Filtre assorti

En télécommunications , un le filtre assorti est obtenu par le corrélant un signal connu , ou le calibre , avec un signal inconnu au détectent la présence du calibre dans le signal inconnu. C'est équivalent au convolving le signal inconnu avec une version temps-renversée du calibre. Le filtre assorti est le filtre linéaire optimal pour maximiser le rapport de signal-bruit (SNR) en présence du bruit stochastique additif . Les filtres assortis sont utilisés généralement dans le radar , en lequel un signal connu est envoyé, et le signal reflété est examiné pour les éléments communs du signal sortant. La compression d'impulsion de est un exemple du filtrage assorti. Les filtres assortis bidimensionnels sont utilisés généralement dans le à traitement d'images, par exemple, pour améliorer SNR pour des images de rayon X.

Dérivation du filtre assorti

Le filtre assorti est le filtre linéaire, $h$ , qui maximise le rapport signal/bruit de rendement. $de \ y = \ ^ de sum_ {k=- \ infty} {\ infty} h x.$

Bien qu'il soit le plus facile nous penser les filtres le plus souvent exprès comme réponse d'impulsion des systèmes de convolution, comme ci-dessus (voir la théorie de système du LTI ), il au filtre assorti dans le cadre du produit intérieur, que nous verrons sous peu.

Nous pouvons dériver le filtre linéaire qui maximise le rapport signal/bruit de rendement en appelant un argument géométrique. L'intuition derrière le filtre assorti se fonde sur corréler le signal reçu (un vecteur) avec un filtre (un autre vecteur) qui est parallèle avec le signal, maximisant le produit intérieur. Ceci augmente le signal. Quand nous considérons le bruit stochastique additif, nous avons le défi additionnel de réduire au minimum le rendement devant ébruiter en choisissant un filtre qui est orthogonal au bruit.

Formellement définissons le problème. Nous cherchons un filtre, $h$ , tels que nous maximisons le rapport signal/bruit de rendement, où le rendement est le produit intérieur du filtre et du signal observé $x$ .

Notre signal observé comprend le signal souhaitable $s$ et le bruit additif $v$ : $de \ x=s+v. \,$

La matrice définissons covariance du bruit, se rappelant que cette matrice a la symétrie hermitienne , une propriété qui deviendra utile dans la dérivation :

$\ R_v=E \ {vv^H \} \,$

là où $.^H$ dénote le hermitien (conjugé) transposer . Appelons notre rendement, $y$ , le produit intérieur de notre filtre et le signal observé tels que $de \ y = \ h^* X ^ de sum_ {k=- \ infty} {\ infty} = h^Hx = h^Hs + h^Hv = y_s + y_v.$

Nous définissons maintenant le rapport signal/bruit, qui est notre fonction objective, pour être le rapport de la puissance du rendement dû au signal désiré de la puissance du rendement dû au bruit : $de \ SNR = \$

du frac Dérivation alternative du filtre assorti

Alternativement, nous pouvons résoudre pour le filtre assorti en résolvant notre problème de maximisation avec un lagrangien. Encore, le filtre assorti essaye de maximiser le rapport signal/bruit de rendement (

SNR

) d'un signal déterministe filtré dans le bruit additif stochastique. L'ordre observé, encore, est

de  \, de x = de s + de v \,

avec la matrice de covariance de bruit, $\ R_v = E de \ {vv^H \}. \,$

Le rapport signal/bruit est $de \ SNR = \$

du frac Exemple de filtre assorti dans le radar et le sonar

Les filtres assortis sont employés souvent dans la détection de signal (voir la théorie de détection de ). Comme exemple, supposer que nous souhaitons juger la distance d'un objet en reflétant un signal outre de lui. Nous pouvons choisir de transmettre une pur-tonalité sinusoid à 1 hertz. Nous supposons que notre signal reçu est une forme atténuée et phase-décalée du signal transmis avec le bruit supplémentaire. Pour juger la distance de l'objet, nous corrélons le signal reçu avec un filtre assorti, qui, dans le cas du bruit (non-corrélatif) blanc , est une autre pur-tonalité 1-Hz sinusoid. Quand le rendement du système assorti de filtre dépasse un certain seuil, nous concluons avec la probabilité élevée que le signal reçu a été reflété outre de l'objet. Using la vitesse de la propagation et du temps que nous observons d'abord le signal reflété, nous pouvons estimer la distance de l'objet. Si nous changeons la forme de l'impulsion d'une manière spécial-conçue, le rapport signal/bruit et la résolution de distance peuvent être même améliorés après filtrage assorti : c'est une technique connue sous le nom de compression d'impulsion de . En plus, des filtres assortis peuvent être utilisés dans des problèmes d'évaluation de paramètre (voir la théorie d'évaluation ). Pour retourner à notre exemple précédent, nous pouvons désirer estimer la vitesse de l'objet, en plus de sa position. Pour exploiter l'effet de Doppler , nous voudrions estimer la fréquence du signal reçu. Pour faire ainsi, nous pouvons corréler le signal reçu avec plusieurs filtres assortis des sinusoids aux fréquences variables. Le filtre assorti avec le rendement le plus élevé indiquera, avec la probabilité élevée, la fréquence du signal reflété et nous aidera à déterminer la vitesse de l'objet. Cette méthode est, en fait, une version simple de la transformée de Fourier discrète (DFT) de . Le DFT prend à un

