Factoriel

Définition

La fonction factorielle est formellement définie près $n\; de$

! = \ ^n du prod_ {k=1} k \ qquad \ forall n \ dans \ mathbb {N}. \ !

La définition ci-dessus incorpore l'exemple

$0!\; =\; 1\; \backslash$

comme exemple du fait que le produit de sans nombres à tout le est 1. Ce fait pour des factorials est utile, parce que

le $récursif\; de\; relation\; du\; (n\; +\; 1)\; !\; =\; n\; !\; \backslash \; périodes\; (n\; +\; 1)$ fonctionne pour le $n\; =\; le\; 0$ ;
cette définition rend beaucoup d'identités dans la combinatoire valides pour les tailles zéro.
En particulier, le nombre de combinaisons ou les permutations d'un ensemble vide est, clairement, 1.

Applications

Factorials sont employés dans la combinatoire . Par exemple, il y a $n\; !\; différentesmanièresde$ d'arranger les objets distincts du n dans un ordre. (Les arrangements s'appellent les permutations ) et le nombre de manières une peut choisir des objets du k de parmi un ensemble donné d'objets du n (le nombre de combinaisons ), est donné par le coefficient binomial de soi-disant $de$

{n \ choisissent k} = {n ! \ au-dessus de k ! (n-k) !}.

dans les permutations si des objets de $r$ peuvent être choisis et disposé des chemins différents du r d'un total de n objecte, où &le du r ; le n , alors tout le nombre de permutations distinctes est donné par : = de _nP_r de $de$

de
{} \ frac {n !}{(n-r) !}.

Factorials tournent également vers le haut dans le calcul . Par exemple, le théorème de Taylor de exprime un f ( X ) de fonction comme série entière en X , fondamentalement parce que le dérivé du n ^th du n de ^{du X est du n ! .}

Factorials sont également employés intensivement dans la théorie des probabilités .

Factorials sont employé souvent comme exemple simple, avec les nombres de Fibonacci en enseignant la récursion dans le de l'informatique parce qu'ils satisfont le rapport récursif suivant (si &ge de n ; 1) :

$n!\; =\; n\; \backslash \; périodes\; (n-1)\; !.\; \backslash ,$

Théorie des nombres

Factorials ont beaucoup d'applications dans la théorie des nombres . En particulier, du n ! est nécessairement divisible par tous les nombres premiers jusques et y compris de le n . Par conséquent, le n > 5 est un de nombre composé si et seulement si $de$

(n-1) ! \ \ équivalent \ 0 \ ({\} mod de rm \ n).

Un résultat plus fort est le théorème de Wilson de , qui déclare cela $de$

(p-1) ! \ \ équivalent \ -1 \ ({\} mod de rm \ p)

si et seulement si le p est principal.

Le Adrien-Marie Legendre a constaté que la multiplicité du principal p se produisant dans la factorisation principale du du n ! peut être exprimé exactement As

$\backslash \; sum\_\; \{i=1\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash \; lfloor\; n/p^i\; \backslash \; rfloor,$

ce qui est fini puisque la fonction de plancher de enlève tous les $p^i\; >\; n.$

Le seul factoriel qui est également un nombre premier est 2, mais il y a beaucoup amorce du $de\; forme\; \backslash \; du\; scriptstyle\; n\; !\; \backslash ,\; \backslash \; P.\; \backslash ,\; 1$, appelé le factoriel amorce

Taux de croissance

Comme le n se développe, le factoriel du n ! devient plus grand que tous les polynômes et fonctions exponentielles dans le n .

Quand le n est grand, du n ! peut être estimé tout à fait exactement using l'approximation de Stirling de :

$n!\backslash \; approximativement\; \backslash \; racine\; carrée\; \{2\; \backslash \; pi\; n\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{n\}\; \{e\}\; \backslash \; droit)\; ^n.$ laissé

Une version faible qui peut facilement être prouvée avec l'is< de l'induction mathématique ! -- Quelqu'un pourrait souhaiter ajouter la preuve… --> $de$

\ ({n \ plus de 3} \ droit) ^n < n laissés ! < \ parti ({n \ plus de 2} \ droit) ^n \ \ mbox {si} \ n \ geq 6. \,

Le logarithme du factoriel peut être employé pour calculer le nombre de chiffres dans une base donnée que le factoriel d'un nombre donné prendra. Il satisfait l'identité : $de$

\ notation n ! = \ ^n du sum_ {k=1} {\ notation k}.

