Fonction de Darboux

Dans les mathématiques , une fonction de Darboux de , appelée pour le Gaston Darboux ( 1842 - 1917 ), est un à valeurs réelles f de la fonction qui a le " ; property" de valeur intermédiaire ; : sur l'intervalle entre le un et le b , le f assume chaque valeur réelle entre le f ( un ) et le f ( b ). Formellement, pour tout le des vrais nombres un et b , et pour chaque z tels que f ( un ) < z < f ( b ), là existe un certain X avec le < X < b tels que le f ( X ) = le z .

Par le théorème de valeur intermédiaire , chaque fonction continue est une fonction de Darboux. La contribution de Darboux était de prouver qu'il y a des fonctions discontinues de Darboux. La construction d'une fonction discontinue de Darboux peut procéder au moins de deux manières. On peut employer l'induction transfinie sur le Ω , ou une construction impliquant le Hamel base .

Chaque discontinuité d'une fonction de Darboux est du deuxième genre, c., à un point quelconque de discontinuité, ni la limite de main gauche ni la limite droite n'est bien définie.

Un exemple d'une fonction de Darboux qui est discontinue à un point, est le $x de fonction \ mapsto \ péché (1/x)$ .

Par suite du théorème de valeur moyenne , le dérivé de n'importe quelle fonction différentiable est une fonction de Darboux. En particulier, le dérivé du $x de fonction \ du mapsto x^2 \ péché (1/x)$ est une fonction de Darboux qui n'est pas continue.

Un exemple d'une fonction de Darboux qui est le nulle part continu est la fonction de la base 13 de Conway de .

athanalysis-moignon .

Random links: