Ensemble dense

Dans la topologie et les secteurs relatifs des mathématiques , un A du sous-ensemble d'un X de l'espace topologique s'appelle le dense (dans X ) si, intuitivement, n'importe quel point dans le X peut être " ; well-approximated" ; par des points dans le A . Formellement, le A est le dense dans le X si pour n'importe quel de point X dans le X , n'importe quel voisinage du X contient au moins un point du A .

D'une manière equivalente, le A est dense dans le X si le sous-ensemble fermé seul par de X contenant le A est le X lui-même. Ceci peut également être exprimé en disant que la fermeture du A est le X , ou que le intérieur du complément du A est vide.

Densité dans les espaces métriques

Une définition alternative d'ensemble dense dans le cas des espaces métriques est la suivante : Le d'ensemble A dans un X de l'espace métrique est dense si chaque $x$ dans le X est une limite de d'un ordre des éléments dans le A . C'est-à-dire, le A est dense quand $de \ barre {A} = X,$

là où le $\ barre {A}$ dénote la fermeture du A . Si le $\ {U_n \} le$ est un ordre du dense ouvert place dans un espace métrique complet, le X , alors le _ de $\ cap^ {\ infty} {n=1} U_n$ est également dense dans le X . Ce fait permet à on de prouver facilement le théorème de catégorie de Baire de .

Exemples

chaque espace topologique est dense en soi.
Les vrais nombres avec la topologie habituelle ont les nombres raisonnables et les nombres irrationnels en tant que sous-ensembles denses.
Un espace métrique $M$ de est dense dans son $de l'accomplissement \ gamma M$ .

Voir également

ordre dense
Dense-dans-soi-même
L'espace séparable , un espace de avec un sous-ensemble dense comptable du
De ensemble dense , la notion opposée nulle part

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