Noter que cette fonction, si représentée graphiquement, est approximativement le linéaire, pour de petites valeurs ; mais le $de\; facteur\; \{\backslash \; notation\; n\; !\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; n$, et de ce fait de la pente du graphique, se développe arbitrairement grand, bien que tout à fait lentement. Le graphique du $log\; (n\; !)$ pour $n$ entre 0 et 20.000 est montré dans la figure du côté droit.

Une approximation simple pour basé sur l'approximation de Stirling de est $de$

\ notation n ! \ approximativement n \ notation n - n + \ + de frac {\ notation n} {2} \ frac {\ notation (2 \ pi)} {2}.

Une approximation bien meilleure pour a été donnée par le Srinivasa Ramanujan : $de$

\ notation n ! \ approximativement n \ notation n - n + \ frac {\ notation (n (1+4n (1+2n)))} {6} + \ frac {\ notation (\ pi)} {2}.

On peut voir de ceci qui est le Ο ( n de notation de n ). Ce résultat joue un rôle principal dans l'analyse de la complexité informatique des algorithmes de tri (voir la sorte de comparaison de ).

Calcul

La valeur du $n\; !$ peut être calculé par multiplication répétée si $n$ n'est pas trop grand. Le plus grand factoriel que la plupart des calculatrices peuvent manipuler est $69\; !$, parce que $70\; !\; >\; 10^\; \{100\}$. Les programmes informatiques tels que le Microsoft Excel et la calculatrice de Google de peuvent manipuler des factorials aussi grands que $170\; !$, qui est le plus grand factoriel moins que $16^\; \{256\}$ ($10^\; \{100\}$ dans hexadécimal de ) et correspond à un nombre entier de 1024 bits. $11\; !$ et $20\; !$ sont respectivement les plus grands factorials qui peuvent être stockés dans les 32 bits et 64 nombres entiers de bit utilisés généralement dans des PCs. Dans la pratique, la plupart des applications de logiciel calculeront ces petits factorials par consultation directe de multiplication ou de table. De plus grandes valeurs sont souvent rapprochées en termes d'évaluations à point mobile du de la fonction gamma , habituellement avec la formule de Stirling de .

Pour le nombre les calculs combinatoires théorétiques de et , des factorials exacts très grands sont souvent nécessaires. Des factorials de Bignum peuvent être calculés par multiplication directe, mais multipliant l'ordre $1\; \backslash \; périodes\; 2\; \backslash \; périodes\dots \; \backslash \; périodes\; n$ du fond vers le haut (ou de haut en bas) est inefficace ; il vaut mieux de dédoubler périodiquement l'ordre de sorte que la taille de chaque subproduct soit réduite au minimum.

La asymptotique-meilleure efficacité est obtenue en calculant le $n\; !$ de sa factorisation principale. Comme documenté par le Peter Borwein , la factorisation principale permet le $n\; !$ à calculer dans le O ( n ( de notation de notation de n de notation n ) ²) de temps, à condition que un algorithme rapide de multiplication de soit employé (par exemple, l'algorithme de Schönhage-Strassen de ). Peter Luschny présente le code source et les repères pour plusieurs algorithmes factoriels efficaces, avec ou sans l'utilisation d'un passoir de perfection de .

La fonction gamma

voient également :

la fonction gamma

La fonction factorielle peut également être définie pour des valeurs de non-nombre entier, mais ceci exige des outils plus avancés de l'analyse mathématique . La fonction qui " ; remplit in" ; les valeurs du factoriel entre les nombres entiers s'appelle la fonction gamma , $dénoté\; \backslash \; gamma\; (z)$ de pour nombres entiers z aucun plus moins de 1, défini près

$\backslash \; gamma\; (z)=\; \backslash \; int\_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; t^\; \{z-1\}\; e^\; \{-\}\; de\; t\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; T.\; \backslash \; !$

La formule originale du d'Euler de pour la fonction gamma était

$\backslash \; gamma\; (z)=\; \backslash \; lim\_\; \{n\; \backslash \; \backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{n^zn\; !\}\{\backslash \; ^n\; de\; prod\_\; \{k=0\}\; (z+k)\}.\; \backslash \; !$

