Fermer-emballage

le Fermer-emballage des sphères est l'arrangement d'un trellis infini des sphères de sorte qu'ils prennent la plus grande possible fraction d'un espace à trois dimensions infini. Carl Friedrich Gauss a montré que haut moyen densité qui peut être réalisé par un arrangement régulier de trellis est $\ frac {\ pi} {} de 3 \ racine carrée 2 \ simeq 0. La conjecture de Kepler de déclare que c'est la densité la plus élevée qui peut être réalisée par n'importe quel arrangement des sphères, militaire de carrière ou irregular. Il y a deux trellis réguliers qui réalisent cette densité moyenne la plus élevée. Ils s'appellent le face au centre cubique (FCC) et le hexagonal close-packed (HCP), basé sur leur symétrie . Tous les deux sont basés sur des feuilles de sphères disposées aux sommets d'un carrelage triangulaire; ils diffèrent dans la façon dont les feuilles sont empilées sur une une autre. Dans les deux arrangements chaque sphère a douze voisins. Pour chaque sphère il y a un espace entouré par six sphères (octaédriques) et deux plus petites lacunes entourées par quatre sphères (tétraédriques). Relativement à une couche de référence avec placer A, deux positionings supplémentaires B et C sont possibles. Chaque ordre d'A, de B, et de C sans répétition immédiate de la même est possible et donne un emballage également dense pour des sphères d'un rayon donné. Le plus régulier est HCP = ABABABA FCC = ABCABCA En fermer-emballage, l'espacement de centre-à-centre des sphères dans le X - l'avion du y est un simple nid d'abeilles-comme le tessellation avec un lancement (distance entre les centres de sphère) d'un diamètre de sphère. La distance entre les centres de sphère parallèles à l'axe du z est : pitch_Z = \ racine carré {6} \ cdot \ plus de 3 \ approx0.816499658 d,$

là où le d est le diamètre d'une sphère ; ceci suit de l'arrangement tétraédrique des sphères close-packed.

Beaucoup de structures en cristal du sont basées sur un fermer-emballage des atomes, ou de grands ions avec de plus petits ions remplissant espaces entre eux. Les arrangements cubiques et hexagonaux sont très proches d'un un autre dans l'énergie, et il peut être difficile de prévoir quelle forme sera preferred des premiers principes.

Le nombre de coordination de de HCP et de FCC est 12 et son facteur d'emballage atomique (APF) est le nombre mentionné ci-dessus, 0.

Génération de trellis

En formant n'importe quel trellis de sphère-emballage, le premier fait à la notification est que toutes les fois que deux sphères touchent une ligne droite peut être tracée du centre d'une sphère au centre de l'autre qui intersecte le point de contact. La distance entre les centres le long du Shortest-Path à savoir que la ligne droite sera donc

(r_ {1} +r_ {1})

. Là où le

r_ {1}

est le rayon de la première sphère et

r_ {1}

est le rayon de la seconde. En emballage étroit toutes les sphères partagent un rayon commun,

r

. Par conséquent deux centres auraient simplement une distance

2r

Trellis simple de HCP

Pour former un A-B-A-B-… L'emballage étroit hexagonal des sphères, les points du même rang du trellis sera les centres des sphères. Supposer, le but est de remplir boîte de sphères selon HCP. La boîte serait placée sur l'espace du même rang de x-y-z de de sorte que tous son volume et surface aient été le non négatif, ainsi les volumes et les surfaces de toutes les sphères seraient non négatifs.

Première forme une rangée des sphères. Les centres se trouveront tout sur une ligne droite. Leur x-coordonner variera par $2r$ depuis la distance entre chaque centre si les sphères touchent est $2r$ . Y-coordonner et z-coordonner sera les mêmes. Pour la simplicité, dire que les boules sont la première rangée et que leur y et z-coordonne sont simplement r, de sorte que leurs surfaces se reposent sur les zéro-avions. Les coordonnées des centres de la première rangée ressembleront au $(2r, r, r)$ , $(4r, r, r)$ , $(6r, r, r)$ , $(8r, r, r), \ dots$ la sphère centrée au $x = au 0$ est immédiatement omis parce qu'une partie de la sphère se trouverait dehors.

