Encastrement

le

pour d'autres usages de cette limite, voient (désambiguisation) incorporé par .

Dans les mathématiques , un enfonçant (ou le enfonçant ) est un exemple d'un certain objet mathématique contenu dans un autre exemple, tel qu'un groupe qui est un sous-groupe .

Topologie et géométrie

Topologie générale

Dans la topologie générale , un encastrement est une homéomorphie sur son image. Plus explicitement, un f de carte : Le de → du X Y entre le X des espaces topologiques et le Y est un encastrement si le f rapporte une homéomorphie entre le X et le f ( X ) (où le f ( X ) porte la topologie de sous-espace de héritée du Y ). Intuitivement puis, le de encastrement f : Le Y de → du X nous laisse traiter le X comme sous-espace du Y . Chaque encastrement est le injectif et le continu. Chaque carte qui est injective, continu et le ouvert ou clôturé par est un encastrement ; de quelque manière qu'il y a également des embeddings qui ne sont ni ouverts ni fermés. Ce dernier se produit si le f ( X ) d'image n'est ni un ensemble ouvert ni un ensemble fermé par dans le Y .

Pour un espace donné X, l'existence d'un → de encastrement Y de X est un invariable topologique du X. Ceci permet aux deux espaces d'être distingués si on peut être enfoncé dans un espace qui l'autre n'est pas.

Topologie différentielle

Dans la topologie différentielle : Laisser le M et le N être les tubulures douces et le $f\; :\; M\; \backslash \; à\; N$ soit une carte lisse, il s'appelle une immersion si le dérivé du f est partout injectif. Puis un enfonçant , ou un de encastrement lisse, est défini pour être une immersion qui est un encastrement dans le sens ci-dessus (c. homéomorphie sur son image).

En d'autres termes, un encastrement est le diffeomorphic à son image, et en particulier l'image d'un encastrement doit être un Submanifold . Une immersion est un encastrement de gens du pays (c. pour n'importe quel $x\; de\; point\; \backslash \; dans\; M$ il y a un $x\; devoisinage\backslash \; dans\; U\; \backslash \; sous-ensemble\; M$ tels que $f\; :\; U\; \backslash \; à\; N$ est un encastrement.)

Quand la tubulure de domaine est compacte, la notion d'un encastrement sans heurt est équivalente à celle d'une immersion injective.

Un cas important est le N = R ⁿ. L'intérêt ici est dans à quel point le grand n doit être, en termes de m de dimension du M . Le Whitney incluant le théorème déclare que le n = 2 le m est assez. Par exemple le vrai plan projectif de la dimension 2 exige le n = 4 pour un encastrement. Une immersion de cette surface est, cependant, possible dans le R ³, et un exemple est le &mdash extérieur du du garçon de ; ce qui a des individu-intersections. La surface romaine n'est pas une immersion pendant qu'elle contient des croix-chapeaux.

Un encastrement est le approprié s'il se comporte les frontières bonnes du W. : on exige le $f\; de\; carte\; :\; X\; \backslash \; rightarrow\; Y$ à être tel que
$f\; de$

(\ X) = f partiels (X) \ chapeau \ Y partiel, et
$f\; (X)$ est le transversal au $\backslash \; au\; Y$ partiel à n'importe quel point de $f\; (\backslash \; X)$ partiel.

La première condition est équivalente à avoir le $f\; (\backslash \; le\; X)\; \backslash \; subseteq\; partiel\; \backslash \; Y$ partiel et le $f\; (X\; \backslash \; setminus\; \backslash \; X)\; \backslash \; subseteq\; partiels\; Y\; \backslash \; setminus\; \backslash \; Y$ partiel. La deuxième condition, en général, indique que f (X) n'est pas tangente à la frontière du Y.

La géométrie Riemannian

Dans la géométrie Riemannian : Laissé ( M, g ) et ( N, h ) être les tubulures Riemannian Un de encastrement isométrique est un de encastrement doux f : N qui préserve le métrique dans le sens que le g est égal au retrait du h par le f , c. g de → du M = f * h . Explicitement, pour deux vecteurs quelconques de tangente $v\; de$

, W \ dans T_x (M)

nous avons $g\; de$

(v, w)=h (DF (v), DF (w)). \,

De façon analogue, l'immersion isométrique est une immersion entre les tubulures Riemannian qui préserve la métrique Riemannian.

D'une manière equivalente, un encastrement isométrique (immersion) est un encastrement sans heurt (immersion) qui préserve la longueur des courbes (cf. Nash de incluant théorème ).

Algèbre

Généralement pour un algébrique C , un encastrement de catégorie entre deux le C - le algébrique X de structures et le Y est un C - e de morphism : X→Y qui est injectif.

Théorie des champs

Dans la théorie des champs , un enfonçant d'un E du champ dans un F de champ est un σ de l'homomorphisme d'anneau de : F DE → DU E .

Le grain du σ est un idéal du E qui ne peut pas être le entier E de champ, en raison du σ de condition (1)=1. En outre, c'est une propriété bien connue des champs qui leurs seulement idéaux sont les idéaux zéro et du champ entier lui-même. Par conséquent, le grain est 0, ainsi tout encastrement des champs est un monomorphisme . D'ailleurs, le E est le isomorphe au σ de sous-champ ( E ) du F . Ceci justifie le nommé enfonçant pour un homomorphisme arbitraire des champs.