La fonction gamma est liée aux factorials parce qu'elle satisfait un rapport récursif semblable :

$n!=n\; (n-1)\; !\; \backslash ,$ $\backslash \; gamma\; (n+1)=n\; \backslash \; gamma\; (n)\; \backslash ,$

En même temps que le $\backslash \; gamma\; (1)=1$ ceci rapporte l'équation pour n'importe quel nombre entier non négatif $n$ : $de$

\ gamma (n+1)=n ! \, \ ! $$ \ parti (\ frac {1} {2} \ droit) ! = \ frac {\ racine carrée {\ pi}} {2} Basé sur la valeur de fonction gamma pour 1/2, l'exemple spécifique des factorials du Moitié-nombre entier est résolu au $de\; \backslash \; est\; parti\; (n+\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; droit)\; !\; =\; \backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; pi\}\; \backslash \; périodes\; \backslash \; ^n\; du\; prod\_\; \{k=0\}\; \{2k\; +\; 1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}.$

Par exemple
$3.5\; de$
! = \ racine carré {\ pi} \ cdot {1 \ plus de 2} \ cdot {3 \ over2} \ cdot {5 \ over2} \ cdot {7 \ over2} \ approximativement 11.

La fonction gamma en fait est définie pour tous les nombres complexes $z$ de excepté le $nonpositifde\; nombres\; entiers\; (z\; =\; 0,\; -1,\; -2,\dots )$. On le considère souvent comme généralisation de la fonction factorielle au domaine complexe, qui est justifié pour les raisons suivantes :
Signification partagée. La définition canonique de la fonction factorielle partage le même rapport récursif avec la fonction gamma. La fonction gamma est généralement employée dans un contexte semblable à celui des factorials (mais, naturellement, où un domaine plus général est d'intérêt).
Unicité (théorème de Bohr-Mollerup de ). La fonction gamma est la seule fonction qui satisfait le rapport récursif mentionné ci-dessus pour le domaine des nombres complexes, est le méromorphe, et est le Notation-convexe sur le vrai axe positif. C'est-à-dire, c'est la seule fonction douce et notation-convexe qui pourrait être une généralisation de la fonction factorielle à tous les nombres complexes.

Euler a également développé une approximation convergente de produit pour les factorials de non-nombre entier, qui peuvent être vus pour être équivalents à la formule pour la fonction gamma ci-dessus :

$n!\; \backslash \; frac\; approximativement\; \backslash \; laissé\; \backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{2\}\; \{1\}\; \backslash \; droit)\; ^n\; \backslash \; \{1\}\; \{n+1\}\; \backslash \; bon\; \backslash \; laissé\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\}\; \backslash \; droit)\; ^n\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{n+2\}\; \backslash \; bon\; \backslash \; laissé\; \backslash \; laissé\; (\backslash \; frac\; \{4\}\; \{3\}\; \backslash \; droit)\; ^n\; \backslash \; frac\; \{3\}\; \{n+3\}\; \backslash \dots$ droit

Il peut également écrire en tant que ci-dessous :

$n\; !\; =\; \backslash \; ^\; de\; prod\_\; \{k\; =\; 1\}\; \backslash \; infty\; \{\backslash \; frac\; k\; +\; 1)\; !\; k\; -\; 1)\; !\; (n\; +\; k)\; \}$

Le produit converge rapidement pour de petites valeurs de $n$.

Applications de la fonction gamma

le volume d'un dimensionnel Hypersphere du de $n$- peut être exprimé comme : $V\_n=\; de$

de
{\ pi^ {n/2} R^n \ au-dessus de \ gamma ((n/2)+1)}.

