Famille de Sperner

Dans la combinatoire , une famille de Sperner de (ou système de Sperner de ), appelé en l'honneur du Emanuel Sperner , est un système réglé ( F de , E ) de dans lequel aucun élément n'est contenu dans des autres. Formellement,

si le X , le Y sont dans le &ne du F et du X de ; Le Y , alors le X n'est pas contenu dans le Y et le Y n'est pas contenu dans le X .

D'une manière equivalente, une famille de Sperner est un Antichain dans le trellis d'inclusion au-dessus de la puissance réglé de du E . Une famille de Sperner s'appelle également parfois un le système indépendant .

Le théorème de Sperner

On résultat intéressant et utile est le suivant, connu en tant que théorème de Sperner de .

Pour chaque de famille de Sperner S au-dessus d'un n - placer,

$\ lfloor {n/2} \ rfloor}.$

Preuve

La preuve suivante est due à Lubell (voir la référence). Laisser le s_k dénoter le nombre du k - ensembles dans le S . Pour chacun des 0 &le ; &le de k ; n,

${n \ choisissent \} du lfloor {n/2} \ rfloor \ GE {n \ choisissent k}$

et, ainsi, } de $de {s_k \ au-dessus de {n \ choisit \ lfloor {n/2} \ rfloor} \ le {s_k \ plus de {n \ choisissent k}}.$

Puisque le S est un antichain, nous pouvons additionner au-dessus de l'inégalité ci-dessus du k = 0 au n et puis appliquer l'inégalité du LYM pour obtenir

$\ sum_ {k=0} ^n {s_k \ au-dessus de {n \ choisissent \ lfloor {n/2} \ rfloor}} \ le \ sum_ {k=0} ^n {s_k \ plus de {n \ choisissent k}} \ le 1,$

ce qui signifie

$|S| = \ s_k ^n du sum_ {k=0} \ le {n \ choisissent \ lfloor {n/2} \ rfloor}$ .

Ceci accomplit la preuve.

Le théorème de Sperner peut être vu comme cas spécial du théorème de Dilworth de . Ce s'appelle parfois le lemme de Sperner de , mais malheureusement, ce nom se rapporte également à un autre résultat sur la coloration. Pour différencier les deux résultats, ce qui précède est généralement connu en tant que simplement théorème de Sperner de nos jours.

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