Division (mathématiques)

Dans les mathématiques , particulièrement dans le élémentaire arithmétique, la division est une opération arithmétique qui est l'inverse de la multiplication .

Spécifiquement, si le c fois le b égale le un , écrit : $c \ temps de b = a \,$ là où le b n'est pas le zéro, puis qu'un s'est divisé par le c d'égales du b , écrit : $\ frac de ab = c$ Par exemple, $de \ frac 63 = 2$ depuis le $2 \ périodes 3 = 6 \,$ .

Dans l'expression ci-dessus, le un s'appelle le dividende , le b le diviseur et le c le quotient .

La Division de par zéro (c. où le diviseur est zéro) n'est pas définie.

Notation

La Division le plus souvent est montrée en plaçant le dividende de au-dessus du diviseur de avec un trait horizontal, également appelé un vinculum , entre eux. Par exemple, le un divisé par le b est écrit le $de \ frac ab.$ Ceci peut être donné lecture fort comme " ; divisé par le b" ; ou " ; a au-dessus de b" ;. Une manière d'exprimer la division toute sur une ligne est d'écrire le dividende , puis une barre oblique , puis le diviseur , comme ceci :
$a/b. de \,$ C'est la manière habituelle de spécifier la division dans la plupart des langages de programmation de d'ordinateur puisqu'il peut facilement être dactylographié comme ordre simple des caractères.

Une variation typographique, qui est à mi-chemin entre ces deux formes, emploie un solidus (barre oblique de de fraction) mais élève le dividende, et abaisse le diviseur :

Quelconque d'entre ces formes peuvent être employées pour montrer une fraction . Une fraction est une expression de division où le dividende et le diviseur sont les nombres entiers (bien que typiquement appelé le numérateur de et dénominateur de ), et il n'y a aucune implication que la division doit être évalué plus loin.

Une manière moins commune de montrer la division est d'employer le Obelus (ou le signe de division) de cette manière : $a de \ division b.$ Cette forme est peu fréquente excepté dans l'arithmétique élémentaire. L'obelus seul est également employé pour représenter l'opération de division elle-même, comme par exemple comme étiquette sur une clef d'une calculatrice .

Dans un certain non- anglais - cultures parlantes, " ; divisé par le b" ; est écrit à un : b . Cependant, dans l'utilisation anglaise les deux points sont limités à exprimer le concept relatif des rapports (puis " de ; a est au b" ;).

Division de calcul

Avec une connaissance des tables de multiplication , deux nombres entiers peuvent être divisés sur le papier suivre la méthode de longue division . Si le dividende a une pièce partielle du (exprimée comme une fraction décimale ), on peut continuer l'algorithme après celui endroit jusque désiré. Si le diviseur a une partie partielle, on peut redire le problème en déplaçant la décimale vers la droite dans les deux nombres jusqu'à ce que le diviseur n'ait aucune fraction.

Dans des ordinateurs modernes, la longue division a été remplacée par des méthodes plus rapides ; voir la Division (numérique).

La Division peut être calculée avec un abaque en plaçant à plusieurs reprises le dividende sur l'abaque, et alors soustrayant le diviseur l'excentrage de chaque chiffre dans le résultat, comptant le nombre de divisions possibles à chacun a compensé.

Dans l'arithmétique modulaire , quelques nombres ont un inverse multiplicatif en ce qui concerne le module. En ce cas, la division peut être calculée par multiplication. Cette approche est utile dans des ordinateurs qui n'ont pas une instruction rapide de division.

Division des nombres entiers

La Division des nombres entiers n'est pas clôturé par . Indépendamment de division par zéro étant non défini, le quotient ne sera pas un nombre entier à moins que le dividende soit un multiple de nombre entier du diviseur ; par exemple 26 ne peuvent pas être divisés par 10 pour donner un nombre entier. En ce cas il y a quatre approches possibles. Dire que 26 ne peuvent pas être divisés par 10 ; la division devient une fonction partielle .

Donner la réponse comme fraction décimale ou nombre mélangé , ainsi

\ frac {26} {10} = 2.6

26/10 de = 2 \ frac 35

. C'est les mathématiques habituellement rentrées d'approche.

Donner la réponse comme quotient de de nombre entier et reste , ainsi

\ frac {26} de {10} = 2

du reste 6. Donner le quotient de nombre entier comme réponse, ainsi

\ frac {26} {10} = 2

. Ceci s'appelle parfois la division de nombre entier de . On doit faire attention en exécutant la division des nombres entiers dans un programme informatique . Quelques langages de programmation tel que le C , traiteront la division des nombres entiers comme dans l'affaire 4 ci-dessus, ainsi la réponse seront un nombre entier. D'autres langues, telles que le MATLAB , convertiront d'abord les nombres entiers en vrais nombres, et donnent ensuite un vrai nombre comme réponse, comme dans le cas 2 ci-dessus.

Les noms et les symboles utilisés pour la division de nombre entier incluent, de division/, \, et %. Les définitions varient considérer la division de nombre entier quand le quotient est négatif : l'arrondissage peut être vers zéro ou vers l'infini moindre .

Les règles de divisibilité de peuvent parfois être employées pour déterminer rapidement si un nombre entier se divise exactement en des autres.

