Division par zéro

< ! -- Note de marge bénéficiaire bénéficiaire : Voir la discussion au sujet de la façon composer correctement des fractions --> Dans les mathématiques , une division s'appelle une division de par zéro si le diviseur est le zéro. Une telle division peut être formellement exprimée comme $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{0\}$ où le un est le dividende . Si cette expression peut être assignée une valeur bien définie du dépend de l'arrangement mathématique. Dans (vrai nombre ) l'arithmétique ordinaire, l'expression a le aucune signification .

Dans le programme informatique , la division du nombre entier par zéro peut faire terminer un programme ou, comme dans le cas des nombres de la virgule flottante , peut avoir comme conséquence une valeur spéciale du non-un-nombre (voir le au-dessous de ).

Interprétation dans l'arithmétique élémentaire

Quand la division est expliquée au niveau élémentaire de l'arithmétique , on le considère souvent comme description de diviser un réglé des objets en pièces égales. Comme exemple, si vous prenez 10 pommes, et vous vouloir les distribuer même à cinq personnes, chaque personne recevrait le $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; \{10\}\; \{5\}$ = 2 pommes. De même, si vous prenez 10 pommes à distribuer à une personne, chaque personne recevrait le $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; \{10\}\; \{1\}$ = 10 pommes.

Nous pouvons employer ceci pour illustrer le problème de la division par zéro. Dire que vous prenez 10 pommes à distribuer aux personnes zéro. Combien de pommes fait chaque " ; person" ; recevoir ? Une tentative de calculer le $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; \{10\}\; \{0\}$ devient sans signification parce que la question elle-même est sans signification -- chaque " ; person" ; ne reçoit pas zéro, ou 10, ou un nombre infini de pommes pour cette matière, parce qu'il n'y a simplement aucune personne pour recevoir n'importe quoi en premier lieu. C'est pourquoi en ce qui concerne l'arithmétique élémentaire, la division par zéro serait sans signification, ou éliminé.

Une autre manière de comprendre la nature non définie de la division par zéro est en regardant la division comme soustraction répétée , par exemple, pour diviser 13 par 5, nous pouvons soustraire 5 deux fois, qui laisse un reste de 3. Le diviseur est soustrait jusqu'à ce que le reste soit moins que le diviseur. Le résultat est souvent rapporté comme $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; \{13\}\; \{5\}$ = 2 le reste 3. Mais, dans le cas de zéro, la soustraction répétée de zéro ne rapportera jamais un reste inférieur ou égal à zéro, ainsi se divisant par zéro n'est pas défini. La division par zéro par la soustraction répétée résulte dans une série de soustractions qui ne finit jamais.

Tentatives tôt

Le Brahmasphutasiddhanta du Brahmagupta ( 598 - 668 ) est le texte connu le plus tôt pour traiter le zéro car un nombre à son propre chef et pour définir des opérations impliquant zéro. L'auteur a échoué, cependant, dans sa tentative d'expliquer la division par zéro : on peut facilement montrer que sa définition mène aux absurdités algébriques. Selon Brahmagupta, " de de ; Un nombre positif ou négatif une fois divisé par zéro est une fraction avec le zéro comme dénominateur. Zéro divisé par un nombre négatif ou positif est mettent ou sont exprimés à zéro comme fraction avec zéro comme numérateur et quantité finie comme dénominateur. Zéro divisé par zéro est zero." ;

Dans le 830 , le Mahavira a essayé sans succès de corriger l'erreur de Brahmagupta dans son livre dans le Ganita Sara Samgraha :

"Un nombre demeure sans changement une fois divisé par zero." ;

Le Bhaskara II a essayé de résoudre le problème en définissant 0} = de $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; \{n\}\; \{\backslash \; infty$. Cette définition semble un certain raisonnable, comme discuté ci-dessous, mais peut mener aux paradoxes sinon traités soigneusement. Ces paradoxes n'ont pas été traités jusqu'aux temps modernes.

Interprétation algébrique

On le considère généralement parmi des mathématiciens qu'une manière normale d'interpréter la division par zéro est à d'abord définissent la division en termes de d'autres opérations arithmétiques. Selon les règles standard pour l'arithmétique sur les nombres entiers , les nombres raisonnables , nombres les vrais et les nombres complexes , division de par zéro est non défini. La Division par zéro doit être laissée non définie dans n'importe quel système mathématique qui obéit les axiomes d'un champ . La raison est que la division est définie pour être l'opération inverse de la multiplication . Ceci signifie que la valeur du $\backslash \; du\; textstyle\; \backslash \; du\; frac\; \{a\}\; \{b\}$ est le X de solution du $bx\; d\text{'}équation\; =\; de\; l\text{'}a$ toutes les fois qu'une telle valeur existe et est unique. Autrement la valeur est laissée non définie.

