Dualité (mathématiques)

Dans les mathématiques , la dualité a de nombreuses significations. D'une façon générale, les dualités traduisent des concepts, des théorèmes ou des structures mathématiques en d'autres concepts, théorèmes ou structures, d'une mode linéaire. La dualité est caractéristiquement une opération de l'involution : si le duel d'A est B, alors le duel de B est A. Car les involutions ont parfois les points fixes , le duel d'A est parfois A lui-même.

Dualités géométriques

Dans un groupe de dualités, les concepts et les théorèmes d'une certaine théorie mathématique sont mécaniquement traduits en d'autres concepts et théorèmes de la même théorie. L'exemple prototypique ici est la dualité de dans la géométrie projective : donné tout théorème dans la géométrie projective plate, échangeant le " de limites ; point" ; et " ; line" ; partout résultats dans un nouveau, également valide théorème. D'autres exemples incluent :
Polyèdre duel
Graphique duel d'un graphique planaire
Problème duel dans la théorie d'optimisation
De Morgan duel dans la logique (et ses analogues, les quantifiers duels dans logique de premier ordre et logique modale )
dualité de dans la théorie d'ordre

Dualités de Contravariant

Dans un autre groupe de dualités, les objets d'une théorie sont traduits en objets d'une autre théorie et le Morphisms entre les objets dans la première théorie sont traduits en morphisms dans la deuxième théorie, mais avec la direction renversée. Using une dualité de ce type, chaque rapport dans la première théorie peut être traduit en " ; dual" ; rapport dans la deuxième théorie, où la direction de toutes les flèches doit être renversée. Pour la notion générale dans la théorie de catégorie de qui est à la base de ces dualités, voir le vis-à-vis de la catégorie . Les exemples incluent :
Les espaces duels dans l'algèbre linéaire
dualité entre les anneaux commutatifs et les variétés algébriques ; rivaliser avec la géométrie non commutative
Dualité de Pontryagin de , rapportant les groupes abéliens de certain à d'autres groupes abéliens et au fond à l'analyse de Fourier
Dualité , un analogue non commutatif de Tannaka-Krein de de la dualité de Pontryagin
Dualité en pierre , rapportant les algèbres booléennes aux espaces topologiques de certain * dualité entre les sous-modules et les modules de facteur de dans l'algèbre
dualité catégorique entre les modules projectifs et les modules injectifs dans l'algèbre homologique

Dualités analytiques

Dans l'analyse , fréquemment des problèmes sont résolus par le dépassement à la description duelle des fonctions et des opérateurs.
La transformée de Fourier commute entre les fonctions sur un espace de vecteur et son duel, et échange des opérations de multiplication et la convolution sur la correspondance caractère dualizing des espaces de fonction de son a beaucoup d'autres manifestations, par exemple, dans des descriptions alternatives des systèmes mécaniques du quantum en termes de représentations de coordonnée et d'élan.
Le Laplace transforment est semblable à la transformée de Fourier et échange les opérateurs de la multiplication par des polynômes avec les opérateurs différentiels linéaires constant de coefficient
La transformation de Legendre de est une dualité analytique importante qui commute entre les vitesses dans la mécanique lagrangienne et élans dans la mécanique hamiltonienne .

Algèbre booléenne

Dans l'algèbre booléenne un individu à 2 modes de fonctionnement a un ans tels que :

Si f (a₁,…, a_n) = ~f (~a₁,…, ~a_n) pour tout l'a₁,…, $d'a$ _n \ in {0.1}

La négation est individu duel.

dualités de Poincaré-modèle

Des théorèmes prouvant que certains objets d'intérêt sont les espaces duels (dans le sens de l'algèbre linéaire) d'autres objets d'intérêt s'appellent également souvent les dualités de . Exemples :
Dualité de Poincaré de
Dualité d'Alexandre de
Dualité de Serre de
Dualité logique

Voir également

(théorie de catégorie) duel
Nombres duels une algèbre associative de certain ; le " de limite ; dual" ; voici synonyme de double de , et est indépendant des notions données ci-dessus.
Graphique duel dans la théorie de graphique
Hodge duel
Dualité de (électrotechnique)
Dualité de Lagrange de
Code duel

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