Efforts de Reynolds

Dans la dynamique des fluides , les efforts de Reynolds de (ou, le tenseur d'effort de de Reynolds ) est le tenseur d'effort dans un fluide dû aux fluctuations turbulentes aléatoires dans l'élan liquide. L'effort est obtenu à partir d'une moyenne (typiquement d'une certaine mode lâchement définie) au-dessus de ces fluctuations.

Pour illustrer, ici nous employons la notation cartésienne d'index de vecteur. Pour la simplicité, considérer un fluide incompressible :

Etant donné l'u_i liquide de $de\; vitesseen\; fonctionde\; la\; position\; et\; du\; temps,\; écrire\; la\; vitesse\; liquide\; moyenne\; comme$ \backslash \; overline\; \{u\_i\}$,\; et\; la\; fluctuation\; de\; vitesse\; est\; le$ u\text{'}\_\; i$.\; Puis\; =\; de$ u\_i\; \backslash \; overline\; \{u\_i\}\; +\; u\text{'}\_\; i$.$

Les règles conventionnelles d'ensemble de l'établissement d'une moyenne sont celle = de $\backslash \; overline\; de$

{\ barre a} \ barre un $\backslash \; overline\; de$

{a + b} = \ + de barre a \ barre b = de $\backslash \; overline\; de$

{a \ barre b} \ barre a \ barre b

On dédouble les équations d'Euler de ou le Navier-Charge les équations dans une moyenne et une cloison de fluctuation. On constate qu'en faisant la moyenne des équations liquides, un effort du côté droit apparaît du $\backslash \; du\; rho\; \backslash \; de\; overline\; de\; forme\; \{u\text{'}\_\; d\text{'}u\text{'}\_\; i\; j\}$. C'est l'effort de Reynolds, par convention écrit le $R\_\; \{ij\}$ :

$R\_\; \{\}\; d\text{'}ij\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; de\; stackrel\; \{\backslash \; mathrm\; \{def\}\}\; \{=\}\; \backslash \; rho\; \backslash \; overline\; \{u\text{'}\_\; d\text{'}u\text{'}\_\; i\; j\}$

La divergence de cet effort est la densité de force sur le fluide dû aux fluctuations turbulentes.

Par exemple, pour un incompressible, le fluide visqueux et newtonien, la continuité et des équations d'élan peuvent être écrits As $de$

\ frac {\ u_i partiel} {\ x_i partiel} =0,

et $de$

\ rho \ frac {Du_i} {décollement} = - \ + de frac {\ p partiel} {\ x_i partiel} \ MU \ est parti ( \ frac u_i {\ partial^2} {\ x_j partiel \ x_j partiel} \ droit),

là où $D/Dt$ est le dérivé lagrangien, = de $\backslash \; frac\; de$

{D} {décollement} \ frac {\ partiel} {\ t partiel} + u_i \ frac {\ partiel} {\ x_i partiel}.

Définissant les variables d'écoulement ci-dessus avec un composant temps-fait la moyenne et un composant de fluctuation, la continuité et les équations d'élan deviennent $\backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; parti\; de$

(\ overline {u_i} + u_i \ droits)}{\ x_i partiel} = 0,

et $\backslash \; rho\; de$

\ parti \ frac {\ partiel \ parti (\ overline {u_i} + u_i \ droits)}{\ partiel t} + \ parti (\ overline {u_j} + u_j \) droit \ frac {\ partiel \ parti (\ overline {u_i} + u_i \ droits)}{\ x_j partiel} \ droit = + - \ frac {\ partiel \ parti (\ barre {p} + p \ droit)} {\ x_i partiel} \ MU \ parti \ frac {\ partial^2 \ parti (\ overline {u_i} + u_i \ droits)}{\ x_j partiel \} partiel de x_j \ right.

