Ensemble de Smith

Dans les systèmes de vote le Smith réglé est le plus petit ensemble non vide de candidats dans une élection particulière tels que chaque membre bat chaque autre candidat en dehors de l'ensemble dans par paires une élection. L'ensemble de Smith fournit un niveau de choix optimal pour des résultats d'élection. Systèmes de vote qui toujours élisent un candidat du passage réglé de Smith le critère de Smith et serait le " ; Smith-efficient" ;.

Un ensemble de candidats où chaque membre de l'ensemble bat par paires chaque membre dehors de l'ensemble est également connu pendant qu'un ensemble de domination .

Propriétés

Le Smith réglé toujours existe et est bien défini. Il y a seulement un plus petit ensemble de domination depuis les ensembles de domination sont nichés, non vide, et l'ensemble de candidats est fini.

l'ensemble de Smith peut avoir plus d'un candidat, l'un ou l'autre en raison par paires des cravates ou en raison des cycles, comme dans le paradoxe de Condorcet de .
L'ensemble de Smith contient, si eux existent, le gagnant de Condorcet de ou tous les gagnants faibles de Condorcet de
Le gagnant de Condorcet existe si et seulement si l'ensemble de Smith a seulement un candidat.

Comparaison réglée de Schwartz

Le Schwartz réglé est étroitement lié à et est toujours un sous-ensemble de l'ensemble de Smith. L'ensemble de Smith est plus grand si et seulement si un candidat dans l'ensemble de Schwartz a par paires une cravate avec un candidat qui n'est pas dans le Schwartz réglé.

L'ensemble de Smith peut être construit du Schwartz réglé en ajoutant à plusieurs reprises deux types de candidats jusqu'à ce que plus de tels candidats n'existent extérieur l'ensemble :
candidats qui ont par paires des cravates avec des candidats dans l'ensemble,
candidats qui ont battu un candidat dans l'ensemble. Noter que les candidats du deuxième type peuvent seulement exister après que des candidats du premier type aient pour être ajoutés.

Formulation alternative

N'importe quelle relation binaire R sur un ensemble A peut produire d'un ordre partiel normal sur les classes d'équivalence en du cycle de r de l'ensemble A, de sorte que xRy implique le &ge ; .

Quand R est le Battre-ou-Attache la relation que binaire sur l'ensemble de candidats définis par le de x Battre-ou-Attache y si et seulement si des battements de x par paires ou attache y, alors l'ordre partiel en résultant est le battre-ou-attachent l'ordre qui est un ordre de total de . L'ensemble de Smith est le l'élément que maximal du battre-ou-attachent l'ordre.

Algorithmes

L'ensemble de Smith peut être calculé avec l'algorithme de Floyd-Warshall de dans le ''' ( n ³) du ''' Θ de de temps. Il peut également calculer using une version de l'algorithme de Kosaraju de dans le ''' ( n ²) du ''' Θ de de temps.

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