N

-valued l'entrée complexe et la corrèle avec les filtres assortis par

N

, correspondant aux exponentials complexes à différentes fréquences de

N

, pour rapporter des nombres complexe-évalués par

N

correspondant aux amplitudes et aux phases relatives des composants sinusoïdaux.

Exemple de filtre assorti dans des communications numériques

Le filtre assorti est également utilisé dans les communications. Dans le cadre d'un système de communication qui envoie les messages binaires de l'émetteur au récepteur à travers un canal bruyant, un filtre assorti peut être utilisé pour détecter les impulsions transmises dans le signal reçu bruyant.

Imaginer que nous voulons envoyer le " d'ordre ; 11011000100" ; codé dans le polaire Retourner--zéro à (RZ) par un certain canal.

Mathématiquement, un ordre en code de RZ peut être décrit comme ordre des impulsions d'unité ou des fonctions décalées , chaque impulsion de rect de pesé par +1 si le peu est " ; 1" ; et -1 si le peu est " ; 0" ;. Formellement, le facteur de cadrage pour le $k^ \ peu de mathrm {Th}$ est, $\ a_k = de \ commencer {les cas} 1, et \ mbox {si peu} k \ mbox {est 1}, \ \ -1, et \ mbox {si peu} k \ mbox {est 0}. \ extrémité {cas}$

Nous pouvons représenter notre message, le $M (t)$ , comme somme d'impulsions d'unité décalées : $de \ M (t) = \ ^ de sum_ {k=- \ infty} \ a_k \ périodes infty \ Pi \ parti ( \ frac {2 (t-kT)}{T} \ droit).$

là où $T$ est la longueur de temps d'un bit. Spécifiquement, le peu est affirmé pendant le temps $T/2$ et reste zéro pour un nombre de heures égal.

Ainsi, le signal pour être envoyé par l'émetteur est

Si nous modelons notre canal bruyant pendant qu'un canal du AWGN , le bruit gaussien blanc est ajouté au signal. L'extrémité de récepteur, ceci peut regarder le goût :

Un premier regard n'indiquera pas l'ordre transmis original. Il y a une puissance élevée de bruit relativement à la puissance du signal désiré (c., il y a un rapport signal/bruit de bas ). Si le récepteur étaient de prélever ce signal aux moments corrects, le message binaire en résultant démonterait l'original a transmis un.

Pour augmenter notre rapport signal/bruit, nous passons le signal reçu par un filtre assorti. Dans ce cas-ci, le filtre devrait être assorti à une impulsion de RZ (équivalente à un " ; 1" ; codé en code de RZ). Avec précision, la réponse d'impulsion du filtre assorti idéal, bruit (non-corrélatif) blanc supposant devrait être une version mesurée complexe-conjuguée temps-renversée du signal que nous cherchons. Nous choisissons $(\ frac {2t} {T} \ droit).$

Dans ce cas-ci, en raison de la symétrie, le conjugé temps-renversé de complexe du $h (t)$ est en fait le $h (t)$ , nous permettant d'appeler $h (t)$ la réponse d'impulsion de notre système assorti de convolution de filtre.

Après convolving avec le filtre assorti correct, le signal en résultant, $M_ \ mathrm {filtré} (t)$ est, $\ M_ \ mathrm de {filtré} (t) = M (t) * h (t)$

Ce qui peut être maintenant sans risque prélevé par le récepteur aux instants de prélèvement corrects, ayant pour résultat une interprétation correcte du message binaire.

Puisque le filtre assorti est le filtre qui maximise le rapport signal/bruit il peut être montré qu'il réduit au minimum également le rapport d'erreur de bit (JUJUBES), qui est le rapport du nombre de peu que le récepteur interprète inexactement comme une fraction de tout le nombre de peu a envoyé.

Random links: