Domaine intégral

Dans l'algèbre d'abrégé sur , une branche des mathématiques , un domaine intégral est un anneau commutatif avec une identité additive 0 et une identité multiplicative 1 tels que 0 ≠ 1, dans lequel le produit de deux éléments différents de zéro quelconques est toujours différent de zéro (la propriété de Zéro-produit de ) ; c'est-à-dire, il n'y a aucun domaine intégral des diviseurs du zéro sont des généralisations des nombres entiers et fournissent un arrangement normal pour étudier la divisibilité. Un domaine intégral est un domaine commutatif .

Alternativement et d'une manière equivalente, un domaine intégral peut être défini comme anneau commutatif en lequel le nul idéal {0} est le principal, ou comme un Subring d'un champ . En plus, un anneau commutatif avec le R d'unité est un de domaine intégral si et seulement si pour chaque différent de zéro r d'élément de l'anneau, le R - la carte de module induite par multiplication par le r est le injectif (un tel r s'appellent le régulier).

Regardant l'anneau commutatif fondamental comme catégorie de Preadditive de , le critère ci-dessus sur les diviseurs zéro est équivalent à la condition que chaque différent de zéro Morphism est un monomorphisme (par conséquent aussi un Epimorphism , en se servant de la structure bilinéaire sur l'ensemble de morphisms).

Le ≠ 1 de la condition 0 sert seulement à exclure l'anneau insignifiant {0} de .

Quelques sources parlent des domaines intégraux non commutatifs, mais nous réservons le domaine intégral de limite pour la forme commutative et employons le domaine pour la forme non commutative.

Quelques genres spécifiques de domaines intégraux sont donnés avec la chaîne suivante des inclusions de classe de :
&sup des domaines intégraux de

; &sup de des domaines de factorisation unique de de ; &sup des domaines d'idéal principal de de ; &sup de des domaines euclidiens de ; le de met en place

Exemples

l'exemple prototypique est le Z d'anneau de tous les nombres entiers

chaque champ est un domaine intégral. Réciproquement, chaque domaine intégral d'Artinian est un champ. En particulier, tous les domaines intégraux finis sont les champs finis que l'anneau du Z de nombres entiers fournit un exemple d'un domaine intégral infini non-Artinian qui n'est pas un champ, possédant des ordres décroissants infinis des idéaux comme :

$\ mathbf {} de Z \ ; \ supset \ ; 2 \ mathbf {} de Z \ ; \ supset \ ; \ ldots \ ; \ supset \ ; 2^n \ mathbf {} de Z \ ; \ supset \ ; 2^ {n+1} \ mathbf {} de Z \ ; \ supset \ ; \ cdots$
Les anneaux de

s polynômes sont des domaines intégraux si les coefficients viennent d'un domaine intégral. Par exemple, le Z d'anneau de tous les polynômes dans une variable avec des coefficients de nombre entier est un domaine intégral ; est ainsi le R d'anneau de tous les polynômes dans deux variables avec de vrais coefficients du .

pour chaque n de nombre entier > 1, l'ensemble de tous les vrais nombres du de forme + b &radic ; le n avec le un et les nombres entiers du b est subring du R et par conséquent d'un domaine intégral.

pour chaque n de nombre entier > 0 l'ensemble de tous les nombres complexes du de forme + Bi de &radic ; le n avec le un et des nombres entiers du b est subring du C et par conséquent d'un domaine intégral. Dans le n de cas = 1 ce domaine intégral s'appelle les nombres entiers gaussiens

les nombres entiers p-adic .

si le U est un sous-ensemble ouvert de relié par du C de l'avion de nombre complexe de , puis l'anneau H ( U ) se composant de tout le holoèdre f des fonctions : Le C de → du U est un domaine intégral. Le même est vrai pour des anneaux des fonctions analytiques sur les sous-ensembles ouverts reliés de tubulures analytiques

si le R est un anneau commutatif et le P est un idéal dans le R , puis le R/P de l'anneau de facteur est un domaine intégral si et seulement si le P est une perfection idéal de . En outre, le R est un domaine intégral si et seulement si l'idéal (0) est un idéal principal.
L'anneau local de militaire de carrière de du

A est un domaine intégral. Un théorème profond de Auslander - Buchsbaum et Nagata des années 50 réclame que, en fait, un anneau local régulier est un UFD .