Factoriel-comme des produits

Il y a plusieurs autres ordres de nombre entier semblables aux factoriels qui sont employés dans les mathématiques :

Primorial

Le Primorial est semblable au factoriel, mais avec le produit pris seulement les nombres premiers

Double factoriel

$n\; !\; !$ dénote le double factoriel de de $n$ et est défini périodiquement près

$n\; !\; !\; =\; \backslash \; parti\; \backslash \; \{\; \backslash \; commencer\; \{rangée\}\; \{le\; ll\}\; 1,\; et\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; n=-1\; \backslash \; mbox\; \{ou\}\; n=0\; \backslash \; mbox\; \{ou\}\; n=1\; ;\; \backslash \; \backslash \; n\; (N2)\; !\; !\; et\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; n\; \backslash \; ge2.\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; extrémité\; \{rangée\}\; \backslash \; droit.$

Par exemple, 8 ! ! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 et 9 ! ! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. L'ordre de doubles factorials pour le $n\; =\; 0,\; 1,\; 2,\dots$ commence comme
1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840 de
,…

La définition ci-dessus peut être employée pour définir de doubles factorials des nombres négatifs : $de$

(N2) ! ! = \ frac {n ! !}{n}

L'ordre de doubles factorials pour le $n=\; -1,\; -3,\; -5,\; -7,\; \backslash \; points\; \backslash ,\; débuts\; de$ comme
$1,\; -1,\; 1/3,\; -1/15\dots$ de

tandis que le double factoriel même des nombres entiers négatifs est infini.

Quelques identités impliquant de doubles factorials sont : $n\; de\; !\; =n\; !\; !\; (n-1)\; !\; !\; \backslash ,$ $de$

(2n) ! ! =2^nn ! \, $de$

(2n+1) ! ! = {(2n+1) ! \ plus de (2n) ! !}= {(2n+1) ! \ over2^nn !} $de$

(2n-1) ! ! = {(2n-1) ! \ plus de (2n-2) ! !}= {(2n) ! \ over2^nn !}

$\backslash \; gamma\; \backslash \; parti\; (n+\; \{1\; \backslash \; over2\}\; \backslash \; droit)\; =\; \backslash \; racine\; carré\}\; \{\backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{(2n-1)\; !\; !\; \backslash \; over2^n\}$

$\backslash \; gamma\; \backslash \; est\; parti\; (\{n\; \backslash \; over2\}\; +1\; \backslash \; droits)\; =\; \backslash \; racine\; carré\}\; \{\backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash ,\; \{n\; !\; !\; \backslash \; over2^\; \{(n+1)/2\}\}$

là où le $\backslash \; Gamma$ est la fonction gamma . La dernière équation ci-dessus peut être employée pour définir le double factoriel en fonction de n'importe quel $n\; de\; nombre\; complexe\; \backslash \; quantité\; nette\; de\; substance\; explosive\; 0$, juste comme la fonction gamma généralise la fonction factorielle. On devrait faire attention à ne pas interpréter le $n\; !\; !$ en tant que factoriel du $n\; !$, qui serait écrit le $(n\; !)\; !$ et est un nombre beaucoup plus grand (pour le $n\; >\; le\; 2$).

Multifactorials< ! -- Cette section est liée du nombre catalan -->

Une notation relative commune est d'employer les points d'exclamation multiples pour dénoter un multifactoriel, le produit des nombres entiers dans les étapes de deux ($n\; !\; !$), trois ($n\; !\; !\; !$), ou plus. Le double factoriel est la variante la plus utilisée généralement, mais on peut pareillement définir le factoriel triple ($n\; !\; !\; !$) et ainsi de suite. Généralement le k ^th factoriel, dénoté par le $n\; !\; le\; ^\; \{(k)\}$, est défini périodiquement As

Quelques mathématiciens ont proposé une notation alternative de $n\; !\; \_2$ pour le doubles factoriel et pareillement $n\; !\; \_k$ pour d'autres multifactorials, mais ceci n'a pas hérité l'utilisation générale.

Factoriel quadruple

Le factoriel quadruple, cependant, n'est pas un multifactoriel ; c'est un nombre beaucoup plus grand donné par le $\backslash \; frac\; \{(2n)\; !\}\{n\; !\}$.

