Ellipse

Dans les mathématiques , une ellipse (du ἔλλειψις , littéralement de l'absence grecs de ) est le lieu de des points sur un avion pour lequel la somme des distances de n'importe quel point à deux points fixes est constante. Les deux points fixes s'appellent les foyers (pluriel de de foyer de de ). Une définition alternative serait qu'une ellipse est le chemin tracé dehors par un point dont la distance d'un point fixe, appelé le foyer, maintient un rapport constant plus moins d'un avec sa distance d'une ligne droite ne passant pas par le foyer, appelé le directrix.

Vue d'ensemble

Une ellipse est un type de section conique : si une surface conique est coupée avec un avion qui n'intersecte pas la base du cône, l'intersection du cône et de l'avion est une ellipse. Pour une preuve élémentaire courte de ceci, voir les sphères de Dandelin de .

Le algébriquement , une ellipse est une courbe dans l'avion cartésien définie près une équation du $A\; de\; de\; forme\; x^2\; +\; B\; de\; x/y\; +\; C\; y^2\; +\; D\; X\; +\; E\; y\; +\; F\; =\; 0\; \backslash ,$ tels que , où tous les coefficients sont vrais, et où plus d'une solution, définissant une paire de points (x, y) sur l'ellipse, existe.

Une ellipse peut être dessinée avec deux bornes, une boucle de corde, et un crayon. Les goupilles sont placées aux foyers et les goupilles et le crayon sont enfermés à l'intérieur de la corde. Le crayon est placé sur le papier à l'intérieur de la corde, ainsi la corde est tendue. La corde formera une triangle . Si le crayon est déplacé autour de sorte que la corde reste tendue, la somme des distances du crayon aux goupilles demeurera constante, satisfaisant la définition d'une ellipse.

La ligne le segment ab de , ce traverse les foyers et se termine sur l'ellipse, s'appelle l'axe principal . L'axe principal est le plus long segment qui peut être obtenu en joignant deux points sur l'ellipse. La ligne CD de segment, qui traverse le centre (à mi-chemin entre les foyers), le perpendiculaire à l'axe principal, et se termine sur l'ellipse, s'appelle l'axe mineur . L'axe de Semimajor de de (dénoté par le un dans la figure) est un demi- d'axe principal : la ligne segment du centre, par un foyer, et au bord de l'ellipse. De même, l'axe de semiminor de de (dénoté par b dans la figure) est un demi- d'axe mineur.

Si les deux foyers coïncident, alors l'ellipse est un cercle ; en d'autres termes, un cercle est un cas spécial d'une ellipse, une où l'excentricité est zéro.

Une ellipse centrée à l'origine peut être regardée comme image du cercle d'unité sous une carte linéaire liée à un $A\; de\; lamatrice\; symétrique=\; à\; un\; PDP^T$, $D$ étant une matrice diagonale avec les valeurs propres de $A$, qui sont vrai positif, le long de la diagonale principale, et $P$ étant une matrice unitaire de vrai ayant comme colonnes les vecteurs propres de $A$. Alors les haches de l'ellipse se trouveront le long des vecteurs propres de $A$, et les valeurs propres sont les longueurs du semimajor et des haches du semiminor .

Une ellipse peut être produite en multipliant les coordonnées du X de tous les points sur un cercle par une constante, sans changer les coordonnées du y . C'est équivalent au étirant le cercle dehors dans la x-direction.

Excentricité

La forme d'une ellipse peut être exprimée par un nombre appelé l'excentricité de l'ellipse, $par\; convention\; dénoté\; de\; \backslash ,\; \backslash \; varepsilon$ . L'excentricité est un nombre non négatif plus moins de 1 de et supérieur ou égal à 0. C'est la valeur du rapport constant de la distance d'un point sur une ellipse d'un foyer à cela du directrix correspondant. Une excentricité de 0 implique que les deux foyers occupent le même point et que l'ellipse est un cercle .

Pour une ellipse avec le d'axe de semimajor un b d'axe de et de semiminor, l'excentricité est = de $\backslash \; varepsilon\; de\; \backslash racine\; carrée\{1\; -\; \backslash \; frac\; \{b^2\}\; \{a^2\}\}$. Plus l'excentricité est grande, plus le rapport du un au b est grand, et donc plus l'ellipse est plus allongée.

