Fonction analytique

Dans les mathématiques , une fonction analytique est une fonction qui est localement donnée par une série entière convergente . Des fonctions analytiques peuvent être considérées comme un pont entre les polynômes et les fonctions générales. Là existent les vraies fonctions analytiques et les fonctions analytiques complexes , les catégories qui sont semblables par certains côtés, mais différent de dans d'autres. Les fonctions de chaque type sont infiniment différentiables, mais les fonctions analytiques complexes présentent les propriétés qui ne se tiennent pas généralement pour de vraies fonctions analytiques. Une fonction est analytique si elle est égale à sa série de Taylor dans un certain voisinage .

Définitions

Formellement, le f de fonction est le vrai analytique sur un ouvert de l'ensemble D dans la vraie ligne si pour n'importe quel X ₀ dans le D un peut écrire

$f\; (x)\; =\; \backslash \; ^\; du\; sum\_\; \{n=0\}\; \backslash \; a\_n\; infty\; \backslash \; ont\; laissé\; (x-x\_0\; \backslash \; droit)\; le\; ^n\; =\; l\text{'}a\_0\; +\; l\text{'}a\_1\; (x-x\_0)\; +\; a\_2\; (x-x\_0)\; ^2\; +\; a\_3\; (x-x\_0)\; ^3\; +\; \backslash \; cdots$

dans ce qui le de coefficients un ₀, un ₁,… sont vrai les nombres et les séries est le convergent pour le X dans a voisinage du X ₀.

Alternativement, une fonction analytique est une fonction infiniment différentiable tels que le X ₀ de la série de Taylor à un point quelconque dans son $de\; dedomaineT\; (x)\; =\; \backslash \; sum\_\; \{n=0\}\; ^\; \{\backslash \}\; d\text{'}infin\; \backslash \; frac\; \{f^\; \{(n)\}\; (x\_0)\}\{n\; !\}\; ^\; (x-x\_0)\; \{n\}$ est convergent pour le X assez proche du X ₀ et de son f ( X ) d'égales de valeur.

La définition d'une fonction analytique complexe de est obtenue en remplaçant partout au-dessus du " ; real" ; avec le " ; complex" ; , et " ; vrai line" ; avec le " ; plane" complexe ;.

Exemples

n'importe quel polynôme (vrai ou complexe) est une fonction analytique. C'est parce que si un polynôme a le n de degré, toutes les limites de degré plus grandes que le n dans son expansion de série de Taylor disparaîtront, et ainsi cette série sera trivialement convergent.

la fonction exponentielle est analytique. N'importe quelle série de Taylor pour cette fonction converge non seulement pour le X assez étroitement au X ₀ (comme dans la définition) mais pour toutes les valeurs du X (vrai ou complexe).

le logarithme des fonctions trigonométriques , et les fonctions puissance en sont analytiques sur ensemble ouvert de leur domaine.

la fonction de la valeur absolue une fois défini sur l'ensemble de vrais nombres ou de nombres complexes n'est pas analytique parce qu'il n'est pas différentiable 0. aux fonctions définies de par morceaux par (fonctions données par différentes formules dans différentes régions) ne sont en général pas analytique.

la fonction du conjugé de complexe de , $z\; \backslash \; \backslash \; overline\; z,$ n'est pas analytique complexe, bien que sa restriction à la vraie ligne soit vrai analytique.

Propriétés des fonctions analytiques

les sommes, les produits, et les compositions des fonctions analytiques sont analytique.
Le réciproque d'une fonction analytique qui est nulle part zéro est analytique, de même que l'inverse d'une fonction analytique inversible dont le dérivé est nulle part zéro. (Voir également le théorème d'inversion de Lagrange de .)
N'importe quelle fonction analytique est le lisse, c., infiniment différentiable. L'inverse n'est pas vraie ; en fait, dans un certain sens, les fonctions analytiques sont plutôt clairsemées comparées aux fonctions infiniment différentiables.
Pour tout &Omega ouvert de l'ensemble ;   ; &sube ;   ; C , le A (&Omega d'ensemble ;) de tout le lié ,   du u de fonctions analytiques ; :   ; &Omega ;   ; &rarr ;   ; Le C est un espace de Banach en ce qui concerne la norme de Supremum de . Le fait que les limites uniformes des fonctions analytiques sont analytiques est une conséquence facile du théorème de Morera de .