Examinant une des limites du côté de main gauche de l'équation d'élan, on le voit cela

$\backslash \; parti\; (\backslash overline\{u\_j\}\; +\; u\_j\; \backslash )\; droit\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; parti\; (\backslash \; overline\; \{u\_i\}\; +\; u\_i\; \backslash \; droits)\}\{\backslash \; x\_j\; partiel\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; parti\; (\backslash \; overline\; \{u\_i\}\; +\; u\_i\; \backslash \; droit)\; \backslash \; est\; parti\; (\backslash \; overline\; \{u\_j\}\; +\; u\_j\; \backslash \; droits)\}\{\backslash \; partiel\; x\_j\}\; -\; \backslash \; parti\; (\backslash \; overline\; \{u\_i\}\; +\; u\_i\; \backslash )\; droit\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; parti\; (\backslash \; overline\; \{u\_j\}\; +\; u\_j\; \backslash \; droits)\}\{\backslash \; x\_j\; partiel\},$

là où la dernière période du côté droit disparaît en raison de l'équation de continuité. En conséquence, l'équation d'élan devient $\backslash \; rho\; de$

\ parti \ frac {\ partiel \ parti (\ overline {u_i} + u_i \ droits)}{\ partiel t} + \ frac {\ partiel \ parti (\ overline {u_i} + u_i \) droit \ laissé (\ overline {u_j} + u_j \ droit)} {\ x_j partiel} \ droit = + - \ frac {\ partiel \ parti (\ barre {p} + p \ droit)} {\ x_i partiel} \ MU \ parti \ frac {\ partial^2 \ parti (\ overline {u_i} + u_i \ droit)}{\ x_j partiel \} partiel de x_j \ right.

Les équations maintenant de continuité et d'élan seront ramenées à une moyenne. Les règles d'ensemble de faire la moyenne du besoin d'être utilisé, maintenant dans l'esprit que la moyenne de produits des quantités de fluctuation ne disparaîtra pas en général. Après l'établissement d'une moyenne, les équations de continuité et d'élan deviennent $de$

\ frac {\ partiel \ overline {u_i}} {\ x_i partiel} = 0,

et $de$

\ rho \ + laissé \ frac {\ partiel \ overline {u_i}} {\ t partiel} \ frac {\ partiel \ overline {} d'u_i \ overline {u_j}} {\ x_j partiel} + \ + de frac {\ partiel \ overline {u_i'} \ overline {u_j'}} {\ x_j partiel} \ droit = - \ frac {\ partiel \ barre {p}} {\ x_i partiel} \ MU \ frac {\ partial^2 \ overline {u_i}} {\ x_j partiel \ partiel x_j}.

La division de les deux côtés de l'équation d'élan par le $\backslash \; rho$ rapporte de
$\backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; overline\; de$

+ {u_i}} {\ t partiel} \ frac {\ partiel \ overline {} d'u_i \ overline {u_j}} {\ x_j partiel} + \ + de frac {\ partiel \ overline {u_i'} \ overline {u_j'}} {\ x_j partiel} = - \ frac {1} {\} de rho \ frac {\ partiel \ barre {p}} {\ x_i partiel} \ NU \ frac {\ partial^2 \ overline {u_i}} {\ x_j partiel \ x_j partiel}.

Using la règle à chaînes sur une des limites du côté de main gauche, on l'indique cela = de $\backslash \; frac\; de$

{\ partiel \ overline {} d'u_i \ overline {u_j}} {\ x_j partiel} \ + d'overline {u_j} \ frac {\ partiel \ overline {u_i}} {\ x_j partiel} \ overline {u_i} {\ frac {\ partiel \ overline {u_j}} {\ x_j partiel}},

là où la dernière période du côté droit disparaît en raison de l'équation ramenée à une moyenne de continuité. L'équation ramenée à une moyenne d'élan devient maintenant

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; overline\; \{u\_i\}\}\; \{\backslash \; t\; partiel\}\; +\; \backslash \; overline\; \{\}\; d\text{'}u\_j\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; overline\; \{u\_i\}\}\; \{\backslash \; x\_j\; partiel\}\; +\; \backslash \; +\; de\; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; overline\; \{u\_i\text{'}\}\; \backslash \; overline\; \{u\_j\text{'}\}\}\; \{\backslash \; x\_j\; partiel\}\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \}\; de\; rho\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; barre\; \{p\}\}\; \{\backslash \; x\_i\; partiel\}\; \backslash \; NU\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\; \backslash \; overline\; \{u\_i\}\}\; \{\backslash \; x\_j\; partiel\; \backslash \; x\_j\; partiel\}.$

