Epimorphism

Dans la théorie de catégorie de un epimorphism (également appelé un morphism épique ou un epi ) est un f de Morphism : &rarr du X ; Y qui est le droit-cancellative dans le sens suivant : g ₁ de ; o ; f = g ₂ ; o ; le f implique le g ₁ = g ₂ pour tout le g ₁, le g ₂ de morphisms : &rarr du Y ; Z .

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Epimorphisms sont des analogues des fonctions surjectives mais ils ne sont pas exactement identiques. Le duel d'un epimorphism est un monomorphisme (c. un epimorphism dans un C de catégorie est un monomorphisme dans le duel C ^op de catégorie).

Beaucoup d'auteurs dans le soustraient l'algèbre et l'algèbre universelle définissent un epimorphism simplement comme sur ou homomorphisme surjectif du . Chaque epimorphism dans ce sens algébrique est un epimorphism dans le sens de la théorie de catégorie, mais l'inverse n'est pas vraie dans toutes les catégories. En cet article, le " de limite ; epimorphism" ; sera employé dans le sens de la théorie de catégorie donné ci-dessus. Pour plus sur ceci, voir la section sur la terminologie ci-dessous.

Exemples

Chaque morphism dans une catégorie concrète dont la fonction fondamentale est le surjectif est un epimorphism. Dans beaucoup de catégories concrètes d'intérêt l'inverse est également vraie. Par exemple, dans les catégories suivantes, les epimorphisms sont exactement ces morphisms qui sont surjectifs sur les ensembles étant à la base :
Le ''' réglé , de ''' de place et fonctions. Pour montrer que chaque f d'epimorphism : &rarr du X ; Le Y dans le réglé est surjectif, nous le composent avec tous les deux le g ₁ de la fonction caractéristique : &rarr du Y ; {0.1} du f ( X ) d'image et du g ₂ de carte : &rarr du Y ; {0.
''' de Rel de ''' de , ensembles avec les relations binaires et relation préservant des fonctions. Ici nous pouvons employer la même preuve que pour le réglé, équipant {0.1} × de relation {; {0.
La position , de a partiellement commandé les ensembles et les fonctions monotones si le f : ( X , &le ;) &rarr ; ( Y , &le ;) n'est pas le y ₀ surjectif, de sélection dans le Y \ f ( X ) et n'a pas laissé le g ₁ : &rarr du Y ; {0.1} être la fonction caractéristique de { y | &le du y ₀ ; y } et g ₂ : &rarr du Y ; {0.1} la fonction caractéristique de { y | y ₀ < y }. Ces cartes sont monotones si {0.1} est donné la norme commandant 0 < 1.
le Grp , de groupe et les homomorphisms de groupe de le résultat que chaque epimorphism dans le Grp est surjectif est dû au Otto Schreier (il a prouvé réellement plus, prouvant que chaque sous-groupe est un égaliseur using le produit libre avec un sous-groupe amalgamé) ; une preuve élémentaire peut être trouvée dedans (Linderholm 1970).
FinGrp , groupes finis et homomorphisms de groupe. En outre en raison de Schreier ; la preuve donnée dedans (Linderholm 1970) établit ce cas aussi bien.
ab , groupes abéliens et homomorphisms de groupe.
'' K '' de - Vect , espaces de vecteur au-dessus d'un K du champ et '' K '' - transformations linéaires .
Mod - le R , les modules droits au-dessus d'un R de l'anneau et les homomorphisms de module de ceci généralise les deux exemples précédents ; pour montrer que chaque f d'epimorphism : &rarr du X ; Y dans mod - le R est surjectif, nous le composent avec le les deux le canonique g ₁ de la carte de quotient de : &rarr du Y ; Y / f ( X ) et le nul g ₂ de carte : &rarr du Y ; Y / f ( X ).
Le ''' de dessus de ''' de , les espaces topologiques et les fonctions continues pour montrer que chaque epimorphism dans le dessus est surjectif, nous procédons exactement comme dans le réglé, donnant {0.1} la topologie indiscrète ce qui s'assure que toutes les cartes considérées sont continues.
HComp , espaces de Hausdorff compacts de du et fonctions continues. Ici nous procédons comme dans le réglé, mais donnons {0.1} la topologie discrète de sorte que ce devienne un espace de Hausdorff compact. Le g ₁ de carte est continu parce que l'image du f est un sous-ensemble fermé par de Y .

