Ensemble vide

Dans les mathématiques et plus spécifiquement la théorie des ensembles , l'ensemble vide est le unique réglé qui ne contient aucun élément. Dans la théorie des ensembles axiomatique il est postulé pour exister par l'axiome de de l'ensemble vide . L'ensemble vide s'appelle également parfois le l'ensemble nul , mais parce que l'ensemble nul signifie autre chose dans la théorie des mesures , que limite est généralement évité dans le travail courant.

Les diverses propriétés possibles des ensembles sont le trivialement vrai pour l'ensemble vide.

Notation

L'ensemble vide est dénoté par l'un ou l'autre un du " de symboles ; $\ varnothing$ " ; ou " ; $\ emptyset$ " ; , dérivé du de lettre Ø dans le danois et l'alphabet norvégien , présenté par le groupe (spécifiquement André Weil ) de Bourbaki de en 1939. D'autres notations pour l'ensemble vide incluent le " ; { ;}" ; et " ; Λ" ;.

Propriétés

(Ici nous employons les symboles mathématiques )
le de

pour n'importe quel réglé A de , l'ensemble vide est un sous-ensemble A :
: A de ∀ : A de ⊆ de ∅
Pour n'importe quel A d'ensemble, l'union du A avec l'ensemble vide est le A :
: A de ∀ : ∅ DE ∪ DU A = A
Pour n'importe quel A d'ensemble, l'intersection du A avec l'ensemble vide est l'ensemble vide :
: A de ∀ : ∅ de ∩ du A = ∅
Pour n'importe quel A d'ensemble, le produit cartésien du A et l'ensemble vide est vide :
: A de ∀ : × du A ; ∅ = ∅
Le seul sous-ensemble de l'ensemble vide est l'ensemble vide lui-même :
: A de ∀ : A DE ⇒ DE ∅ DE ⊆ DU A = ∅
La puissance réglé de de l'ensemble vide est un ensemble contenant seulement l'ensemble vide :
: 2^∅ = {∅}
Le nombre d'éléments de l'ensemble vide (qu'est à dire sa cardinalité ) est le zéro ; en particulier, l'ensemble vide est le fini :
: |∅| = 0
Pour toute propriété :
pour chaque élément de ∅ la propriété se tient (vérité vide )
il n'y a aucun élément de ∅ pour lequel la propriété se tient
Réciproquement : si, pour une certaine propriété, les deux rapports suivants se tiennent :
pour chaque élément de V les prises de propriété
il n'y a aucun élément de V pour lequel la propriété tient le puis V = ∅

Les mathématiciens parlent du " ; le set" vide ; plutôt que le " ; un set" vide ;. Dans la théorie des ensembles , deux ensembles sont égaux s'ils ont les mêmes éléments ; donc il peut y avoir seulement un ensemble sans des éléments.

Considéré comme sous-ensemble de la ligne de vrai nombre de (ou plus généralement de tout espace topologique ), l'ensemble vide est par clôturé et ouvert. Tous ses points de frontière de (dont il n'y en a aucun) sont dans l'ensemble vide, et l'ensemble est donc fermés ; tandis que pour chacun de ses points (dont il n'y en a encore aucun), il y a un voisinage ouvert dans l'ensemble vide, et l'ensemble est donc ouvert. D'ailleurs, l'ensemble vide est un contrat réglé de par le fait que chaque ensemble fini est compact.

La fermeture de l'ensemble vide est vide. Ceci est connu comme " ; conservation des syndicats de Nullary . " ;

Problèmes communs

L'ensemble vide n'est pas la même chose que le rien ; c'est un ensemble avec rien à l'intérieur de il, et un ensemble est quelque chose . Ceci occasionne souvent des difficultés parmi ceux qui première rencontre il. Il peut être utile de penser à un ensemble comme sac contenant ses éléments ; un sac vide peut être vide, mais le sac lui-même existe certainement.

Par la définition du sous-ensemble , l'ensemble vide est un sous-ensemble de n'importe quel A d'ensemble, comme que chaque X d'élément de de {} appartient au A . S'il n'est pas vrai que chaque élément de {} soit dans le A , il doit y avoir au moins un élément de {} qui n'est pas présent dans le A . Puisqu'il y a aucuns éléments de de {} du tout, il n'y a aucun élément de {} qui n'est pas dans le A , nous menant conclure que chaque élément de {} est dans A et que {} est un sous-ensemble de A . Tout rapport qui commence le " ; pour chaque élément {} de " ; n'introduit aucune réclamation substantive ; c'est une vérité vide . Ceci est souvent paraphrasé comme " ; tout est vrai des éléments du set." vide ;

Théorie des ensembles axiomatique

Dans l'axiomatisation de de la théorie des ensembles connue sous le nom de théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel de , l'existence de l'ensemble vide est assurée par l'axiome de de l'ensemble vide . L'unicité de l'ensemble vide suit de l'axiome de de l'extensionality .

N'importe quel axiome qui énonce l'existence de réglé impliquera l'axiome de l'ensemble vide, using le schéma d'axiome de de la séparation . Par exemple, si le A est un ensemble puis le schéma d'axiome de la séparation permet la construction du B d'ensemble = { X dans A | X de ≠ du X }, qui peut être défini pour être l'ensemble vide.

Existe-t-il ou est-il nécessaire ?

Tandis que l'ensemble vide est une norme et un concept universellement admis dans les mathématiques, quelques philosophes et logiciens continuent à discuter sa signification et utilité.

