; est une contraction du nom et prénoms de la fonction, du sinus cardinal de ou des cardinalis de sinus de .

Propriétés

Les passages à zéro du sinc unnormalized sont aux multiples différents de zéro du &pi ; ; le passage à zéro du sinc normal se produisent aux valeurs de nombre entier différentes de zéro.

Les maximum et les minimum locaux du sinc unnormalized correspondent à ses intersections à la fonction de cosinus. C'est-à-dire, $\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; péché\; (\backslash \; XI)/\backslash \; XI\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; (\backslash \; XI)\; \backslash ,$ pour tout le &xi de points ; là où dérivé de péché) (de X / X est zéro (et ainsi un extremum local est atteint).

La fonction normale de sinc a une représentation simple comme produit infini $de$

\ frac {\ péché (\ pi x)} {\ pi X} = \ ^ du prod_ {n=1} \ infty \ parti (1 - \ frac {x^2} {n^2} \ droit)

et est lié au $de\; la\; fonction\; gamma\; \backslash \; au\; gamma\; (x)$ par formule de la réflexion d'Euler de : $de$

\ frac {\ = de péché (\ pi x)} {\ pi X} \ frac {1} {\ gamma (1+x) \ gamma (1-x)}.

La transformée de Fourier continue du sinc normal (à la fréquence ordinaire) est   ; $\backslash \; mathrm\; \{rect\}\; (f)\; \backslash ,$.

$\backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; \backslash \; mathrm\; \{sinc\}\; (t)\; \backslash ,\; e^\; \{-\}\; de\; 2\; \backslash \; pi\; i\; f\; t\; \backslash ,\; décollement\; =\; \backslash \; mathrm\; \{rect\}\; (f),$

là où la fonction rectangulaire est 1 pour l'argument entre le &minus ; 1/2 et 1/2, et zéro autrement. Cette intégrale de Fourier, y compris le cas spécial

$\backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; péché\; (\backslash \; pi\; x)\}\}\; \{\backslash \; pi\; X\; \backslash ,\; =\; de\; dx\; \backslash \; mathrm\; \{rect\}\; (0)\; =\; 1$

est une intégrale inexacte . Depuis le $de$

\ ^ d'int_ {- \ infty} \ infty \ sont partis|\ frac {\ péché (\ pi x)} {\ pi X} \ droit|\ dx = \ infty \,

ce n'est pas un Lebesgue intégral.

La fonction normale de sinc a les propriétés qui lui font l'idéal dans le rapport avec l'interpolation et les fonctions Bandlimited du :

c'est une fonction de interpolation, c., le sinc (0) = 1, et le sinc ( k ) = 0 pour le &ne du k ; 0 et $\backslash \; scriptstyle\; k\; \backslash dans\backslash \; mathbb\; \{\}\; de\; Z\; \backslash ,$ (nombres entiers ).
Fonction $\backslash \; scriptstyle\; x\_k\; (t)\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash \; operatorname\; \{sinc\}\; (t-k)\; \backslash$ forme orthonormal base pour Bandlimited fonctionne dans fonction l'espace $\backslash \; scriptstyle\; L^2\; (\backslash \; R)$, avec haut pulsation $\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; omega\_\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; H\; \backslash ,\; =\; \backslash ,\; \backslash \; pi\; \backslash ,$ (c'est-à-dire, le plus haut &fnof de fréquence de cycle ; _H  ; =  ; 1/2).

D'autres propriétés des deux fonctions de sinc incluent :

le sinc unnormalized est la fonction Bessel Sphérique de d'ordre de zero^th de la première sorte, $\backslash \; scriptstyle\; j\_0\; (x)$. Le sinc normal est $\backslash \; scriptstyle\; j\_0\; (\backslash \; pi\; x)\; \backslash ,$.

$\backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{\}\; de\; x\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; péché\; (\backslash thêta)\}\{\backslash \}\; de\; thêta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; thêta\; =\; \backslash$

du mathrm {SI} (x) où SI ( X ) est le sinus intégral de .
$de$

\ scriptstyle \ lambda \, \ operatorname {sinc} (\ lambda x) (non normalisé) est l'une de deux linéairement solutions indépendantes au
linéaire de
de
de l'équation ordinaire + de $x\; \backslash \; frac\; de\; \{d^2\; y\}\; \{d\; x^2\}\; +\; 2\; \backslash \; frac\; \{d\; y\}\; \{d\; X\}\; \backslash \; lambda^2\; de\; x/y\; =$
de 0. l'autre est $\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; cos\; (\backslash \; lambda\; t)/t$, qui n'est pas lié au X = 0, à la différence de ses contre-parties de fonction de sinc.

Rapport avec la distribution de delta de Dirac

La fonction normale de sinc peut être employée comme fonction de Dirac naissante de , quoique ce ne soit pas une distribution .

La fonction de sinc de normalisée par est liée au &delta de la distribution de delta de ; ( X ) près

$\backslash \; lim\_\; \{a\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; d\text{'}a\; \backslash \; textrm\; \{sinc\}\; (x/a)=\; \backslash \; delta\; (x).$

Ce n'est pas une limite ordinaire, puisque l'aile gauche ne converge pas. En revanche, elle signifie cela

$\backslash \; lim\_\; \{a\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; d\text{'}a\; \backslash \; textrm\; \{sinc\}\; (x/a)\; \backslash \; varphi\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; varphi\; (0),$

pour tous $\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; varphilissesde\; fonction\; (x)$ avec le contrat de soutiennent .

Dans l'expression ci-dessus, comme un   de ; les approches mettent à zéro, le nombre d'oscillations par unité de longueur de l'infini d'approches de fonction de sinc. Néanmoins, l'expression oscille toujours à l'intérieur d'une enveloppe de ± ; 1 ( X de π), indépendamment de la valeur du un , et approches mettent à zéro pour n'importe quelle valeur différente de zéro du X . Ceci complique l'image sans cérémonie du &delta ; (x) en tant qu'étant zéro pour tout le X excepté au X de point = 0 et illustre le problème de la pensée à la fonction de Dirac comme fonction plutôt que comme distribution. Une situation semblable est trouvée dans le phénomène de Gibbs de .

Voir également

Anticrénelage
Filtre de Sinc de
Lanczos rééchantillonnant
Formule d'interpolation de Whittaker-Shannon

.

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