De quelque manière qu'il y a également beaucoup de catégories concrètes d'intérêt où les epimorphisms ne sont pas surjectifs. Quelques exemples sont :
Dans la catégorie du lundi , le &rarr des monoîdes du N de la carte d'inclusion de ; Le Z est un epimorphism non-surjectif. Pour voir ceci, supposer que le g ₁ et le g ₂ sont deux cartes distinctes du Z à un certain M de monoîde. Alors pour un certain n dans le Z , &ne du g ₁ ( n ) ; g ₂ ( n ), ainsi &ne du g ₁ ( - n ) ; g ₂ ( - n ). n ou - n est dans le N , ainsi les restrictions du g ₁ et du g ₂ à N sont inégales.
Dans la catégorie du sonne l'anneau , le &rarr de de du Z de carte d'inclusion ; Le Q est un epimorphism non-surjectif ; pour voir ceci, noter que n'importe quel homomorphisme d'anneau de sur le Q est déterminé entièrement par son action sur le Z , semblable à l'exemple précédent. Un argument semblable prouve que l'homomorphisme normal d'anneau de n'importe quel de l'anneau commutatif R à des n'importe quelles de ses localisations est un epimorphism.
Dans la catégorie des anneaux commutatifs un a de façon finie produit de l'homomorphisme de du f d'anneaux : &rarr du R ; Le S est un epimorphism si et seulement si pour tout le P des idéaux de perfection de du R , le idéal Q produit par le f ( P ) est l'un ou l'autre S ou est principal, et si le Q n'est pas le S , le &rarr induit de Frac ( R / P ) de de carte ; Frac ( S / Q ) est un isomorphisme (l'EGA IV 17.
Dans la catégorie du Haus des espaces de Hausdorff , les epimorphisms sont avec précision les fonctions continues avec des images denses du . Par exemple, le &rarr du Q de carte d'inclusion ; Le R , est un epimorphism non-surjectif.

Ce qui précède diffère du cas des monomorphismes où il est plus fréquemment de vrai que les monomorphismes soient avec précision ceux dont les fonctions fondamentales sont le injectif.

Quant aux exemples des epimorphisms dans des catégories non-concrètes :
Si un monoîde ou l'anneau est considéré comme catégorie avec un objet simple (composition des morphisms donnés par multiplication), alors les epimorphisms sont avec précision les éléments droit-annulables.
Si un dirigeait le graphique est considéré comme catégorie (les objets sont les sommets, morphisms sont les chemins, composition des morphisms est la concaténation des chemins), alors les epimorphisms sont avec précision les chemins qui finissent dans un y de sommet duquel aucun deux chemins différents ne peuvent atteindre le même z de sommet.

Propriétés

Chaque isomorphisme est un epimorphism ; en effet seulement un inverse droit-dégrossi est nécessaire : si là existe un j de morphism : &rarr du Y ; X tels que le FJ = Y , alors le f d'id_{est un epimorphism. Une carte inversible droite s'appelle un ''' fendu d'epi de ''' de .
La composition de deux epimorphisms est encore un epimorphism. Si le fg composition de deux morphisms est un epimorphism, alors le f doit être un epimorphism.
En tant que certains des exemples ci-dessus montrer, la propriété d'être un epimorphism n'est pas déterminée par seul le morphism, mais également par la catégorie du contexte. Si le D est une sous-catégorie du C , alors chaque morphism dans le D qui est un epimorphism une fois considéré comme morphism dans le C est également un epimorphism dans le D ; l'inverse, cependant, n'a pas besoin de se tenir ; la catégorie plus petite peut (et souvent) avoir plus d'epimorphisms.
Quant à la plupart des concepts dans la théorie de catégorie, des epimorphisms sont préservés sous des équivalences en des catégories : donné un d'équivalence F : &rarr du C ; Le D , alors un f de morphism est un epimorphism dans le C de catégorie si et seulement si le F ( f ) est un epimorphism dans le D . Une dualité entre deux catégories tourne des epimorphisms dans des monomorphismes, et vice versa.
La définition de l'epimorphism peut être reformulée pour déclarer ce f : &rarr du X ; Y est epimorphism si et seulement s'induit carte

$\ commencent {} de matrice \ operatorname {Hom} (Y, Z) et \ rightarrow& \ operatorname {Hom} (X, Z) \ \ g et \ gf de mapsto& \ extrémité {matrice}$ sont le injectif pour chaque choix du Z . Ceci alternativement est équivalent à induit normal transformation