Si le c égale la distance du centre à l'un ou l'autre foyer, puis = de $\backslash \; varepsilon\; de\; \backslash \; frac\; \{c\}\; \{a\}$. Le c de distance est connu comme excentricité linéaire de l'ellipse. La distance entre les foyers est le 2 par ε de .

Équations

Une ellipse avec un d'axe de semimajor un b d'axe de et de semiminor, centré au $de\; point\; (h,\; k)$ et avoir son axe principal parallèle au X - l'axe peut être spécifié par l'équation + de $\backslash \; frac\; de$

{^ (de x-h) {2}} {a^ {2}} \ frac {^ (de y-k) {2}} {b^ {2}} = 1 .

Cette ellipse peut être exprimée paramétriquement en tant que le $x\; de\; =\; h+a\; \backslash ,\; \backslash ,\; de\; cos\; t\; \backslash ,\; \backslash \; !$
de $y\; =\; k+b\; \backslash ,\; \backslash \; péché\; t\; \backslash ,\; \backslash \; !$ là où $t$ peut être limité au $-\; d\text{'}intervalle\; \backslash \; pi\; \backslash \; leq\; t\; \backslash \; leq\; \backslash \; pi\; \backslash ,\; \backslash \; !$.

Si $h$ = 0 et $k$ = 0 (c., si le centre est l'origine (0.0)), alors nous pouvons exprimer cette ellipse en coordonnées polaires par $r\; de\; d\text{'}équation\; =\; \backslash \; =\; du\; frac\; \{ab\}\; \{\backslash racinecarrée\; \{a^2\; \backslash \; sin^2\; \backslash \; thêta\; +\; b^2\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; thêta\}\}\; \backslash \; frac\; \{b\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{1\; \backslash \; varepsilon^2\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; thêta\}\}$ là où le $\backslash \; varepsilon$ est l'excentricité de l'ellipse.

Avec un foyer à l'origine, l'équation polaire de l'ellipse est = de $r\; de\; \backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; cdot\; (1\; \backslash \; varepsilon^\; \{2\})\}\{1\; -\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; cdot\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta\}$.

Une forme de Gauss-tracée par : $de\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{a\; \backslash \; cos\; \backslash \; bêta\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{a^2\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; beta+b^2\; \backslash \; sin^2\; \backslash \; bêta\}\},\; laissé\; \backslash \; frac\; \{b\; \backslash \; péché\; \backslash \; bêta\}\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{a^2\; \backslash \; cos^2\; \backslash \; beta+b^2\; \backslash \; sin^2\; \backslash \; bêta\}\}\; \backslash )$ droit a le $normal(\backslash \; cos\; \backslash \; bêta,\; \backslash \; péché\; \backslash \; bêta)$.

Rectum de Semi-latus et coordonnées polaires < ! -- Cette section est liée du rectum -->

Le rectum d'une ellipse, $l\; habituellement\; dénoté\; de\; Semi-latus\; de\; \backslash ,\; \backslash \; !$ (le minuscule L), est la distance d'un centre de l'ellipse à l'ellipse elle-même, mesuré suivant une ligne le perpendiculaire à l'axe principal. On le lie au $a\; \backslash ,\; \backslash \; !$ et $b\; \backslash ,\; \backslash \; !$ (les semi-haches de l'ellipse) par la formule $al=b^2\; \backslash ,\; \backslash \; !$ ou, si employant l'excentricité, $l=a\; \backslash \; cdot\; (1\; \backslash \; varepsilon^2)\; \backslash ,\; \backslash \; !$.

Dans polaire coordonnée , ellipse avec un foyer à origine et autre sur négatif X - l'axe est donné par le $r\; de\; d\text{'}équation\; \backslash \; cdot\; (1\; -\; \backslash \; varepsilon\; \backslash \; cdot\; \backslash \; cos\; \backslash \; thêta)\; =\; l\; \backslash ,\; \backslash \; !$

Une ellipse peut également être considérée comme une projection d'un cercle : un cercle sur un avion au φ d'angle à l'horizontal projeté verticalement sur un plan horizontal donne une ellipse de sin  d'excentricité ; φ, si le φ n'est pas 90°.

