Entscheidungsproblem

Dans les mathématiques , le Entscheidungsproblem ( allemand de pour « problème de décision ") est un défi lancé par le David Hilbert en 1928.

L'Entscheidungsproblem demande un programme informatique qui prendra comme entrée une description d'un langage formel et un rapport mathématique dans la langue et renverra comme rendement l'un ou l'autre " ; True" ; ou " ; False" ; selon que le rapport est vrai ou faux. Le programme n'a pas besoin de justifier sa réponse, ou fournit une preuve, à condition qu'il soit toujours correct. Un tel programme informatique pourrait décider, par exemple, si les rapports tels que l'hypothèse de continuum de ou l'hypothèse de Riemann de sont vrais, quoiqu'aucune preuve ou réfutation de ces rapports ne soit connue. L'Entscheidungsproblem souvent a été identifié en particulier avec le problème de décision pour la logique de premier ordre (c'est-à-dire, le problème de de déterminer algorithmiquement si une instruction d'affectation est universellement valide).

En 1936, l'église d'Alonzo de et le Alan Turing ont édité les documents indépendants prouvant qu'il est impossible de décider algorithmiquement si les rapports dans le arithmétique sont vrais ou faux, et une solution générale à l'Entscheidungsproblem est ainsi impossible. Ce résultat est maintenant connu comme théorème de l'église ou théorème d'Église-Turing (ne pas être confondu avec la thèse d'Église-Turing de ).

Histoire du problème

L'origine de l'Entscheidungsproblem retourne au Gottfried Leibniz , qui siècle au dix-septième, ensuite ayant construit une machine à calculer mécanique réussi, rêvée de construire une machine qui pourrait manoeuvrer des symboles afin de déterminer les valeurs de vérité des rapports mathématiques (Davis 2000 : Pp. Il s'est rendu compte que la première étape devrait être un langage formel propre, et beaucoup de son travail suivant a été orienté sur ce but. Dans le 1928 , le David Hilbert et le Wilhelm Ackermann ont posé la question sous la forme décrite ci-dessus.

Dans la suite de son " ; program" ; avec ce qui il a défié la communauté de mathématiques en 1900, à une Conférence Internationale 1928 David Hilbert a posé trois questions, le tiers dont est devenu notoire comme " ; Entscheidungsproblem" de Hilbert ; (Hodges P. Aussi tard que 1930 il a cru qu'il n'y aurait aucune une telle chose comme un problème insoluble (Hodges P. 92, citant de Hilbert).

Réponse négative

Avant que la question pourrait être répondue, la notion du " ; algorithm" ; a dû être formellement défini. Ceci a été fait par l'église d'Alonzo de en 1936 avec le concept du " ; calculability" efficace ; basé sur son calcul de λ de et par Alan Turing en même année avec son concept de Turing usine on l'a identifié que plus tard que ce sont les modèles équivalents de du calcul .

La réponse négative au Entscheidungsproblem a été alors donnée par Alonzo Church en 1936 et indépendamment sous peu ensuite par Alan Turing, aussi en 1936. L'église a montré qu'il n'y a aucune fonction calculable ce qui décide pour deux expressions données de calcul de λ si elles sont équivalentes ou pas. Il a compté fortement sur les premiers travaux par le Stephen Kleene . Turing a ramené le problème d'arrêt pour des machines de Turing à l'Entscheidungsproblem. Le travail des deux auteurs a été fortement influencé par le les premiers travaux de s de Gödel Kurt 'sur son théorème d'imperfection de , particulièrement par la méthode d'attribution numérote (une numérotation de Gödel de ) aux formules logiques afin de ramener la logique à l'arithmétique.

L'argument de Turing est le suivant. Supposer que nous avons eu un algorithme général de décision pour des rapports dans une langue de premier ordre du . La question, qu'une machine donnée de Turing s'arrête ou pas peut être formulée comme instruction d'affectation, qui serait alors susceptible de l'algorithme de décision. Mais Turing avait prouvé plus tôt qu'aucun algorithme général ne peut décider si une machine donnée de Turing s'arrête.

L'Entscheidungsproblem est lié problème de Hilbert de au dixième, qui demande un algorithme pour décider si les équations diophantines ont une solution. La non-existence d'un tel algorithme, établie par le Yuri Matiyasevich dans le 1970 , implique également une réponse négative à l'Entscheidungsproblem.

Quelques théories de premier ordre sont algorithmiquement que l'on peut décider ; les exemples de ceci incluent le Presburger arithmétique, les vrais champs fermés et les systèmes statiques des langages de programmation la théorie de premier ordre générale du les nombres que normaux ont exprimé en axiomes de Peano de ne peuvent pas être décidés avec un tel algorithme, cependant.

Voir également

iktionary
Problème d'arrêt
Le problème de Hilbert deuxièmes de
Le Oracle usinent

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