Fonction de Mathieu

Dans les mathématiques , les fonctions de Mathieu de sont les fonctions spéciales de certain utiles pour traiter une série de problèmes intéressants dans des mathématiques appliquées, y compris le
peaux de tambour elliptiques vibrantes,
filtres de masse de quadrupôles et pièges quadripolaires d'ion pour la spectrométrie de masse
le phénomène de la résonance paramétrique dans des oscillateurs obligatoires
exiger les solutions d'onde plane dans la relativité générale .
l'effet Stark pour un dipöle électrique tournant . Elles ont été présentées par le Émile Léonard Mathieu dans le 1868 dans le cadre du premier problème.

Équation de Mathieu

La forme canonique pour l'équation de Mathieu de est $de$

\ frac {d^2y} {dx^2} + (2x) y=0

Étroitement liée est l'équation modifiée de Mathieu de $de$

\ frac {d^2y} {du^2} - (2u) y=0

ce qui suit sur la substitution $u=ix$.

Le $t=\; de\; substitution\; \backslash \; cos\; (x)$ transforme l'équation de Mathieu à la forme algébrique de

$(1-t^2)\; \backslash \; frac\; \{d^2y\}\; \{dt^2\}\; -\; t\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; \{d\; y\}\; \{décollement\}\; +\; (a\; +\; 2q\; (1\; -\; 2t^2))\; \backslash ,\; y=0$

Ceci a deux singularités régulières au $t\; =\; au\; -1,1$ et une singularité irrégulière à l'infini, qui implique qu'en général (à la différence de beaucoup d'autres fonctions spéciales), les solutions du de l'équation de Mathieu ne peut pas être exprimée en termes de fonctions hypergéométriques

Les équations de Mathieu surgissent quand l'équation d'ondes quadridimensionnelle est écrite dans les coordonnées elliptiques de cylindre de , suivi d'une séparation de des variables . Sous la forme algébrique, il peut voir pour être un cas spécial de l'équation d'ondes sphéroïdale .

Solution de Floquet

Selon le théorème de Floquet de (ou le théorème de Bloch de ), pour des valeurs fixes d'a, q, l'équation de Mathieu admet une solution évaluée complexe du du $F\; de\; de\; forme\; (a,\; q,\; x)\; =\; \backslash \; exp\; (I\; \backslash \; MU\; \backslash ,\; x)\; \backslash ,\; P\; (a,\; q,\; x)$ là où le $\backslash \; mu$ est un nombre complexe, l'exposant de Mathieu de , et P est une fonction évaluée complexe qui est le périodique avec le $de\; période\; \backslash \; pi$. Cependant, P est en général le pas sinusoïdal. Dans l'exemple tracé ci-dessous, $a=1,\; \backslash ,\; 5\},\; de\; q=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash ,\; \backslash \; MU\; \backslash \; approximativement\; 1\; +\; 0.0995\; i$ (partie réelle, rouge ; partie imaginaire ; vert) :

Sinus et cosinus de Mathieu

Pour a fixé a, q, le Mathieu que le $C\; du\; cosinus\; (a,\; de\; q\; \backslash \; XI)$ est une fonction du $\backslash \; xi$ définie comme solution unique de l'équation de Mathieu qui prend le $C\; de\; valeur\; (a,\; q,\; 0)\; =1$,

est une fonction même , par conséquent le $C^\; \backslash \; perfection\; (a,\; q,\; 0)\; =0$. De même, le $S\; du\; sinus\; de\; Mathieu\; de\; (a,\; de\; q\; \backslash \; XI)$ est la solution unique qui prend le $S^\; de\; valeur\; \backslash \; perfection\; (a,\; q,\; 0)\; =1$,

est une fonction impaire , par conséquent le $S\; (a,\; q,\; 0)\; =0$.

