Fonction de Mertens

Dans la théorie des nombres , la fonction de Mertens de est

$M (n) = \ sum_ {1 \} de le k \ le n \ MU (k)$

là où μ (k) est la fonction de Möbius de . La fonction est appelée en l'honneur du Franz Mertens .

Puisque la fonction de Möbius a seulement les valeurs de retour -1, 0 et +1, il est évident que la fonction de Mertens se déplace lentement et qu'il n'y a aucun k tels que | M ( k )| > k . La conjecture de Mertens de a disparu encore autre, déclarant qu'il n'y aurait aucun k où la valeur absolue de la fonction de Mertens dépasse la racine carrée du k . La conjecture de Mertens était disproven dans le 1985 . Cependant, l'hypothèse de Riemann de est équivalente à une conjecture plus faible sur la croissance du M ( k ), à savoir le $M (k) = o (k^ {\ frac12 + \ epsilon})$ . Puisque les valeurs élevées pour M se développent au moins aussi rapides que la racine carrée de k, ceci met une limite plutôt serrée sur son taux de croissance. Ici, $o$ se rapporte à la Petite-o notation .

Représentations intégrales

Using le produit d'Euler de on trouve cela

$\ frac {1} {\ zéta} = \ prod_ {p} (1-p^ {- s}) = \ sum_ {n=1} ^ {\ n^ infty} \ MU (n) {- s}$

là où le $\ zeta$ est la fonction de zéta de Riemann et le produit est succédée amorce. Puis, using cette série de Dirichlet avec la formule de Perron de , on obtient :

$\ frac {1} {} de 2 \ pi i \ oint_ {C} ds \ =M de frac {x^ {s}} {s \ zéta} (x)$

là où " ; C" ; est une courbe fermée par encerclant toutes les racines du $\ zeta.$

Réciproquement, on fait transformer le Mellin

$\ frac {1} {\ zéta} = s \ int_1^ \ infty \ frac {M (x)} {} de x^ {s+1} \, dx$

ce qui se tient pour $Re>1$ .

Une relation curieuse donnée par Mertens lui-même impliquant la fonction de Tchebychev est :

$\ livre par pouce carré (x) = - notation de M (\ frac {x} {2}) (2) - notation de la notation de M (\ frac {x} {3}) (3) - M (\ frac {x} {4}) (4)+ .$

Une bonne évaluation, au moins asymptotiquement, serait d'obtenir, par la méthode de de la descente la plus raide , une inégalité : $de \ oint_ {C} en vous supposant qu'il n'y a pas les racines non triviales multiples du \ du zéta (\ rho) avoir le " ; exiger le formula" ; par théorème de résidu :$

$\ frac {1} {2 \ pi i} \ oint _ {C} ds \ frac {x^s} {s \ zéta (s)} = \ somme _ {\} de rho \ frac {x^ {\ rho}} {\ rho \ zéta '(\ rho)}- 2+ \ sum_ {n=1} ^ {\} infty \ frac {(- ^ de ^ de 1) {n-1} (2 \ pi) {2n}} {(2n) ! x^ de n \ zéta (2n+1) {2n}}$

Calcul

La fonction de Mertens a été calculée pour une gamme croissante du n .

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