Secteur et circumfrence

Le secteur inclus par une ellipse est le πab de , où (en tant qu'avant) le un et le b sont les haches du semimajor et du semiminor de l'ellipse.

La circonférence $C$ de d'une ellipse est $4\; par\; E\; (\backslash \; varepsilon)$, là où la fonction $E$ est l'intégrale elliptique complet du en second lieu aimable.

La série infinie exact est : $C\; de$

= 2 \ pi a \ parti - \ ({1 \ plus de 2} \ droit) ^2 laissé \ varepsilon^2 - \ ({1 \ cdot 3 \ plus de 2 \ cdot 4} \ droit) ^2 laissé {\ varepsilon^4 \ plus de 3} - \ ({1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ plus de 2 \ cdot 4 \ cdot 6} \ droit) ^2 laissé {\ varepsilon^6 \ over5} - \ points} \ droit \ ! \,

Ou :

$C\; =\; 2\; \backslash \; pi\; a\; \backslash \; sum\_\; \{n=0\}\; ^\; \backslash \; infty\; \{\backslash \; laissé\; \backslash \; lbrace\; -\; \backslash \; laissé\; \backslash \; parti\; (\{2m-1\; \backslash \; plus\; de\; 2m\}\; \backslash )\; droit\; \backslash \; right^2\; \{\backslash \; varepsilon^\; \{2n\}\; \backslash \; au-dessus\; de\; 2n\; -\; 1\}\; \backslash \; droit\; \backslash \; rbrace\}$

Une bonne approximation est Ramanujan 's : $C\; de$

\ approximativement \ pi \ - laissé \ racine carrée {(3a+b) (a+3b)}\ droit \ ! \,

ce qui peut également être écrit comme : le $C\; de$

\ approximativement \ pi a \ sont partis de 3 (1+ \ racine carrée {1 \ varepsilon^2}) - \ racine carrée {(3+ \ racine carrée {1 \ varepsilon^2}) (1+3 \ racine carrée {1 \ varepsilon^2})} \ droit \ ! \,

Pour le cas spécial où l'axe mineur est moitié d'axe principal, nous obtenons : $C\; de$

\ approximativement \ pi a (9 - \ racine carrée {35}) /2 \ ! \, ou $C\; \backslash \; approximativement\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{2\}\; \backslash \; racine\; carré\; \{93\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\; 3\}\}\}\; \backslash \; racine\; carrée\; \{\backslash \; !\; \backslash ,$ (une meilleure approximation).

Plus généralement, la longueur d'arc d'une partie de la circonférence, en fonction de l'angle sous-tendu, est indiquée par une intégrale elliptique inachevé. La fonction inverse , l'angle de sous-tendu en fonction de la longueur d'arc, est donnée par les fonctions elliptiques .

Étirage et projection

Une ellipse peut être uniformément étirée le long de n'importe quel axe, dans ou hors du plan de l'ellipse, et ce sera toujours une ellipse. L'ellipse étirée aura différentes propriétés (peut-être excentricité changée et longueur semi-principale d'axe, par exemple), mais ce sera toujours une ellipse (ou une ellipse dégénérée : un cercle ou une ligne). De même, n'importe quelle projection oblique sur un avion a comme conséquence une section conique. Si la projection est une courbe fermée sur l'avion, alors la courbe est une ellipse ou une ellipse dégénérée.

Propriété de réflexion

Assumer un miroir elliptique avec une source lumineuse à un des foyers. Alors tous les rayons sont reflétés par à un &mdash unique ; le deuxième foyer. Puisqu'aucune autre courbe n'a une telle propriété, elle peut être employée comme définition alternative d'une ellipse. En cercle, toute la lumière serait réfléchie de nouveau au centre puisque toutes les tangentes sont le orthogonal au rayon.