Ce sont des fonctions à valeurs réelles du qui sont étroitement liées à la solution de Floquet : $C\; (a,\; q\; de\; ,\; x)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; exp\; (I\; \backslash \; MU)\}\{F\; (a,\; q,\; 0)\}\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; \{P\; (a,\; q,\; x)\; +\; P\; (a,\; q,\; -\; x)\}\{$ S\; (a,\; q\; 2\}$,\; x)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; exp\; (I\; \backslash \; MU)\}\{F\; (a,\; q,\; 0)\}\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; \{P\; (a,\; q,\; x)\; -\; P\; (a,\; q,\; -\; x)\}\{2\}$ La solution générale à l'équation de Mathieu (pour a fixé a, q) est une combinaison linéaire des fonctions de cosinus de Mathieu et de sinus de Mathieu.

Un cas spécial remarquable est le $C\; de\; (a,\; 0,\; x)\; =\; \backslash \; cos,\; (\backslash racine\; carrée\{a\}\; x)\; \backslash \; ;\; S\; (a,\; 0,\; x)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; péché\; (\backslash \; racine\; carrée\; \{a\}\; x)\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{a\}\}$ Généralement le sinus et le cosinus de Mathieu sont le apériodique. Néanmoins, pour de petites valeurs de q, nous prenons approximativement le $C\; (a,\; q\; de\; ,\; x)\; \backslash \; approximativement\; \backslash \; cos,\; (\backslash \; racine\; carrée\; \{a\}\; x)\; \backslash \; ;\; \backslash \; ;\; S\; (a,\; q,\; x)\; \backslash \; approximativement\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; péché\; (\backslash \; racine\; carrée\; \{a\}\; x)\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{a\}\}$ Par exemple : style=" de
espace libre : tous les deux ; " ; >

Solutions périodiques

Q indiqué, pour comptable beaucoup de valeurs spéciales d'a, a appelé le les valeurs caractéristiques , Mathieu que l'équation admet les solutions qui sont périodiques avec la période $2\; \backslash \; pi$. Les valeurs caractéristiques du cosinus de Mathieu, fonctions de sinus respectivement sont écrites le $a\_n\; (q),\; \backslash ,\; b\_n\; (q)$, où n est un nombre normal . Les cas spéciaux périodiques des fonctions de cosinus et de sinus de Mathieu sont souvent écrits le $CE\; (n,\; q,\; x),\; \backslash ,\; Se\; (n,\; q,\; x)$ respectivement, bien qu'ils soient traditionnellement donnés une normalisation différente (à savoir, ce leur $d\text{'}égale\; de\; norme\; de\; L2\backslash \; pi$). Par conséquent, pour q positif, nous prenons le $C\; de\; \backslash \; sommes\; partis\; =\; (d\text{'}a\_n\; (q),\; q,\; x\; \backslash \; droit)\; \backslash \; frac\; \{CE\; (n,\; q,\; x)\}\; \{CE\; (n,\; q,\; 0)\}$ S$\backslash \; parti\; =\; (de\; b\_n\; (q),\; q,\; x\; \backslash \; droit)\; \backslash \; frac\; \{Se\; (n,\; q,\; x)\}\; \{SE^\; \backslash perfection(n,\; q,\; 0)\}$ Voici les fonctions de cosinus périodiques premières de Mathieu pour q=1 : Noter que, par exemple, $CE\; (1.1,\; x)$ (vert) ressemble à une fonction de cosinus, mais avec des collines plus plates et des vallées plus peu profondes.

Moteurs symboliques de calcul

Les diverses fonctions spéciales se sont rapportées à Mathieu que des fonctions sont mises en application dans le Matlab , à l'érable de (logiciel) et au Mathematica .

Voir également

Onde plane électromagnétique monochromatique , un exemple de d'une solution exacte importante d'onde plane à l'équation de champ d'Einstein dans la relativité générale qui est exprimée using des fonctions de cosinus de Mathieu.
Pendule inversé par

.

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