Le Jonathan Lowe a discuté cela tandis que le " d'idée ; était assurément une borne limite importante dans l'histoire des mathématiques,… nous ne devrait pas supposer que son utilité dans le calcul dépend de sa dénoter réellement un certain object." ; Il n'est pas clair qu'une telle idée semble raisonnable. " ; Tout que nous sommes jamais informés au sujet de l'ensemble vide est que ce (1) est un ensemble, (2) n'a aucun membre, et (3) est unique parmi des ensembles en n'ayant aucun membre. Cependant, il y a un grand nombre de choses que « n'avoir aucun membre », dans le sense&mdash placer-théorique ; à savoir, tous non-ont placé. Il est parfaitement clair pourquoi ces choses n'ont aucun membre, parce que elles ne sont pas des ensembles. Ce qui est peu clair est comment il peut y a, uniquement parmi des ensembles, des réglés par qui n'ont aucun membre. Nous ne pouvons pas créer une telle entité dans l'existence par seul stipulation." ;

Dans le " ; Pour être est d'être la valeur… d'un " variable ; , le journal de de la philosophie , 1984 (réimprimé dans sa logique de de livre, logique et logique ), le en retard George Boolos a argué du fait que nous pouvons aller un long chemin juste par le mesurant pluriel au-dessus des individus, sans reifying place en tant qu'entités singulières ayant d'autres entités comme membres.

Dans un livre récent Tom McKay a déprécié le " ; singularist" ; prétention que des expressions normales using des pluriels peuvent être analysées using les substituts pluriels, tels que des signes pour des ensembles. Il plaide pour une anti-singularist théorie qui diffère de la théorie des ensembles dans cela là n'est aucun analogue de l'ensemble vide, et il y a juste une relation, parmi , qui est un analogue de l'adhésion et de la relation de sous-ensemble.

Opérations sur l'ensemble vide

Les opérations effectuées sur l'ensemble vide (comme ensemble de choses à actionner au moment) peuvent également être embrouillantes. (De telles opérations sont les opérations de Nullary .) Par exemple, la somme des éléments de l'ensemble vide est le zéro, mais le produit des éléments de l'ensemble vide est le un (voir le produit vide ). Ceci peut sembler impair, puisque là n'est aucun élément de l'ensemble vide, ainsi comment pourrait il importer s'ils soient ajoutés ou multipliés (puisque « ils » n'existent pas) ? Finalement, les résultats de ces opérations indiquent plus au sujet de l'opération en question qu'au sujet de l'ensemble vide. Par exemple, noter que zéro est l'élément d'identité pour l'addition, et on est l'élément d'identité pour la multiplication.

Limites

Puisque l'ensemble vide n'a aucun membre, quand on le considère comme sous-ensemble de n'importe quel ensemble commandé par , alors n'importe quel membre de celui a placé sera une limite supérieure et limite inférieure pour l'ensemble vide. Par exemple, une fois considéré comme sous-ensemble des vrais nombres, avec sa commande habituelle, représentée par la ligne de vrai nombre de , chaque vrai nombre est une limite supérieure et inférieure pour l'ensemble vide. Une fois considéré comme sous-ensemble du a prolongé les reals constitués en ajoutant le " deux ; numbers" ; ou " ; points" ; aux vrais nombres, à savoir infini négatif , $- \ infty dénotés \ ! \,$ qui est défini pour être inférieur chaque autre vrai nombre prolongé, et l'infini positif , a dénoté $+ \ infty \ ! \,$ qui est défini pour être plus grand que chaque autre vrai nombre prolongé, puis : $\ sup \ varnothing= \ minute de (\ {- \ infty, + \ infty \} \ tasse \ mathbb {R}) = \ infty,$

et $de \ FNI \ varnothing= \ (\ {- \ infty, + \ infty \} \ tasse \ mathbb {R}) =+ \ infty.$ maximum

C'est-à-dire, la moindre limite supérieure (sup ou Supremum ) de l'ensemble vide est infini négatif, alors que la plus grande limite inférieure (FNI ou Infimum ) est infini positif. Par analogie avec ce qui précède, dans le domaine des reals prolongés, l'infini négatif est l'élément d'identité pour les opérateurs de maximum et de supremum, alors que l'infini positif est l'élément d'identité pour le minimum et l'infimum.

L'ensemble vide et le zéro

On lui a cité précédemment que l'ensemble vide a les éléments zéro du , ou que sa cardinalité est zéro. Le raccordement entre les deux concepts va plus loin cependant : dans la définition Placer-théorétique de standard des nombres normaux , zéro est défini par comme ensemble vide.

Théorie de catégorie

Si le A est un ensemble, alors là existe avec précision un de la fonction f de {} au A , la fonction vide . En conséquence, l'ensemble vide est l'objet unique d'initiale de de la catégorie des ensembles et des fonctions.

L'ensemble vide peut être transformé en espace topologique dans juste à sens unique (en définissant l'ensemble vide pour être ouvert) ; cet espace topologique vide est l'objet initial unique dans la catégorie des espaces topologiques avec les cartes continues du .

Utilisation dans la linguistique

L'ensemble vide est également employé dans la linguistique et en particulier dans le langue-enseignement dénoter une forme normale (familièrement appelée également la forme de dictionnaire), qui est généralement le nominatif du singulier pour les langues avec les déclinaisons il est employée pour souligner que le rien devrait être ajouté au nom. Cependant, ce type d'ensemble vide est habituellement écrit avec les mêmes tailles comme les autres lettres et regarde ainsi beaucoup plutôt un ø que comme un ∅.

Le symbole réglé vide est parfois employé dans la syntaxe de langage naturel et la morphologie pour représenter les morphèmes qui ne sont pas prononcés.

La théorie des ensembles est généralement un outil de base dans la sémantique formelle , ainsi les jeux de d'ensemble vide un rôle important dans la linguistique à cet égard aussi bien.

Voir également

Le a habité réglé
Pour dénoter les espaces importants, voir également, ouvrent la boîte (␣) et le \ verbatim dans le latex .

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