Des ondes sonores sont reflétées d'une manière semblable, ainsi dans une grande salle elliptique une personne se tenant à un foyer peut entendre une personne se tenir à un autre puits de foyer remarquablement. Une telle pièce s'appelle une chambre de chuchotement de . Les exemples sont la collection statuaire nationale de Hall de au capitol des États-Unis de (où on dit que John Quincy Adams emploie cette propriété pour écouter clandestinement les sujets politiques), à un objet exposé sur le bruit au musée de de la Science et de l'industrie dans le Chicago , devant l'Université des Illinois de à la salle du l'Urbana-Champagne Foellinger, et également à une chambre latérale du palais de Charles V, dans le Alhambra .

Ellipses dans la physique

En XVIIème siècle , le Johannes Kepler a expliqué que le satellise le long dont les planètes voyagent autour du Sun sont des ellipses dans sa première loi de du mouvement planétaire . Plus tard, le Isaac Newton a expliqué ceci comme corollaire de sa loi de de l'attraction universelle universelle .

Plus généralement, dans le problème de la gravité de Deux-corps de , si les deux corps sont liés entre eux (c., toute l'énergie est négative), leurs orbites sont les ellipses semblables du avec le Barycenter commun étant l'un des centres de chaque ellipse. L'autre centre de l'une ou l'autre ellipse n'a aucune signification physique connue. Intéressant, l'orbite de l'un ou l'autre corps dans l'armature de référence de l'autre est également une ellipse, avec l'autre corps à un foyer.

La solution générale pour un oscillateur harmonique dans deux dimensions ou plus est également une ellipse, mais cette fois avec l'origine de la force située au centre de l'ellipse.

Dans le systeme optique, un ellipsoïde d'index de décrit l'indice de réfraction d'un matériel en fonction de la direction par ce matériel. Ceci s'applique seulement aux matériaux qui sont optiquement le anisotrope. Voir également la biréfringence .

Ellipses dans des infographies

Le dessin d'une ellipse est une primitive graphique graphique commune dans les bibliothèques standard d'affichage, telles que le QuickDraw api, l'interface de dispositif de graphiques de de Windows (GDI) et la base (WPF) de Macintosh de présentation de Windows de . Souvent de telles bibliothèques sont limitées et peuvent seulement dessiner une ellipse avec l'axe principal ou l'axe mineur horizontal. Le Jack Bresenham à IBM est le plus célèbre pour l'invention des 2D primitifs de schéma, y compris la ligne et le schéma de cercle, using seulement des opérations rapides de nombre entier telles que l'addition et la branche effectuent le peu. Une généralisation efficace pour dessiner des ellipses a été inventée en 1984 par le Jerry Van Aken (IEEE CG&A, septembre 1984).

Ce qui suit est un code de Javascript d'exemple employé pour calculer les points d'une ellipse.

lang=" de /**
Ceci fonctionne des retours une rangée contenant 36 points pour dessiner
ellipse.
* double} x Du @param X {
double} y Du @param y {
axe du @param a {double} Semimajor
axe du @param b {double} Semiminor
angle d'angle de @param double} {de l'ellipse
/ calculateEllipse de fonction (x, y, a, b, angle, étapes) { si (nulle de == d'étapes) étapes = 36 ; la variété se dirige = ;

variété bêta = - angle/180 * Math.PI ; sinbeta de variété = Math.sin (bêta) ; cosbeta de variété = Math.cos (bêta) ;

pour (variété i = 0 ; i < 360 ; i += 360/étapes) { alpha de variété = I/180 * Math.PI ; sinalpha de variété = Math.sin (alpha) ; cosalpha de variété = Math.cos (alpha) ;

variété X = x + (a * cosalpha * cosbeta - b * sinalpha * sinbeta) ; variété Y = y + (a * cosalpha * sinbeta + b * sinalpha * cosbeta) ;

points.push (nouvel OpenLayers.Point (X, Y)) ; }

points de retour ; }

Voir également

style=" de

.

Random links:

Moteur de H | La République de concepteurs | Réflexion (de l'informatique) | Université du Massachusetts Dartmouth | Université Wrexham de Yale | Elipse

© 2007-2009 encyclopediefrancaise.com; le texte de cet article est distribué sous les termes de GFDL; en.wikipedia.org