Domaine fondamental
Dans la géométrie , le domaine fondamental d'un groupe de symétrie de d'un objet ou le modèle est une partie du modèle, aussi petite que possible, qui, basé sur la symétrie , détermine l'objet ou le modèle entier. L'ensemble d'orbites du groupe de symétrie définissent une division de l'espace. Chaque cloison se compose des points qui, basés sur la symétrie, ont les propriétés égales, par exemple, pour un 2D modèle de couleur, ont la même couleur. Un domaine fondamental est un ensemble de représentants de ces orbites. Ce n'est pas unique, mais typiquement une partie reliée commode de l'espace est choisie.
Exemples dans 3D :
pour le n - rotation de pli : une orbite est un ensemble de points du n autour de l'axe, ou une unique sur l'axe ; le domaine fondamental est un secteur
pour la réflexion dans un avion : une orbite est un ensemble de 2 points, un de chaque côté de l'avion, ou une unique dans l'avion ; le domaine fondamental est un demi-espace lié en cet avion
pour l'inversion à un point : une orbite est un ensemble de 2 points, un de chaque côté du centre, excepté une orbite, comprenant le centre seulement ; le domaine fondamental est un demi-espace lié en n'importe quel avion par le centre
pour la rotation 180° au sujet d'une ligne : une orbite est un ensemble de 2 points vis-à-vis l'un l'autre en ce qui concerne l'axe, ou une unique sur l'axe ; le domaine fondamental est un demi-espace lié en n'importe quel avion par la ligne
pour la symétrie de translation discret dans une direction : les orbites sont traduit d'un trellis 1D dans la direction du vecteur de traduction ; le domaine fondamental est une galette infinie
pour la symétrie de translation discrète dans deux directions : les orbites sont traduit d'un 2D trellis dans l'avion par les vecteurs de traduction ; le domaine fondamental est une barre infinie avec la section transversale parallélogrammatique du
pour la symétrie de translation discrète dans trois directions : les orbites sont traduit du trellis ; le domaine fondamental est une cellule élémentaire qui est par exemple un parallélépipède , ou une cellule de Wigner-Seitz de , également appelée la cellule de Voronoi de .
Dans le cas de la symétrie de translation combinée avec d'autres symétries, le domaine fondamental fait partie de la cellule élémentaire. Par exemple, parce que papier peint de groupe que le domaine fondamental est un facteur 1, 2, 3, 4, 6, 8, ou 12 plus petits que la cellule élémentaire.
Plus généralement, dans les mathématiques , données un &Gamma du trellis ; dans un G du groupe de Lie , un domaine fondamental est un D d'ensemble des représentants pour le Cosets du &Gamma ; dans le G , celui est également un poli réglé topologiquement, dans une certaine mesure qui peut être rendu précis dans une de plusieurs manières. Un domaine fondamental contient toujours un réglé U du militaire de carrière libre , un ensemble ouvert entré autour par le G dans le disjoignent des copies de , et presque aussi bon que le D en représentant les cosets. Un état typique est que le D est le presque par ensemble ouvert, dans le sens que le D est la différence symétrique d'un ensemble ouvert dans le G avec un ensemble de la mesure zéro , pour la mesure de Haar de sur le G .
Par exemple, quand le G est l'espace euclidien du n de dimension, et &Gamma ; est le n , le G /&Gamma de du Z de quotient ; est le n - le tore . Un domaine fondamental (également appelé le la région fondamentale ) ici peut être pris pour être un Ce diagramme célèbre apparaît dans tous les livres classiques sur les fonctions modulaires elliptiques (il de était probablement bien connu au gauss du C., qui a traité des domaines fondamentaux sous le couvert de la théorie de réduction de des formes d'équation quadratique.) Ici, chaque région triangulaire (liée par les lignes bleues) est un militaire de carrière réglé de librement de l'action du &Gamma ; sur le H . Les frontières (les lignes bleues) ne sont pas une partie des ensembles réguliers libres. Pour construire un domaine fondamental avec du H /&Gamma ; , on doit également considérer comment assigner des points sur la frontière, faisant attention pas double-comptent de tels points. Ainsi, le militaire de carrière libre réglé dans cet exemple est le Le domaine fondamental est établi en ajoutant la frontière du côté gauche plus la moitié de l'arc sur le fond : le Le choix dont des points de la frontière à inclure car une partie du domaine fondamental est arbitraire, et varie de l'auteur à l'auteur. La difficulté de noyau de définir le domaine fondamental se trouve pas tellement avec la définition du intrinsèquement d'ensemble, mais plutôt avec la façon traiter des intégrales au-dessus du domaine fondamental, en intégrant des fonctions avec des poteaux et des zéros sur la frontière du domaine. .
Exemple
L'existence et la description d'un domaine fondamental est en général quelque chose qui exige du travail soigneux d'établir. Le diagramme vers la droite montre une partie de la construction du domaine fondamental pour l'action du &Gamma modulaire du groupe ; sur le haut de - demi - plat H de . Voir également
Cellule de Voronoi de
Militaire de carrière libre réglé de
Polygone fondamental
Zone de Brillouin
Paires fondamentales de de périodes
Produit intérieur de Petersson de
Voisinage de tranchant de Random links: Organization anaérobie | 108 (nombre) | Canalisation de graphiques | Burton J. Hendrick | Wessi | Dominio_fundamental