Un polynôme ne peut pas être zéro à trop de points à moins que ce soit le polynôme zéro (plus avec précision, le nombre de zéros est tout au plus le degré du polynôme). Un rapport semblable mais plus faible se tient pour des fonctions analytiques. Si l'ensemble de zéros d'un f de fonction analytique a un point d'accumulation à l'intérieur de son domaine , alors le f est zéro partout sur le composant relié par contenant le point d'accumulation.

Plus formellement ceci peut être énoncé comme suit. Si ( n de _{de r ) est un ordre des nombres distincts tels que   du f ( n} de _{de r ) ; =  ; 0 pour tout le n et ce d'ordre converge à un de point r dans le domaine du D , puis le f est identiquement zéro sur le composant relié du D contenant le r .}

En outre, si tous les dérivés d'une fonction analytique à un point sont zéro, la fonction est constante sur le composant relié correspondant.

Ces rapports impliquent que tandis que les fonctions analytiques ont plus de degrés de de liberté que des polynômes, elles sont toujours tout à fait rigides.

Analyticité et differentiability

Comme remarquable ci-dessus, n'importe quelle fonction analytique (vraie ou complexe) est infiniment différentiable (également connu en tant que lisse, ou C^{&infin ;} ). (Note que ce differentiability est dans le sens de vraies variables ; comparer les dérivés complexes ci-dessous.) Là existent les vraies fonctions douces qui ne sont pas analytiques : voir l'exemple suivant . En fait il y a beaucoup de telles fonctions, et l'espace de vraies fonctions analytiques est un sous-espace approprié de l'espace des fonctions douces.

La situation est très différente quand on considère des fonctions analytiques complexes et des dérivés complexes. Il peut montrer que le n'importe quelle fonction complexe différentiable (dans le sens complexe) dans un ensemble ouvert est analytique. En conséquence, dans l'analyse complexe , la fonction analytique limite est synonyme de fonction holoèdre de .

Vrai contre des fonctions analytiques complexes

Les vraies et complexes fonctions analytiques ont des différences importantes (on pourrait noter que même de leur rapport différent avec le differentiability). L'analyticité des fonctions complexes est une propriété plus restrictive, car elle a plus restrictives conditions nécessaires et les fonctions analytiques complexes ont plus de structure que leur vrai-ligne contre-parties.

Selon le théorème de Liouville de , n'importe quelle fonction analytique complexe liée définie dans l'ensemble le plan complexe est constante. Ce rapport est clairement faux pour de vraies fonctions analytiques, comme illustré près $f\; de$

(x)= \ frac {1} {x^2+1}. En outre, si une fonction analytique complexe est définie dans une boule ouverte autour d'un X ₀ de point, son expansion de série entière au X ₀ est convergente dans la boule entière. Cela ne vaut pas en général pour de vraies fonctions analytiques. (Note qu'une boule ouverte dans le plan complexe serait un disque , alors que sur la vraie ligne ce serait un intervalle .)

N'importe quelle vraie fonction analytique sur un certain ensemble ouvert sur la vraie ligne peut être prolongée à une fonction analytique complexe sur un certain ensemble ouvert du plan complexe. Cependant, non chaque vraie fonction analytique définie dans l'ensemble la vraie ligne peut être prolongée à une fonction complexe définie dans l'ensemble le plan complexe. Le   du f de fonction ; ( X ) défini dans le paragraphe ci-dessus est un contre-exemple, car il n'est pas défini pour le X = ±i de .

Fonctions analytiques de plusieurs variables

On peut définir des fonctions analytiques dans plusieurs variables au moyen de séries entières dans ces variables (voir la série entière ). Les fonctions analytiques de plusieurs variables ont certaines des mêmes propriétés que des fonctions analytiques d'une variable. Cependant, particulièrement pour des fonctions analytiques complexes, nouveau et les phénomènes intéressants apparaissent en travaillant dans 2 dimensions ou plus.

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