Domaine euclidien

Dans l'algèbre d'abrégé sur , un domaine euclidien (également appelé un l'anneau euclidien ) est un type d'anneau dans lequel l'algorithme euclidien peut être employé.

Définition

Formellement, un domaine euclidien est un du domaine intégral D sur lesquels peut définir un v de la fonction traçant les éléments différents de zéro du D aux nombres entiers non négatifs qui satisfait la propriété suivante de division-avec-reste :

si le un et le b sont dans le D et le b est différent de zéro, puis là sont le q et le r dans le D tels que = Bq + r et le r = 0 ou le v ( r ) < le v ( b ).

Le v de fonction s'appelle une évaluation de ou la norme de ou la mesure de et le point clé ici est que le r de reste a le v - classer plus petit que le v - taille du b de diviseur. L'opération traçant ( un , b ) ( q , r ) s'appelle la division euclidienne , tandis que q s'appelle le quotient euclidien .

Presque tous les manuels d'algèbre qui discutent des domaines euclidiens incluent la propriété supplémentaire suivante dans la définition :

pour tout le différent de zéro un et b dans le D , &le du v ( un ) ; v ( ab ).

Cette propriété ne doit pas être assumée puisqu'elle n'est pas nécessaire pour prouver les faits les plus fondamentaux sur des domaines euclidiens (voir ci-dessous). Cependant, cette inégalité peut toujours être arrangée pour se produire en changeant le choix du v , comme suit : si ( D , v ) est un domaine euclidien comme donné au-dessus puis du W de fonction défini sur les éléments différents de zéro du D par le W ( un ) = moindre valeur du v (hache de ) pendant que le X court plus de les éléments différents de zéro du D également fait au D un domaine euclidien selon la définition ci-dessus et il satisfait le &le du W ( un ) ; W ( ab ) pour tout le différent de zéro un et b dans le D .

Exemples

Les exemples des domaines euclidiens incluent :
Le Z , l'anneau des nombres entiers définissent le v ( n ) = | n |, la valeur absolue du n .
Le Z , l'anneau des nombres entiers gaussiens définissent le v ( + Bi de ) = un b ², la norme de ²+ du gaussien de nombre entier + Bi de .
Z (où &omega ; est une racine cubique de 1), l'anneau des nombres entiers d'Eisenstein de que définissent le v ( + &omega de b ;) = un ab de ²- + b ², la norme du de nombre entier d'Eisenstein + &omega du b ;.
K , l'anneau de des polynômes au-dessus d'un K du champ . Pour chaque polynôme différent de zéro f , définir le v ( f ) pour être le degré de f .
, l'anneau du '' X '' de du K de la série entière formelle au-dessus du K de champ. Pour chaque différent de zéro f de série entière, définir le v ( f ) comme degré de la plus petite puissance du X se produisant dans le f .
Tout anneau discret d'évaluation de . Définir le v ( X ) pour être la puissance la plus élevée du idéal maximal M contenant le X (d'une manière equivalente, à la puissance du générateur de l'idéal maximal que le X est associé par ). du le '' X '' de du K de cas est un cas spécial de ce qui précède. Définir le v ( X ) = 1 pour tout le différent de zéro X .

Les exemples des anneaux de série entière de polynôme et dans une variable sont la raison pour laquelle le de fonction v dans la définition d'un domaine euclidien n'est pas supposé pour être défini à 0.

Propriétés

Les propriétés suivantes des domaines euclidiens n'exigent pas le &le du v ( d'inégalité un ) ; v ( ab ) :

l'algorithme euclidien prolongé par s'applique (qui est la source de domaine euclidien nommé).

chaque domaine euclidien est un domaine d'idéal principal . En fait, si le I est un différent de zéro idéal d'un D de domaine euclidien et le un est choisi pour réduire au minimum le v ( un ) au-dessus de tous les éléments différents de zéro du I , puis I = annonce de .

les principaux idéaux des éléments avec l'évaluation euclidienne minimale sont l'anneau entier, c. ils sont les unités . (Si le &le de v ( d'inégalité un ) ; le v ( ab ) est assumé, toutes les unités ont cette évaluation minimale.)

chaque nonunit différent de zéro est un produit des irreducibles. Ceci suit du résultat correspondant pour n'importe quel domaine d'idéal principal (ou domaine noethérien ), assumant cependant le &le du v ( d'inégalité un ) ; le v ( ab ) permettrait un argument inductif direct.

Réciproquement, non chaque PID est euclidien, bien qu'il ne soit pas facile trouver des exceptions. Par exemple, pour le d = -19, -43, -67, -163, l'anneau de des nombres entiers que du Q ( $\ racine carrée {d}$ ) est un PID qui est le pas euclidien, mais le d de cas = -1, -2, -3, -7, le -11 sont euclidiens.

Cependant, beaucoup de prolongements finis du Q avec le groupe insignifiant de classe de ont les anneaux intégraux euclidiens. Assumer le a prolongé l'hypothèse de Riemann, si le K est une prolongation finie du Q et l'anneau des nombres entiers de K est un PID avec un nombre d'unités infini, alors l'anneau des nombres entiers est euclidien. En particulier ceci s'applique à la caisse de champs de nombre quadratiques totalement vrais avec le groupe insignifiant de classe. En outre (et sans assumer ERH), si le K de champ a le groupe et le rang insignifiants strictement plus considérablement que trois de classe d'unité de , puis l'anneau des nombres entiers est euclidien. Un corollaire immédiat de ceci est que si le groupe de classe est insignifiant et la prolongation a le degré plus considérablement que 8 alors l'anneau des nombres entiers est nécessairement euclidien.

Voir également

Nombre ordinal - ceux-ci permettent un genre de division euclidienne : pour tout le α de et β de , si le β de > 0, là sont alors le γ unique de et le δ de tels que α de = β de · γ de + δ de et δ de < β de ; cependant, les nombres ordinaux ne sont pas un domaine euclidien, puisqu'ils ne sont pas même un anneau.

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