Superfactorials

Le Neil Sloane et le Simon Plouffe ont défini le superfactorial dans 1995 comme produit des premiers factorials de $n$. Ainsi le superfactorial de 4 est $de$

\ mathrm {sf} (4)=1 ! \ périodes 2 ! \ périodes 3 ! \ périodes 4 ! =288 \,

En général

$\backslash \; mathrm\; \{sf\}\; (n)\; =\; \backslash \; ^n\; k\; du\; prod\_\; \{k=1\}\; !\; =\; \backslash \; k^\; ^n\; du\; prod\_\; \{k=1\}\; \{n-k+1\}\; =1^n\; \backslash \; cdot2^\; \{n-1\}\; \backslash \; cdot3^\; \{N2\}\; \backslash \; cdots\; (n-1)\; ^2\; \backslash \; cdot\; n^1.$

L'ordre des débuts de superfactorials (du $n\; =\; du\; 0$) As

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200 de ,…

Cette idée a été prolongée en 2000 par le Henry Bottomley au superduperfactorial comme produit des premiers superfactorials de $n$, commençant (du $n\; =\; du\; 0$) As

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000 de ,…

et ainsi périodiquement à tout multiple-niveau factoriel de où le m ^th-level factoriel de $n$ est le produit du premier $de$ n$(m\; -\; factorials\; 1)$^th-level, c. $de$

\ mathrm {mf} (n, m) = \ mathrm {mf} (n-1, m) \ mathrm {mf} (n, m-1) = \ k^ ^n du prod_ {k=1} {n-k+m-1 \ choisissent le n-k}

là où $\backslash \; mathrm\; \{mf\}\; (n,\; 0)\; =n$ pour $n>0$ et $\backslash \; mathrm\; \{mf\}\; (0,\; m)=1$.

Superfactorials (définition alternative)

Clifford Pickover dans son 1995 livre clef à infini a défini superfactorial de $n$ en tant que

$n\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; S\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; ;\; \backslash ,\; \{!\}\backslash \; équivalent\; \backslash \; commence\; \{\}\; de\; matrice\; \backslash \; underbrace\; \{n\; !\; ^\; ^\; de\; cdot\}\; ^\; de\; cdot\}\; ^\; de\; cdot\}\; ^\; de\; cdot\}\; ^\; de\; cdot\}\; ^\; de\; cdot\}\; ^\; de\; cdot\}\; ^\; de\; cdot\}\; \}\; \backslash \; \backslash \; n\; !\; \backslash ,\; de\; fin\; \{matrice\}\; \backslash ,$ ou comme,

$n\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; S\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; ;\; \backslash ,\; \{!\}=n\; !\; ^\; \{(4)\}\; n\; !\; \backslash ,$ là où ⁽⁴⁾ notation dénote Hyper4 opérateur , ou employant Knuth up-arrow notation ,

$n\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; S\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; ;\; \backslash ,\; \{!\}=\; (n\; !)\backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; (n\; !)\; \backslash ,$ Cet ordre des débuts de superfactorials :

$1\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; S\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; ;\; \backslash ,\; \{!\}=1\; \backslash ,$
$2\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; S\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; ;\; \backslash ,\; \{!\}=2^2=4\; \backslash ,$
$3\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; de\; S\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; !\; \backslash \; ;\; \backslash ,\; \{!\}=6\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow6=6^\; \{6^\; \{6^\; \{6^\; \{6^6\}\}\}\}$

Hyperfactorials

De temps en temps le hyperfactorial de $n$ est considéré. On lui écrit comme $H\; (n)$ et défini près

$H\; (n)\; =\; \backslash \; k^k\; ^n\; du\; prod\_\; \{k=1\}\; =1^1\; \backslash \; cdot2^2\; \backslash \; cdot3^3\; \backslash \; cdots\; (n-1)\; ^\; \{n-1\}\; \backslash \; cdot\; n^n.$

Pour le n = 1, 2, 3, 4,… le H ( n ) de valeurs sont 1, 4, 108, 27648,… .

La fonction hyperfactorial est semblable au factoriel, mais produit de plus grands nombres. Le taux de croissance de cette fonction, cependant, n'est pas beaucoup plus grand qu'un militaire de carrière factoriel. Cependant, H (14) = 1.85… × ; 10⁹⁹ est déjà presque égal à un Googol , et au H (15) = 8.09… × ; 10¹¹³ est presque de la même grandeur que le nombre , le nombre théorique de Shannon de de jeux d'échecs possibles.

La fonction hyperfactorial peut être généralisée aux nombres complexes d'une manière semblable comme fonction factorielle. La fonction en résultant s'appelle la K-fonction .

Voir également

de

alternant factoriel
Fonction de digamma de
factoriel exponentiel
Factoradic
Perfection factorielle
Factorion
L'approximation de Stirling de
Nombre triangulaire , l'analogue de d'additif de factoriel

.

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