Division des nombres raisonnables

Le résultat de diviser deux nombres raisonnables est un autre nombre raisonnable quand le diviseur n'est pas 0. Nous pouvons définir la division du p / q et r / s de deux nombres raisonnables près $de {p/q \ au-dessus de r/s} = {p \ au-dessus de q} \ périodes {s \ au-dessus de r} = {picoseconde \ au-dessus de qr}.$

Chacune des quatre quantités est des nombres entiers, et seulement le p peut être 0. Cette définition s'assure que la division est l'opération inverse de la multiplication .

Division de vrais nombres

La Division de deux vrais nombres a comme conséquence un autre vrai nombre quand le diviseur n'est pas 0. Elle est définie un tel un / b = c si et seulement si = Cb de et ≠ 0 du b .

Division des nombres complexes

La division de deux nombres complexes a comme conséquence un autre nombre complexe quand le diviseur n'est pas 0, défini ainsi : $de {p + Q. \ au-dessus de r+ est} = {P. + qs \ au-dessus de r^2 + s^2} + I {qr - picoseconde \ au-dessus de r^2 + s^2}.$

Chacune des quatre quantités est de vrais nombres. le r et le s peuvent tous les deux ne pas être 0.

La Division pour des nombres complexes exprimés en forme polaire est plus simple que la définition ci-dessus : $de {pe^ {} de Q. \ au-dessus du re^ {est}} = {p \ au-dessus de r} e^ {I (q - s)}.$

Encore chacune des quatre quantités est de vrais nombres. le r peut ne pas être 0.

Division des polynômes

On peut définir l'opération de division pour les polynômes alors, comme dans le cas des nombres entiers, on a un reste. Voir division polynôme la longue.

Division des matrices

On peut définir une opération de division pour des matrices. La manière habituelle de faire ceci est de définir le A / B = ab ⁻¹, où le B ⁻¹ dénote le inverse du B , mais il est bien plus commun pour écrire A du ab ⁻¹ (ou du B ⁻¹) explicitement pour éviter la confusion.

Division gauche et droite

Puisque la multiplication de Matrix de n'est pas le commutatif, on peut également définir un laissé la division ou la soi-disant barre-division de comme A \ B = B du A ⁻¹. Pour que ceci soit bien défini, le B ⁻¹ n'a pas besoin d'exister, toutefois le A ⁻¹ doit exister. Pour éviter la confusion, la division comme définie par le A / B = ab ⁻¹ s'appelle parfois la division de droite de ou la barre-division de dans ce contexte.

Notent qu'avec gauche et droit division a défini ce manière, A /( AVANT JÉSUS CHRIST ) est en général pas même que ( A / B )/ C et ni est ( ab ) \ C même que A \ ( B \ C ), mais A /( AVANT JÉSUS CHRIST ) = ( A / C )/ B et) (de ab \ C = B \ ( A \ C ).

Division et pseudoinverse de Matrix

Pour éviter des problèmes quand le A ⁻¹ et/ou le B ⁻¹ n'existent pas, la division peut également être définie comme multiplication avec le Pseudoinverse , c., le A / B = ab ⁺ et A \ B = B du A ⁺, où le A ⁺ et le B ⁺ dénotent le pseudoinverse du A et du B .

Division dans l'algèbre abstraite

Dans les algèbres d'abrégé sur tel que des algèbres de la matrice et des algèbres de Quaternion , des fractions telles que le ${a \ au-dessus de b}$ sont typiquement définies comme $a \ cdot {1 \ au-dessus de b} le b^ de$ ou de $a \ cdot {- 1}$ où $b$ est présumé pour être un élément inversible (c. là existe un $b^inverse multiplicatif {- 1}$ tels que $bb^ {- 1} = b^ {- 1} b = 1$ où $1$ est l'identité multiplicative). Dans un domaine intégral où de tels éléments peuvent ne pas exister, la division de peut encore être exécutée sur des équations du $ab de forme = de l'ac$ ou le $ba = le ca$ par l'annulation gauche ou bonne, respectivement. Plus généralement " ; division" ; dans le sens du " ; cancellation" ; peut être fait en n'importe quel anneau avec les propriétés mentionnées ci-dessus d'annulation. Si un tel anneau est fini, alors par une application du principe de casier , chaque élément différent de zéro de l'anneau est inversible, ainsi la division de par n'importe quel élément différent de zéro est possible dans un tel anneau. Pour se renseigner sur le moment où les algèbres de (dans le sens technique) ont une opération de division, se référer à la page sur des algèbres de Division de que la périodicité de Bott de en particulier peut être employée pour prouver que n'importe quelle vraie algèbre de division de Normed de du doit être le isomorphe au R de vrais nombres, au C des nombres complexes , au H de Quaternions , ou au O d'Octonions . < ! -- Gauche contre la droite, définition du quasigroup, rapport avec les éléments inverses en présence d'associativity, exemples : groupes, octonions -->

Division et calcul

Le dérivé du quotient de deux fonctions est donné par la règle de quotient de : $de {\ laissé (\ fg de frac \ droit)}« = \ frac {f'g - fg »} {g^2}.$

Il n'y a aucune méthode générale au intègrent le quotient de deux fonctions.

Voir également

style=" de

Partie aliquote
Division (numérique)
Fraction de (mathématiques)
Inverse multiplicatif
Élément inverse
Division de par deux
Longue division
Quasigroup (division gauche)
Groupe
Champ
Vinculum
Décimale de répétition

Modulo
Arithmétique modulaire
Opération de modulo de
Reste

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