Théorie des modèles d'algèbre et universelle

Si le σ est une signature et $A,\; B$ sont les structures (également appelé les σ-algèbres dans algèbre universelle ou modèles dans théorie des modèles ), puis un $h\; de\; de\; \sigma -\; de\; carte\; :\; A\; \backslash \; à\; B$ est un de σ-encastrement IFF toutes les prises suivantes :
$h$ est le injectif,
pour chaque $f\; de\; symbole\; de\; fonction\; de$ n$-ary\; \backslash \; dans\; \backslash \; sigma$ et $a\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_n\; \backslash \; dans\; A^n,$ nous prenons le $h\; (f^A\; (a\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_n))=f^B\; (h\; (a\_1),\; \backslash \; ldots,\; h\; (a\_n))$,
pour chaque $R\; de\; symbole\; de\; relation\; de$ n$-ary\; \backslash \; dans\; \backslash \; sigma$ et $a\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_n\; \backslash \; dans\; A^n,$ nous prenons le $B\; de$ A\; \backslash \; modèles\; R\; (a\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_n)$IFF\; \backslash \; modèles\; R\; (h\; (a\_1),\; \backslash \; ldots,\; h\; (a\_n)).$

Ici $A\; \backslash \; modèle\; R\; (a\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_n)$ est modèle théorique notation équivalent à $(a\_1,\; \backslash \; ldots,)\; d\text{'}a\_n\; \backslash \; dans\; R^A$. Dans la théorie des modèles il y a également une notion plus forte du de encastrement élémentaire.

Théorie d'ordre et théorie de domaine

Dans la théorie d'ordre de , un enfonçant des ordres partiels est une fonction F de X à Y tels que :

$\backslash \; forall\; x\_1,\; x\_2\; \backslash \; dans\; X\; :\; x\_1\; \backslash \; leq\; x\_2\; \backslash \; Leftrightarrow\; F\; (x\_1)\; \backslash \; leq\; F\; (x\_2)$.

Dans la théorie de domaine de , une condition additionnelle est :

$\backslash \; forall\; y\; \backslash \; dans\; Y:\backslash \; \{x\; :\; F\; (x)\; \backslash \; leq\; y\; \backslash \}$ est dirigé par .

basé sur un article de FOLDOC, employé par la permission .

Les espaces métriques

Un $\backslash \; phi\; de\; cartographie\; :\; X\; \backslash \; à\; Y$ des espaces métriques s'appelle un enfonçant (avec déformation $C>0$) si

$L\; d\_X\; (x,\; y)\; \backslash \; leq\; d\_Y\; (\backslash \; phi\; (x),\; \backslash \; phi\; (y))\; \backslash \; leq\; CLd\_X\; (x,\; y)$ pour un certain $L>0$ constant.

Les espaces de Normed

Un cas spécial important est celui des espaces de Normed ; dans ce cas-ci il est normal de considérer des embeddings linéaires.

Une des questions fondamentales qui peuvent être posées sur un $fini-dimensionnel\; de\; l\text{'}espace\; de\; Normed\; (,\; de\; X\; \backslash |\; \backslash \; cdot\; \backslash |)$ est, ce qui est la dimension maximale $k$ tels que le $del\text{'}espace\; de\; Hilbert\backslash \; ell\_2^k$ peut être linéairement inclus dans $X$ avec la déformation constante ?

La réponse est donnée par le théorème de Dvoretzky de .

Abstrait ou catégoriquement

Dans la théorie de catégorie de , il n'est pas possible de définir un encastrement sans structures additionnelles sur la catégorie basse. Cependant, d'une façon générale, il est possible de définir quelles propriétés devraient satisfaire une classe des embeddings dans une catégorie donnée.

Dans tous les cas, la classe des embeddings devrait contenir tous les isomorphisms. Le plus souvent, des embeddings sont exigés pour être stables sous la composition et pour être le monic. D'autres conditions typiques sont : n'importe quel monomorphisme extrémal est un encastrement et les embeddings sont stables sous les retraits

Une propriété publique des embeddings est ce inclus Subobjects d'un objet, équivalent de pensée jusqu'à un isomorphisme, forment un ensemble commandé. Dans ce cas-ci, la catégorie serait bien actionnée en ce qui concerne la classe des embeddings. Ceci permet à on de définir de nouvelles structures locales sur la catégorie (telle qu'un opérateur de fermeture de ).

Le genre de structures sur une catégorie laissant définir des embeddings sont :
une structure en béton de la catégorie , embeddings sont alors définies comme morphisms avec la fonction fondamentale injective remplissant une condition d'initiality
un $dusystème\; de\; factorisationde\; (E,\; M)$, embeddings sont alors définis comme morphisms dans $M$ (dans ce cas-ci, la catégorie est souvent exigée pour être bien actionnée en ce qui concerne $M$).

Dans la plupart des cas, les catégories concrètes ont un $de\; structure\; defactorisation(E,\; M)$ où $M$ est la classe des embeddings définie par la structure en béton. C'est le cas de la majorité des exemples donnés en cet article.

Comme d'habitude dans la théorie de catégorie, il y a un concept duel du , connu sous le nom de quotient. Toutes les propriétés précédentes peuvent dualized.

Voir également

carte d'inclusion

.

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