Pour le b = 0, le bx de d'équation = un peut être récrit en tant que 0 X = un ou simplement 0 = un . Ainsi, dans ce cas-ci, le bx de d'équation = un a le aucune solution si le un n'est pas égal à 0, et a le n'importe quel X de comme solution si le un égale 0. Dans l'un ou l'autre cas, il n'y a aucune valeur unique, ainsi le $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}$ est non défini. Réciproquement, dans un domaine , le $d\text{'}expression\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}$ est le toujours défini si le b n'est pas égal à zéro.

Erreurs basées sur la division par zéro

Il est possible de déguiser une caisse spéciale de division par mettent dedans un argument algébrique du , menant les fausses preuves à ces 2 = à 1 tel que ce qui suit :

Avec les prétentions suivantes :

$0\; \backslash \; périodes\; 1\; =\; 0$
$0\; \backslash \; périodes\; 2\; =\; 0$

Ce qui suit doit être vrai :

$0\; \backslash \; périodes\; 1\; =\; 0\; \backslash \; périodes\; 2$

La division par zéro donne : $de$

\ textstyle \ frac {0} {0} \ = de périodes 1 \ frac {0} {0} \ périodes 2

Simplifié, rendements :

$1\; =\; 2\; \backslash ,$

L'erreur est la prétention implicite que la division par 0 est une opération légitime avec $0/0=1$.

Bien que la plupart des personnes identifient probablement le " ci-dessus ; proof" ; comme fallacieux, le même argument peut être présenté d'une manière dont le rend plus dur pour repérer l'erreur. Par exemple, si 1 est dénoté par $x$, $0$ peut être caché derrière $x-x$ et $2$ derrière $x+x$. La preuve mentionnée ci-dessus peut alors être montrée comme suit : $de$

(xx) x = x^2-x^2 = 0 \, $$ (xx) (x+x) = x^2-x^2 = 0 \,

par conséquent : $de$

(xx) x = (xx) (x+x) \,

Se divisant par le $x-x\; \backslash ,$ donne : $x\; de$

= x+x \,

et se divisant par le $x\; \backslash ,$ donne :

$1\; =\; 2\; \backslash ,$

Le " ; proof" ; au-dessus de exige l'utilisation de la loi distributive. Cependant, cette condition présente une asymétrie entre les deux opérations dans cette multiplication répartit sur l'addition, mais pas l'autre manière autour. Ainsi, l'élément d'identité multiplicatif, 1, a un inverse additif, -1, mais l'élément d'identité additif, 0, n'a pas un inverse multiplicatif.

Algèbre abstraite

Les concepts appliqués à l'arithmétique standard sont semblables à ceux en structures algébriques plus générales, telles que les anneaux et les champs dans un domaine, chaque élément différent de zéro est inversible sous la multiplication, pour en haut, des problèmes de poses de division seulement en essayant de se diviser par zéro. C'est de même vrai dans un domaine oblique (qui de pour cette raison s'appelle un anneau de Division de ). Cependant, en d'autres anneaux, la division par les éléments différents de zéro peut également poser des problèmes. Considérer, par exemple, le Z du Z /6 d'anneau de mod 6. Quelle signification devrions-nous donner au $\backslash \; au\; textstyle\; \backslash \; au\; frac\; d\text{'}expression\; \{2\}\; \{2\}$ ? Ceci devrait être le X de solution de l'équation $2x\; =\; 2$. Mais dans le Z , 2 du Z /6 d'anneau n'est pas la multiplication de dessous inversible. Cette équation a deux solutions, X = 1 et distincts X = 4, ainsi le $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; d\text{'}expression\; \{2\}\; \{2\}$ est non défini.

Limites et division par zéro

Au premier regard il semble possible de définir le $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{0\}$ en considérant la limite du $\backslash \; du\; textstyle\; \backslash \; du\; frac\; \{a\}\; \{b\}$ comme le b approche 0.

Pour tout positif , il est su que

$\backslash \; lim\_\; \{b\; \backslash \; à\; 0^\; \{+\}\}\; \{a\; \backslash \; au-dessus\; de\; b\}\; =\; \{+\}\; \backslash \; infty$ et pour tout négatif du un , < ! -- NOTE : Ne pas changer le suivant ! a est négatif ici, ainsi la limite de CI-DESSUS est négative. -->