Maintenant, former la prochaine rangée des sphères. Encore, les centres se trouveront tout sur une ligne droite avec x-coordonnent des différences de $2r$ , mais leur être un décalage de la distance $r$ dans la direction de x de sorte que le centre de chaque sphère dans cette rangée aligne avec x-coordonnent d'où contact de deux sphères dans la première rangée. Ceci permet les sphères de la nouvelle rangée à la glissière dedans plus près de la première rangée jusqu'à ce que toutes les sphères dans la nouvelle rangée touchent deux sphères de la première rangée. Puisque les nouvelles sphères du contact deux de de sphères, leurs centres forment une triangle équilaterale avec les centres de ces deux voisins. Les longueurs latérales sont tous les $2r$ , ainsi la taille ou y-coordonnent la différence entre les rangées est le $\ racine carrée {3} r$ . Ainsi, cette rangée aura des coordonnées comme ceci : $(r, r+ \ racine carrée {3} r, r)$ , $(3r, r+ \ racine carrée {3} r, r)$ , $(5r, r+ \ racine carrée {3} r, r)$ , $(7r, r+ \ racine carrée {3} r, r), \ dots$ la première sphère de cette rangée touche seulement une sphère dans la rangée originale, mais son endroit suit le mouvement avec le reste de la rangée.

La prochaine rangée suit ce modèle du décalage x-coordonnent par r et y-coordonner par le $\ racine carrée {3}$ . Ajouter les rangées jusqu'à atteindre les frontières maximum de x et de y de la boîte.

Dans un A-B-A-B-… empilant le modèle, les avions impairs de que des sphères aura exactement les mêmes coordonnées sauf pour une différence de lancement dans z-coordonne et les plans pairs s sphères partageront le mêmes x et y - coordonnées. Les deux types d'avions sont formés using le modèle mentionné ci-dessus, mais l'endroit commençant pour sphère rangée du de la première la première sera différent.

Using l'avion décrit avec précision ci-dessus pendant que l'avion #1, l'avion d'A, placent une sphère sur cet avion de sorte qu'il se trouve touchant trois sphères dans l'Un-avion. Toutes les trois sphères sont qui se touchent déjà, formant une triangle équilaterale, et depuis le tout le contact la nouvelle sphère, la forme de quatre centres un tétraèdre régulier . Tous les côtés sont égaux à $2r$ parce que tous les côtés sont constitués par le contact de deux sphères. La taille dont ou z-coordonner la différence entre le " deux ; planes" ; is $\ racine carrée {6} r2/3$ . Ceci, combiné avec les excentrages dans le x et y-coordonne donne les centres de la première rangée dans l'avion de B : $(, de r \ racine carrée {3} r/3, r+ \ racine carrée {6} r2/3)$ , $(3r, \ racine carrée {3} r/3, r+ \ racine carrée {6} r2/3)$ , $(5r, \ racine carrée {3} r/3, r+ \ racine carrée {6} r2/3)$ , $(7r, \ racine carrée {3} r/3, r+ \ racine carrée {6} r2/3), \ points$ les deuxièmes coordonnées de la rangée suivent le modèle d'abord décrit ci-dessus et sont : $(2r, 2 \ racine carrée {3} r/3, r+ \ racine carrée {6} r2/3)$ , $(4r, 2 \ racine carrée {3} r/3, r+ \ racine carrée {6} r2/3)$ , $(6r, 2 \ racine carrée {3} r/3, r+ \ racine carrée {6} r2/3)$ , $(8r, 2 \ racine carrée {3} r/3, r+ \ racine carrée {6} r2/3), \ points$

La différence au prochain avion, l'avion d'A, est encore le $\ racine carrée {6} r2/3$ dans la z-direction et une variation dans le x et le y pour assortir ceux y de x et du premier avion d'A.

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