Dualité logique

La dualité logique dans les mathématiques se rapporte à un certain nombre de généralisations de la dualité de Serre de , appliquant aux gerbes logiques , dans la géométrie algébrique et la théorie complexe de la tubulure , aussi bien que quelques aspects de l'algèbre commutative qui font partie de la théorie « locale ».

Les racines historiques de la théorie se situent dans l'idée du système linéaire d'Adjoint de d'un système linéaire de des diviseurs dans la géométrie algébrique classique. Ceci re-a été exprimé, avec l'arrivée de la théorie de gerbe de , d'une manière dont a rendu une analogie avec la dualité de Poincaré de plus évidente. Alors selon un principe général, le point de vue relatif de Grothendieck de , la théorie de Jean-Pierre Serre a été prolongé à un morphism approprié ; La dualité de Serre a été récupérée comme cas du morphism d'une variété projective non singulier du (ou de variété complète ) à un point. La théorie en résultant s'appelle maintenant parfois la dualité de Serre-Grothendieck-Verdier de ; et est un outil de base dans la géométrie algébrique. Un traitement de ces théorie, résidus de et dualité (1966) par le Robin Hartshorne , est devenu une référence accessible. Un avantage supplémentaire concret était le résidu de Grothendieck de .

Pour aller au delà des morphisms appropriés, quant aux versions de la dualité de Poincaré qui ne sont pas pour les tubulures fermées par exige une certaine version du concept de soutien de contrat de . Ceci a été adressé dans le SGA2 en termes de cohomology local , et la dualité locale de Grothendieck de ; et plus tard. La dualité 1992 de Greenlees-Mai fait partie de la considération continue de ce secteur.

Point de vue de functor d'Adjoint

Tandis que la dualité de Serre utilise une ligne le paquet ou la gerbe inversible comme gerbe dualizing , la théorie générale (elle s'avère) ne peut pas être tout à fait si simple. (Plus avec précision, elle peut, mais au coût de l'état de l'anneau de Gorenstein de .) À un tour caractéristique, Grothendieck a reformulé la dualité logique générale comme existence d'un functor de l'adjoint de droite de

$f^!\ ; ,$

le maintenant appelé a tordu l'image inverse , à une image directe plus élevée de avec le functor approprié de soutien

$Rf_!\ ;.$

Des images directes plus élevées de sont une forme sheafified du cohomology de gerbe de dans ce cas-ci avec l'appui (compact) approprié ; elles sont empaquetées vers le haut dans un functor simple au moyen de la formulation de la catégorie dérivée par de l'algèbre homologique (présentée avec ce cas à l'esprit). Il convient noter qu'au cas où f serait _{approprié du rf !} = rf _* est lui-même un bon adjoint, au du f de functor de l'image inverse de ; ^{&lowast ;}. Le théorème d'existence de pour l'image inverse twisted est le nom donné à la preuve de l'existence pour ce qui serait le Counit pour le Comonad du chercher-pour l'adjonction, à savoir une transformation normale

$Rf_!f^ ! \ à I \,$

ce qui est dénoté par le f (Hartshorne) ou &int de _{du TR ; f} (Verdier) de _{. C'est l'aspect de la théorie la plus proche de la signification classique, car la notation suggère, que la dualité soit définie par l'intégration.}

Pour être plus précis, du f ; ^! existe comme functor exact d'une catégorie dérivée des gerbes Quasi-logiques sur le Y , à la catégorie analogue sur le X , toutes les fois que f de

: &rarr du X ; Y

est un morphism projectif approprié ou quasi des arrangements noethériens, de la dimension finie de Krull de . (Verdier, papier de Bombay 1968 ; une approche élégante et plus générale a été trouvée par Amnon Neeman, en employant des méthodes du representability algébrique de Brown de de topologie notamment). De ceci le reste de la théorie peut être dérivé : les complexes dualizing retirent par l'intermédiaire du du f ; ^!, le symbole , la gerbe dualizing de résidu de Grothendieck de dans le cas de Cohen-Macaulay .

Afin d'obtenir un rapport dans une langue plus classique, mais toujours plus au loin que la dualité de Serre, utilisations de Hartshorne (la géométrie algébrique de ) le functor d'ext. de des gerbes ; c'est un genre de pierre de progression à la catégorie dérivée.

Le rapport classique de la dualité de Grothendieck pour un $f projectif ou approprié de morphism : X \ rightarrow Y$ d'arrangements noethériens de dimension finie, trouvés dans Hartshorne (résidus et dualité de ) est le quasi-isomorphisme suivant f_* Hom_X (F^ \ balle, f^ de $R de ! G^ \ balle) \ rightarrow R Hom_Y (f_* de R F^ \ balle, G^ \) de balle \$

pour de $F^.$ lié au-dessus du complexe de $O_X$ -modules avec quasi-logique de cohomology et de $G^.$ lié au-dessous du complexe de $O_Y$ -modules avec le cohomology logique. Ici les $Hom$ sont la gerbe de homomorphisms.

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