$\backslash \; lim\_\; \{b\; \backslash \; à\; 0^\; \{+\}\}\; \{a\; \backslash \; au-dessus\; de\; b\}\; =\; \{-\}\; \backslash \; infty.$ Par conséquent, nous pourrions envisager de définir le $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{0\}$ comme +∞ pour le positif un , et &minus ; ∞ pour le négatif un . Cependant, cette définition peut être incommode pour deux raisons. l'infini positif et négatif de

de ne sont pas les vrais nombres pour longtemps car nous souhaitons rester dans le cadre de vrais nombres, nous n'ont défini rien signicatif. Si nous voulons employer une telle définition, nous devrons prolonger la ligne de vrai nombre, comme discuté ci-dessous. Le

prenant la limite de la droite est arbitraire. Nous pourrions aussi bien avoir pris des limites de la gauche et du $\backslash \; du\; textstyle\; \backslash \; du\; frac\; définis\; \{a\}\; \{0\}$ à être &minus ; ∞ pour le positif un , et +∞ pour le négatif un . Ceci peut être encore illustré using l'équation (supposant que plusieurs propriétés normales des reals se prolongent aux infinis)

$+\; \backslash \; =\; infty\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{0\}\; =\; \backslash \; -\; de\; frac\; \{1\}\; \{-\; 0\}\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{0\}\; =\; \backslash \; infty$

qui ne semble pas beaucoup de raisonnable. Ceci signifie que la seule prolongation réalisable présente un infini non signé de , discuté ci-dessous.

En outre, il n'y a aucune définition évidente de $\backslash \; de\; textstyle\; \backslash \; de\; frac\; \{0\}\; \{0\}$ qui peut être dérivé de considérer la limite d'un rapport. Le $\backslash \; lim\_\; de\; de\; limite\; \{(a,\; b)\; \backslash \; à\; (0.0)\}\; \{a\; \backslash \; au-dessus\; de\; b\}$ n'existe pas. Limites du $de\; de\; forme\; \backslash \; du\; lim\_\; \{x\; \backslash \; à\; 0\}\; \{f\; (x)\; \backslash \; au-dessus\; de\; g\; (x)\}$ dans quel les deux f (x) et g (x) l'approche 0 de car le X approche 0, peut converger à n'importe quelle valeur ou peut ne pas converger du tout (voir la règle de L'Hôpital de pour l'examen et les exemples des limites des rapports). Ainsi, cette approche particulière ne peut pas nous mener à une définition utile de $\backslash \; de\; textstyle\; \backslash \; de\; frac\; \{0\}\; \{0\}$.

Interprétation formelle

Un calcul formel est un qui est effectué using des règles d'arithmétique, sans considération de si le résultat du calcul est bien défini. Ainsi, en général, il est parfois utile de penser au $\backslash \; au\; textstyle\; \backslash \; au\; frac\; \{a\}\; \{0\}$ en tant qu'étant le $\backslash \; infty$, si le un n'est pas zéro. Cet infini peut être l'un ou l'autre positif, négatif ou non signé, selon le contexte. Par exemple, formellement : {de $\backslash \; lim\; \backslash \; limits\_\; de$

{x \ à 0} {\ = de frac {1} {x^2} \ frac {\ lim \ limits_ {x \ à 0} {1}} \ lim \ limits_ {x \ à 0} {x^2}}} = \ frac {1} {+0} = + \ infty.

Comme avec n'importe quel calcul formel, des résultats inadmissibles peuvent être obtenus. Logiquement un rigoureux par opposition au calcul formel pourrait indiquer seulement

$\backslash \; lim\_\; \{x\; \backslash \; à\; 0\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{x^2\}\; =\; +\; \backslash \; infty$

(+∞ n'est pas un nombre mais un objet qui peut être approché de la vraie ligne ; ces le familiarisé avec point-a placé la topologie peut l'appeler un membre d'un compactification de deux-point de la ligne).

Pseudo-division par zéro

Dans l'algèbre pour les matrices (ou l'algèbre linéaire en général), on peut définir une pseudo-division, en plaçant le $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\; le\; =a\; b^+$, dans lequel le b ⁺ représente le Pseudoinverse du b s de . Il peut montrer que si ^{&minus du b ; 1} existe, puis le b ⁺ = ^{&minus du b ; 1}. Si le b égale 0, alors 0⁺ = 0, voient le Pseudoinverse .

D'autres systèmes de numération

Bien que la division par zéro ne puisse pas être raisonnablement définie avec de vrais nombres et nombres entiers, il est possible de définir uniformément la division par mettent dedans d'autres structures mathématiques.

Vraie ligne projective

Ensemble $\backslash \; mathbb\; \{\}\; de\; R\; \backslash \; tasse\; \backslash \; \{\backslash \; infty\; \backslash \}$ est la vraie ligne projective , qui est un compactification d'Un-point de de la vraie ligne. Ici le $\backslash \; infty$ signifie un infini non signé , une quantité infinie de qui n'est ni positif ni négatif. Cette quantité satisfait = de $-\; \backslash \; infty\; \backslash \; infty$ qui, comme nous avons vu, est nécessaire dans ce contexte. En cette structure, nous pouvons définir 0} = de $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{\backslash \; infty$ pour le différent de zéro un , et le $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{\backslash \; infty\}\; =\; 0$. Ces définitions mènent à beaucoup de résultats intéressants. Cependant, cette structure n'est pas un champ, et ne devrait pas être prévue se comporter comme un. Par exemple, le $\backslash \; +\; infty\; \backslash \; infty$ n'a aucune signification dans la ligne projective.