$\ operatorname {Hom} (Y, -) et \ rightarrow& \ operatorname {Hom} (X, -) \ extrémité {matrice}$ étant un monomorphisme dans le C de ^{réglé par de la catégorie de Functor de .}
Chaque Coequalizer est un epimorphism, une conséquence de la condition d'unicité dans la définition des coequalizers. Il suit en particulier que chaque Cokernel est un epimorphism. L'inverse, à savoir que chaque epimorphism soit un coequalizer, n'est pas vraie dans toutes les catégories.
Dans beaucoup de catégories il est possible d'écrire chaque morphism comme composition d'un monomorphisme suivi d'un epimorphism. Par exemple, donné un groupe le f d'homomorphisme : &rarr du G ; Le H , nous pouvons définir le K de groupe = im ( f ) = le f ( G ) et puis écrire le f comme composition du &rarr surjectif du G d'homomorphisme ; K qui est défini comme le f , suivi du &rarr injectif du K d'homomorphisme ; H qui envoie chaque élément lui-même. Une telle factorisation d'un morphism arbitraire dans un epimorphism a suivi d'un monomorphisme peut être effectuée dans toutes les catégories abéliennes et également dans toutes les catégories concrètes mentionnées ci-dessus dans la section d'exemples (cependant pas dans toutes les catégories concrètes).

Concepts relatifs
Entre d'autres concepts utiles sont l'epimorphism régulier de , l'epimorphism extrémal de , l'epimorphism fort de , et l'epimorphism fendu de . Un epimorphism régulier coequalizes quelques paires parallèles de morphisms. Un epimorphism extrémal est un epimorphism qui n'a aucun monomorphisme comme deuxième facteur, à moins que ce monomorphisme soit un isomorphisme . Un epimorphism fort satisfait une certaine propriété de levage en ce qui concerne les places commutatives impliquant un monomorphisme. Un epimorphism de fente est un morphism qui a un inverse droit-dégrossi. Un morphism qui est un monomorphisme et un epimorphism s'appelle un Bimorphism . Chaque isomorphisme est un bimorphism mais l'inverse n'est pas vraie en général. Par exemple, la carte de l'intervalle semi-ouvert au [[cercle d'unité] S¹ (considéré comme sous-espace du plan complexe ) qui envoie le X à exp (2&pi ; le IX ) (voir la formule d'Euler de ) est continu et bijectif mais pas une homéomorphie puisque la carte inverse n'est pas continue à 1, ainsi lui est un exemple d'un bimorphism qui n'est pas un isomorphisme dans le dessus de catégorie. Un autre exemple est le &rarr de encastrement du Q ; R dans le Haus de catégorie ; comme remarquable ci-dessus, c'est un bimorphism, mais ce n'est pas bijectif et donc pas un isomorphisme.
Epimorphisms sont employés pour définir des catégories abstraites des objets de quotient de en général : f ₁ de deux epimorphisms : &rarr du X ; Y ₁ et f ₂ : &rarr du X ; Le Y ₂ serait le équivalent si là existe un j d'isomorphisme : &rarr du Y ₁ ; Y ₂ avec le du j ; f ₁ = f ₂. C'est une relation d'équivalence , et les classes d'équivalence sont définies pour être les objets de quotient du X .

Terminologie
L'epimorphism limites de compagnon et le monomorphisme de ont été présentés la première fois par le Bourbaki . Bourbaki emploie l'epimorphism de comme sténographie pour une fonction surjective . Les premiers théoriciens de catégorie ont cru que les epimorphisms étaient l'analogue correct des surjections dans une catégorie arbitraire, semblable à la façon dont les monomorphismes sont presque tout à fait un analogue exact des injections. Malheureusement c'est incorrect ; les epimorphisms forts ou réguliers se comportent beaucoup plus étroitement aux surjections que des epimorphisms ordinaires. La ruelle de Mac de Saunders de a essayé de créer une distinction entre les epimorphisms de , qui étaient des cartes dans une catégorie concrète dont les cartes réglées étant à la base étaient surjectives, et les morphisms épiques de , qui sont des epimorphisms dans le sens moderne. Cependant, cette distinction jamais non propagée. C'est une erreur commune pour croire que les epimorphisms sont ou identiques aux surjections ou qu'ils sont un meilleur concept. Malheureusement c'est rarement le cas ; les epimorphisms peuvent être très mystérieux et avoir le comportement inattendu. Il est très difficile, par exemple, pour classifier tous les epimorphisms des anneaux. Généralement les epimorphisms sont leur propre concept unique, lié aux surjections mais fondamentalement différent.

Voir également

Fonction surjective
Monomorphisme
Isomorphisme .
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