Fonction convexe

Dans les mathématiques , un à valeurs réelles f de la fonction défini sur un intervalle (ou sur tout sous-ensemble convexe d'un certain espace de vecteur ) s'appelle le convexe, ou le haut concave, si pour deux points quelconques du X et le y dans son C du domaine et n'importe quel t dedans, nous prenons le $f\; de\; (tx+\; (1-t)\; y)\; \backslash \; leq\; t\; f\; (x)+\; (1-t)\; f\; (y).$

En d'autres termes, une fonction est convexe si et seulement si son épigraphe (l'ensemble de de points se trouvant sur ou au-dessus du graphique ) est un ensemble convexe .

Une fonction s'appelle le strictement convexe si le pour tout t dedans (0.1) et $x\; \backslash quantiténette\; de\; substance\; explosive\; y.$

Un $f$ de fonction serait le concave si $-\; f$ est convexe.

Propriétés

Un f de fonction convexe défini sur un certain C de l'intervalle ouvert est le continu sur le C et le différentiable du tout sauf tout au plus le comptable beaucoup de points de . Si le C est fermé, alors le f peut pour être continu aux points finaux du C .

Continu fonction sur intervalle C est convexe si et seulement si

$f\; \backslash parti(\backslash \; frac\; \{x+y\}\; \{2\}\; \backslash )\; droit\; \backslash \; le\; \backslash \; frac\; \{f\; (x)+f\; (y)\}\; \{2\}$ pour tout le X et y dans le C .

Une fonction différentiable d'une variable est convexe sur un intervalle si et seulement si son dérivé est monotoniquement non décroissant sur cet intervalle.

Une fonction sans interruption différentiable du d'une variable est convexe sur un intervalle si et seulement si les mensonges de fonction surtout de son f ( X ) de ≥ du f ( y ) des tangentes + le f « ( X ) (&minus de y ; X ) pour tout le X et y dans l'intervalle. En particulier, si le f  » ( c ) = le 0 , alors le c est un minimum global f ( X ).

Une fonction deux fois différentiable d'une variable est convexe sur un intervalle si et seulement si son deuxième dérivé est non négatif là ; ceci donne un essai pratique pour la convexité. Si son deuxième dérivé est positif qu'alors ce soit strictement corps convexe, mais l'inverse ne se tient pas, comme montré par le f ( X ) = le X ⁴.

Plus généralement, une fonction continue et deux fois différentiable de plusieurs variables est convexe sur un ensemble convexe si et seulement si sa matrice hessoise est le semi-défini positif sur l'intérieur de l'ensemble convexe.

N'importe quel minimum local d'une fonction convexe est également un minimum global . Une fonction convexe du strictement aura tout au plus un minimum global.

Pour un f de fonction convexe, la sous-niveau de place { X | < du f ( X ) ; un } et { X | le de ≤ du f ( X ) un } avec le un R de ∈ de sont les ensembles convexes. Cependant, une fonction dont la sous-niveau place sont les ensembles convexes peut pour être une fonction convexe ; une telle fonction s'appelle une fonction de Quasiconvex de .

L'inégalité de Jensen de s'applique à toutes les fonctions convexes. Si le $X$ est aléatoire, prenant des valeurs dans un certains $dedomaine\backslash \; \{F\}$ mathcal, puis $E-F\; (x)\; \backslash \; geq\; f\; (ex).$

Calcul de fonction convexe

Si le $f$ et le $g$ sont des fonctions convexes, alors sont ainsi le $h\; (x)\; =\; \backslash maximum\backslash \; \{f\; (x),\; g\; (x)\; \backslash \}$ et $h\; (x)\; =\; f\; (x)\; +\; g\; (x).$
Si le $f$ et le $g$ sont des fonctions convexes et si $g$ augmente, alors $h\; (x)\; =\; g\; (f\; (x))$ est convexe.
La convexité est invariable affinent dessous des cartes : c'est-à-dire, si $f\; (x)$ est convexe avec le $x\; \backslash \; dans\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^n$, puis est ainsi $g\; (y)\; =\; f\; (Ay+b)$, où $A\; \backslash \; dans\; \backslash ,\; ^\; de\; mathbb\; \{R\}\; \{n\; \backslash \; périodes\; m\}\; \backslash \; ;\; b\; \backslash \; dans\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^n.$
Si $f\; (x,\; y)$ est convexe dans le $(x,\; y)$ et $C$ est un ensemble, alors un $g\; non\; vides\; convexes\; (x)\; =\; \backslash \; inf\_\; \{y\; \backslash \; dans\; C\}\; f\; (x,\; y)$ est convexe dans le $x,$ g\; fourni\; par$(x)\; >\; -\; \backslash \; infty$ pour un certain $x.$

Exemples

Le deuxième dérivé du X ² est 2 ; il suit que le X ² est une fonction convexe du X .
La fonction de la valeur absolue | X | est convexe, quoiqu'il n'ait pas un dérivé au X = 0.
Le de fonction f avec le domaine défini par le f (0) = le f (1)=1, le f ( X ) =0 pour 0< le X <1 est convexe ; il est continu sur l'intervalle ouvert (0.1), mais non continu à 0 et à 1.
Le X ³ de fonction a le deuxième X du dérivé 6 ; ainsi il est convexe pour le ≥ 0 du X et le concave pour le ≤ 0 du X .
Chaque transformation linéaire au $\backslash \; au\; mathbb\; \{R\}$ est convexe mais pas strictement corps convexe, depuis si le f est linéaire, alors $f\; (a\; +\; b)\; =\; f\; (a)\; +\; f\; (b).$ des prises de ce rapport toujours si nous remplaçons le " ; convex" ; par le " ; concave" ;.
Un affinent la fonction au $\backslash \; au\; mathbb\; \{R\}$, c. une fonction du $f\; deforme(x)\; =\; a^T\; X\; +\; b$, est simultanément convexe et concave.
Toutes les normes sont convexes par l'inégalité de triangle de .
Si le $f$ est convexe, le $g\; de\; la\; fonction\; de\; perspective\; de\; (x,\; t)\; =\; tf\; (x/t)$ est convexe pour le $t\; >\; 0.$
Les exemples des fonctions qui sont augmentant monotoniquement mais pas corps convexe incluent le $\backslash racine\; carréex$ et le $\backslash \; notation\; (x).$
Les exemples des fonctions qui sont convexes mais pas du augmentant monotoniquement incluent le X ² et - le X .
Le f ( X ) de fonction = 1 X est convexe sur l'intervalle (0, +∞), mais pas sur l'intervalle (- ∞, +∞), en raison de la singularité au X = 0.

Voir également

Optimisation convexe
Convexité géodésique
Le théorème de Kachurovskii de , qui rapporte la convexité au monotonicity du dérivé
De fonction convexe logarithmiquement
Fonction de Quasiconvex de
Subderivative d'une fonction convexe

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Random links:

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