C'est la manière normale de regarder la gamme des fonctions de tangente et de cotangent de la trigonométrie : le tan ( X ) approche l'unique à l'infini pendant que le X approche le $\backslash \; textstyle+\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}$ ou $\backslash \; textstyle-\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{2\}$ de l'une ou l'autre direction.

Sphère de Riemann

Ensemble $\backslash \; mathbb\; \{\}\; de\; C\; \backslash \; tasse\; \backslash \; \{\backslash \; infty\; \backslash \}$ est la sphère de Riemann , d'importance majeure dans l'analyse complexe . Ici, aussi, le $\backslash \; infty$ est un infini non signé, ou, car il s'appelle souvent dans ce contexte, le point de à l'infini . Cet ensemble est analogue à la vraie ligne projective, sauf qu'il est basé sur le champ du complexe cet ensemble des nombres n'est pas un champ.

Ligne non négative prolongée de vrai nombre

Les vrais nombres négatifs peuvent être jetés, et infini être présentés, menant au $d\text{'}ensemble\; \backslash \; infty$, où la division par zéro peut être naturellement définie comme 0} = de $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; \{a\}\; \{\backslash \; infty$ pour le positif un .

Analyse non standard

Dans le Hyperreal numérote et la division surréaliste des nombres par zéro est encore impossible, mais la division par le différent de zéro Infinitesimals est possible.

Algèbre abstraite

N'importe quel système de numération qui forme un anneau commutatif , de même que font les nombres entiers, les vrais nombres, et les nombres complexes, par exemple, peut être prolongé à une roue en laquelle la division par zéro est toujours possible, mais la division a alors une signification légèrement différente.

Dans l'analyse mathématique

Dans la théorie de la répartition on peut prolonger le $\backslash \; textstyle\; \backslash \; frac\; de\; fonction\; \{1\}\; \{x\}$ à une distribution sur l'espace entier de vrais nombres (en effet en employant valeurs de Cauchy de principales. Il, cependant, ne semble pas raisonnable de demander une « valeur » de cette distribution au $x\; =\; au\; 0$ ; une réponse sophistiquée se rapporte à l'appui singulier de la distribution.

La Division par mettent dedans l'arithmétique à zéro d'ordinateur

La norme à point mobile d'IEEE de , soutenue par presque tous les processeurs modernes spécifie que chaque opération arithmétique de la virgule flottante , y compris la division par zéro, a un résultat bien défini. Dans l'arithmétique d'IEEE 754, un ÷ 0 est infini positif quand le un est infini positif et négatif quand le un est négatif, et NaN ( pas un nombre ) quand = 0. Les signes d'infini changent en se divisant par le −0 à la place. C'est possible parce que dans IEEE 754 il y a les deux valeurs nulles, plus zéro et sans zéro, et ainsi aucune ambiguïté.

La division de nombre entier par zéro est habituellement manipulée différemment de la virgule flottante puisqu'il n'y a aucune représentation de nombre entier pour le résultat. Quelques processeurs produisent d'une exception quand une tentative est faite de diviser un nombre entier par zéro, bien que d'autres simplement continuent et produisent d'un résultat incorrect pour la division. (Ce résultat est souvent zéro.)

En raison des résultats algébriques inexacts d'assigner toute valeur à la division par zéro, beaucoup de langages de programmation de d'ordinateur (ceux y compris employés par les calculatrices interdisent explicitement l'exécution de l'opération et peuvent pr3maturément arrêter un programme qui des tentatives il, parfois rapportant un " ; Clivage par le zero" ; erreur. Quelques programmes (particulièrement ceux qui emploient l'arithmétique à point fixe où aucun matériel à point mobile consacré n'est disponible) emploieront le comportement semblable à la norme d'IEEE, using de grands nombres positifs et négatifs pour rapprocher des infinis. Dans quelques langages de programmation, une tentative de se diviser par les résultats zéro dans le a éliminé le comportement .

Dans l'arithmétique du complément du deux, des tentatives de diviser le plus petit nombre entier signé par $-1$ sont occupées par les problèmes semblables, et sont manipulées avec la même gamme des solutions, des conditions d'erreur explicites au comportement éliminé par .

Accidents historiques le

le 21 septembre , le 1997 , un clivage par l'erreur de zéro dans le gestionnaire de base de données à distance de du USS Yorktown (CG-48) a réduit toutes les machines sur le réseau, faisant échouer le système de propulsion du bateau.

Apostilles

eflist

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