Cette équation peut être réarrangée pour arriver à une forme bien connue,

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; overline\; \{u\_i\}\}\; \{\backslash \; t\; partiel\}\; +\; \backslash \; overline\; \{\}\; d\text{'}u\_j\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; overline\; \{u\_i\}\}\; \{\backslash \; x\_j\; partiel\}\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; rho\}\; \backslash \; +\; de\; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; barre\; \{p\}\}\; \{\backslash \; x\_i\; partiel\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; rho\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\}\; \{\backslash \; x\_j\; partiel\}\; \backslash \; (\backslash \; MU\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; barre\; \{u\_i\}\}\; \{\backslash \; x\_j\; partiel\}\; -\; laissé\; \backslash \; rho\; \backslash \; overline\; \{u\_j\text{'}\}\; d\text{'}u\_i\; \backslash \; droit),$

là où les efforts de Reynolds, $\backslash \; rho\; \backslash \; overline\; \{l\text{'}u\_i\; u\_j\text{'}\}$, sont rassemblés avec les limites traditionnelles d'effort de normale et de cisaillement, $\backslash \; MU\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; barre\; \{u\_i\}\}\; \{\backslash \; x\_j\; partiel\}$.

La question est alors, ce qui est la valeur de l'effort de Reynolds ? C'a été le sujet de la modélisation et de l'intérêt intenses, pour rudement le siècle passé. Le problème est identifié comme problème de fermeture, apparenté au problème de la fermeture dans la hiérarchie du BBGKY. Une équation de transport pour l'effort de Reynolds peut être trouvée en prenant le produit externe des équations liquides pour la vitesse de fluctuation, avec elle-même.

On constate que l'équation de transport pour l'effort de Reynolds inclut des limites avec des corrélations évoluées (spécifiquement, le $de\; corrélation\; \backslash \; overline\; triples\; \{v\text{'}\_\; de\; v\text{'}\_\; j\; de\; v\text{'}\_\; i\; k\}$) comme des corrélations avec des fluctuations de pression (c. élan porté par les ondes sonores). Une solution commune est de modeler ces limites par des prescriptions ad hoc simples.

Il devrait également noter que la théorie de l'effort de Reynolds est tout à fait analogue à la théorie de gaz cinétique, et en effet le tenseur d'effort dans un fluide à un point peut être vu pour être la moyenne d'ensemble de l'effort dû aux vitesses thermiques des molécules à un point donné dans un fluide. Ainsi, par analogie, l'effort de Reynolds est parfois considéré en tant que se composer d'une pièce isotrope de pression, nommé la pression turbulente, et une partie au loin-diagonale qui peut être considérée comme viscosité turbulente efficace.

En fait, alors que beaucoup d'effort a été déployé en développant de bons modèles pour l'effort de Reynolds dans un fluide, comme question pratique, en résolvant les équations liquides using des dynamiques des fluides informatiques, souvent les modèles de turbulence les plus simples prouvent le plus efficace. Une classe des modèles, étroitement connexe au concept de la viscosité turbulente, est soi-disant k de $\backslash \; modèle\; epsilon\; de$, basé sur des équations de transport couplées pour le $turbulent\; K$ de densité d'énergie (semblable à la pression turbulente, c. la trace de l'effort de Reynolds) et le $turbulent\; de\; taux\; de\; dissipation\; \backslash$ epsilon.

Typiquement, la moyenne est formellement définie comme moyenne d'ensemble comme dans la théorie de l'ensemble statistique . Cependant, comme question pratique, la moyenne peut également être considérée comme moyenne spatiale au-dessus d'un certain lengthscale, ou moyenne temporelle. Noter que, alors que formellement le raccordement entre de telles moyennes est justifié dans la mécanique statistique d'équilibre par le théorème ergodique , les mécanismes statistiques de la turbulence hydrodynamique est actuellement loin de comprendre. En fait, l'effort de Reynolds à n'importe quel point donné dans un fluide turbulent est sujet légèrement à l'interprétation, selon la façon dont on définit la moyenne.

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