Éléments de divisibilité, principaux et irréductibles < ! -- Cette section est liée de la perfection -->

Si le un et le b sont des éléments du R de domaine intégral, nous disons que le les clivages b ou le a est un diviseur de b ou le b est un multiple d'un si et seulement si là existe un d'élément X dans le R tels que hache de = b .

Si le un divise le b et le b divise le c , alors un c de clivages de . Si le un divise le b , alors des clivages d'un chaque multiple du b . Si le un divise deux éléments, alors le un divise également leur somme et différence.

Les éléments qui divisent 1 s'appellent les unités 'du de R ; ce sont avec précision les éléments inversibles dans le de R. Les unités divisent tous autres éléments.

Si un divise le de b et de b divise un , alors nous disons que un et de b sont d'éléments associé par . un et de b sont associés si et seulement si là existe un de l'unité u tels que d'Au de = de b.

Si le de q est une non-unité, nous disons que le de q est un d'élément irréductible de si le de q ne peut pas être écrit comme produit de deux non-unités.

Si le de p est une non-unité différente de zéro, nous disons que le de p est un élément principal si, toutes les fois que le de p divise un du produit ab, alors les clivages p un ou de p divise le de b.

Ceci généralise la définition ordinaire du nombre premier dans le Z d'anneau, sauf qu'il tient compte des éléments principaux négatifs. Si le de p est un élément principal, alors l'idéal principal ( de p) produit par le de p est un idéal principal. Chaque élément principal est irréductible (ici, pour la première fois, nous avons besoin du de R pour être un domaine intégral), mais l'inverse n'est pas vraie dans tous les domaines intégraux (il est vrai dans les domaines de factorisation unique cependant).

Propriétés

a laissé le R être un domaine intégral. Il y a alors un S de domaine intégral tels que &sub du R ; Le S et le S a un élément qui est transcendantal au-dessus du R .
Les prises de propriété d'annulation dans des domaines intégraux. C'est-à-dire, laisser le un , le b , et le c appartiennent à un domaine intégral. Si un 0 de ≠ de et ab = b à C. Une autre manière d'énoncer ceci est que la hache de du $du X de fonction \ mapsto$ est injective pour n'importe quel différent de zéro par dans le domaine. (Rappel d'algèbre de vecteur qu'un T de la transformation est injectif si et seulement si son espace nul se compose de 0 seul. Il est donc possible d'avoir un module anneau-isomorphe avec le &mdash non-injectif du T ; si l'anneau n'est pas un domaine intégral.)

Champ des fractions

Si le R est un domaine intégral donné, le plus petit champ contenant le R en tant que subring est uniquement déterminé jusqu'à l'isomorphisme et s'appelle le champ de des fractions ou le champ de quotient de du R . Il peut considérer en tant que se composer de tout le de fractions un / b avec le un et le b dans le ≠ 0, modulo du R et du b une relation d'équivalence appropriée. Le champ des fractions des nombres entiers est le champ des nombres raisonnables que le champ des fractions d'un champ est le isomorphe au champ lui-même.

La géométrie algébrique

Dans la géométrie algébrique , les domaines intégraux correspondent aux variétés irréductibles du . Ils font donner un point générique unique, par l'idéal nul. Des domaines intégraux sont également caractérisés par la condition qu'ils sont et irréductibles réduits par . L'ancien état s'assure que le nilradical de l'anneau est zéro, de sorte que l'intersection de tout l'anneau minimal amorce soit zéro. Le dernier état est que l'anneau ont seulement une perfection minimale. Il suit que l'idéal minimal unique d'un anneau réduit et irréductible est l'idéal nul, par conséquent de tels anneaux sont des domaines intégraux. L'inverse est claire : Aucun domaine intégral ne peut avoir les éléments nilpotent, et l'idéal nul est l'idéal minimal unique.

Caractéristique et homomorphisms

Le caractéristique de chaque domaine intégral est zéro ou un nombre premier .

Si le R est un domaine intégral avec le caractéristique principal p , puis le f ( X ) = ^{du X ; le p} définit un injectif f de l'homomorphisme d'anneau de du : R , l'endomorphism de → du R de Frobenius de .

Voir également

Domaines intégraux - lien de de wikibook
propriété de Zéro-produit de

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