Ensemble diophantine

Dans les mathématiques , un ensemble diophantine de j - les tuples des nombres entiers est un réglé S du pour lequel il y a un certain polynôme avec des coefficients de nombre entier f ( n ₁,…, j de _{de n , X 1,…, k} de _{de X ) de}

tels qu'un tuple

( n ₁,…, j de _{de n )}

des nombres entiers est dans le S si et seulement si là existent quelques nombres entiers (non négatifs) X ₁ de

,…, k de _{du X avec f ( n 1,…, j} de _{de n , X 1,…, k} de

de _{de X ) = 0.}

Une équation si polynôme au-dessus des nombres entiers s'appelle une équation diophantine . En d'autres termes, un ensemble diophantine est un ensemble de la forme $de$

\ {\, (n_1, \ points, n_j) : \ existe x_1 \, \ points \, \ existe le x_k \, f (n_1, \ pointille, n_j, x_1, \ pointille, x_k) =0 \, \}

là où le f est une fonction polynôme avec des coefficients de nombre entier.

Le théorème de Matiyasevich, édité en 1970, déclare qu'un ensemble de nombres entiers est diophantine si et seulement si c'est le périodiquement enumerable. Un S d'ensemble est périodiquement enumerable avec précision s'il y a un algorithme que, une fois données un nombre entier, par la suite les haltes si cette entrée est un membre du S et court autrement pour toujours. Ceci signifie que le concept de l'ensemble diophantine général, appartenant apparemment à la théorie des nombres , peut être pris plutôt en termes logiques ou récursion-théorétiques. C'est loin d'évident, cependant, et a représenté le point culminant de quelques décennies de travail.

Le théorème de Matiyasevich a effectivement réglé problème de Hilbert de le dixième. Il implique que problème de Hilbert le dixième est insoluble. Ce problème est le défi pour trouver un algorithme général qui peut décider si un système donné des équations diophantines a une solution parmi les nombres entiers. Le David Hilbert a posé le problème dans sa liste célébrée, de sa adresse 1900 au congrès international de des mathématiciens .

Exemples

L'équation bien connue de Pell de

$x^2-d\; (y+1)^2=1$ de

est un exemple d'une équation diophantine avec un paramètre. Comme a été longtemps connu, l'équation a une solution dans le $x\; d\text{'}inconnus,\; y$ avec précision quand le paramètre $d$ est 0 ou pas à angle droit parfait . Dans le contexte actuel, on indique que cette équation fournit une définition diophantine l'ensemble

{0.10,…}

se composant de 0 et les nombres normaux que qui ne sont pas à angle droit parfaits. D'autres exemples des définitions diophantines sont comme suit : le

le $a\; d\text{'}équation\; =\; (2x+3)\; y$ définit l'ensemble de nombres qui ne sont pas des puissances de 2.

le $a=\; d\text{'}équation\; (x+2)\; (y+2)$ définit l'ensemble de nombres qui ne sont pas les nombres premiers de le

l'équation $a+x=b$ définit l'ensemble de $de\; paires\; (a\; \backslash ,\; \backslash ,\; b)$ tels que $a\; \backslash \; le\; b.\; \backslash ,$

Le théorème de Matiyasevich

Le théorème de Matiyasevich indique : le

chaque ensemble enumerable périodiquement est diophantine.

Un S d'ensemble des nombres entiers est le périodiquement enumerable s'il y a un algorithme qui se comporte comme suit : Une fois donné comme entrée un n de nombre entier, si le n est un membre du S , alors l'algorithme s'arrête par la suite ; autrement il fonctionne pour toujours. C'est équivalent à dire il y a un algorithme qui court pour toujours et énumère les membres du S . Un S d'ensemble est le diophantine avec précision s'il y a un certain polynôme avec le f ( n , X ₁,…, k de coefficients de nombre entier de _{de X ) tels qu'un n de nombre entier est dans le S si et seulement si là existent quelques nombres entiers X 1,…, k} de _{du X tels que f ( n , X 1,…, k} de _{de X ) = 0.}

Il n'est pas difficile de voir que chaque ensemble diophantine est périodiquement enumerable : considérer un diophantine f ( n , X ₁,…, k d'équation de _{de X ) = 0. Maintenant nous faisons un algorithme pour lequel essaye simplement toutes les valeurs possibles n , X 1,…, k} de _{du X , dans l'ordre croissant de la somme de leurs valeurs absolues, et f ( n , X 1,…, k} du n d'impression chaque fois de _{de X ) = 0. Cet algorithme fonctionnera évidemment pour toujours et énumérera exactement le n pour quel f ( n , X 1,…, k} de _{de X ) = 0 a une solution dans le X 1,…, k} de _{du X .}

Technique de preuve

Le Yuri Matiyasevich a utilisé un tour ingénieux impliquant les nombres de Fibonacci afin de prouver que les solutions aux équations diophantines peuvent élever exponentiellement . Les premiers travaux à côté du Julia Robinson , du Martin Davis et du Hilary Putnam avaient prouvé que ceci suffit pour prouver que chaque ensemble enumerable périodiquement est diophantine.

Application problème de Hilbert au dixième

voient également :

du problème de Hilbert de dixième Problème de Hilbert le dixième demande un algorithme général décidant la solubilité des équations diophantines. La conjonction du théorème de Matiyasevich avec un résultat découvert dans les années 30 implique qu'une solution problème de Hilbert au dixième est impossible. Le résultat découvert dans les années 30 par plusieurs logiciens peut être énoncé en disant que quelques ensembles périodiquement enumerable sont non récurrents. Dans ce contexte, un S d'ensemble des nombres entiers s'appelle le " ; recursive" ; s'il y a un algorithme, dont une fois donné comme entrée un n de nombre entier, renvoie comme rendement un correct oui-ou-aucune réponse à la question si le n est un membre du S . Il suit qu'il y a des équations diophantines qui ne peuvent pas n'être résolues par aucun algorithme.

Structure logique

Ici un argument prenant exactement la forme d'un Syllogism aristotélicien est d'intérêt :

(lieux principaux) : Quelques ensembles périodiquement enumerable sont non récurrents.
(lieux mineurs) : Tous les ensembles périodiquement enumerable sont diophantines.
(conclusion) : Par conséquent quelques ensembles diophantines sont non récurrents.

La conclusion nécessite que le 10ème problème de Hilbert ne peut pas être résolu. La partie la plus difficile de l'argument est la preuve des lieux mineurs, c. le théorème de Matiyasevich, qui lui-même est beaucoup plus forte que l'insolubilité du dixième problème.

Améliorations

Le travail postérieur a prouvé que la question de la solubilité d'une équation diophantine est undecidable même si l'équation a seulement 9 variables de nombre normal (Matiyasevich, 1977) ou 11 variables de nombre entier ( Zhi Wei Sun , 1992).

D'autres applications

Le théorème de Matiyasevich a été depuis employé pour montrer que beaucoup de problèmes du calcul et des équations sont insolubles.

On peut également dériver la forme plus forte suivante théorème de l'imperfection de Gödel de du premier du résultat de Matiyasevich : le de correspondant à n'importe quelle axiomatisation donnée de la théorie des nombres, une peut explicitement construire une équation diophantine qui n'a aucune solution, mais telles que ce fait ne peut pas être prouvé dans l'axiomatisation donnée.

Apostilles

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