Double pendule

En horométrie , un double pendule est un système de deux pendules simples sur un support commun qui se déplacent antiphase. Dans les mathématiques , dans le secteur des systèmes dynamiques , un double pendule est un pendule avec un autre pendule attaché à son extrémité, et est un système physique simple qui montre le comportement dynamique riche. Le mouvement d'un double pendule est régi par un ensemble d'équations ordinaires couplées au-dessus d'un certain mouvement de l'énergie son est le chaotique. Voir également le pendule de (mathématiques) .

Vue d'ensemble

Le double pendule se compose de deux tiges minces (moment de d'inertie , de

I= \ de frac {1} {12} M \ ell^2

) reliées à un pivot et à l'extrémité d'une tige suspendue d'un pivot. Il est normal de définir les coordonnées pour être l'angle entre chaque tige et la verticale. Celles-ci sont dénotées par θ₁ et θ₂. La position du centre de la masse des deux tiges peut être écrite en termes de ces coordonnées. Si on assume que l'origine du système du même rang cartésien est au moment où le contact du mur et le premier pendule, alors le centre de la masse est localisé à :

$x_1 = \ frac {\ aune} {2} \ péché \ theta_1,$

$x_2 = \ aune \ parti (\ péché \ theta_1 + \ frac {1} {2} \ péché \ theta_2 \ droit),$

$y_1 = - \ frac {\ aune} {2} \ cos \ theta_1$ et $de y_2 = - \ aune \ parti (\ cos \ theta_1 + \ frac {1} {2} \ cos \ theta_2 \ droit).$

C'est assez d'information pour écrire le lagrangien.

Lagrangien

Le lagrangien est donné par le $de L = \ frac {1} {2} m \ a laissé (v_1^2 + v_2^2 \ droits) + \ frac {1} {2} I \ est parti ({\ point \ theta_1} ^2 + {\ point \ theta_2} ^2 \ droit) - m g \ est parti (y_1 + y_2 \ droit)$ là où la première limite est l'énergie cinétique des corps, la deuxième limite est l'énergie cinétique du au centre de la masse de chaque tige, et la dernière période est l'énergie potentielle des corps dans un champ gravitationnel uniforme.

La substitution des coordonnées ci-dessus et le réarrangement de l'équation donne le $\ theta_2} ^2 + 4 {\ point \ theta_1} ^2 + 3 {\ point \ theta_1} {\ point \ theta_2} \ cos (\ theta_1- \ theta_2) \ + droit \ frac {1} {2} m g \ aune \ est parti (3 \ cos \ theta_1 + \ cos \ theta_2 \ droit).$

Il y a seulement une quantité conservée (l'énergie), et aucuns élans conservés . Les deux élans peuvent être écrits As

$el} {\ partiel {\ point \ theta_1}} = \ frac {1} {6} m \ ell^2 \ est parti 8 {\ point \ theta_1} + 3 {\ point \ theta_2} \ cos (\ theta_1- \ theta_2) \ droit$ et $de p_ {\ theta_2} = \ frac {\ L partiel} {\ partiel {\ point \ theta_2}} = \ frac {1} {6} m \ ell^2 \ est parti 2 {\ point \ theta_2} + 3 {\ point \ theta_1} \ cos (\ theta_1- \ theta_2) \ droit.$

Ces expressions peuvent être inversées pour obtenir

${\ point \ theta_1} = \ frac {6} {m \ ell^2} \ frac {p_ 2 {\ theta_1} - p_ de 3 \ cos (\ theta_1- \ theta_2) {\ theta_2}} {16 - 9 \ cos^2 (\ theta_1- \ theta_2)}$ et $de {\ point \ theta_2} = \ frac {6} {m \ ell^2} \ frac {p_ 8 {\ theta_2} - p_ de 3 \ cos (\ theta_1- \ theta_2) {\ theta_1}} {16 - 9 \ cos^2 (\ theta_1- \ theta_2)}.$

Les équations du mouvement restantes sont écrites As

${\ point p_ {\ theta_1}} = \ frac {\ L partiel} {\ partiel \ theta_1} = - \ frac {1} {2} m \ ell^2 \ est parti {\ point \ theta_1} {\ point \ theta_2} \ péché (\ theta_1- \ theta_2) + 3 \ frac {g} {\} d'aune \ péché \ theta_1 \ droit$

${\ p_ de point {\ theta_2}} = \ frac {\ L partiel} {\ partiel \ theta_2} = - \ frac {1} {2} m \ ell^2 \ est parti - {\ point \ theta_1} {\ point \ theta_2} \ péché (\ theta_1- \ theta_2) + \ frac {g} {\} d'aune \ péché \ theta_2 \ droit.$

Mouvement chaotique

Le double pendule subit le mouvement chaotique , et montre une dépendance sensible à l'égard les états d'initiale de . L'image vers la droite montre la quantité de temps écoulé avant le " de pendule ; renverse l'over" ; , en fonction des conditions initiales. Ici, la valeur initiale de θ₁ s'étend le long du X - direction, de &minus ; 3 à 3. La valeur initiale θ₂ s'étend le long du y - direction, de &minus ; 3 à 3. La couleur de chaque Pixel indique si l'un ou l'autre pendule renverse dans $10 \ racine carrée {g \ aune \}$ (vert), à moins de 100 (rouge), de 1000 (pourpre) ou de 10000 (bleu). Les conditions initiales qui ne mènent pas à une chiquenaude dans ${g \ aune \}$ sont blanc tracé.

La frontière de la région blanche centrale est définie en partie par des économies d'énergie avec la courbe suivante :

$3 \ cos \ theta_1 + \ cos \ theta_2 = 2. \,$

Dans la région définie par cette courbe, c'est si

$3 \ cos \ theta_1 + \ cos \ theta_2 > 2, \,$

alors il est impossible énergétiquement pour que l'un ou l'autre pendule renverse. En dehors de cette région, le pendule peut renverser, mais c'est une question complexe pour déterminer quand il renversera.

Voir également

Double ressort

Random links: