Diviseur zéro

Dans l'algèbre d'abrégé sur , un différent de zéro de l'élément qu'un d'un anneau est un a laissé le diviseur zéro si là existe un différent de zéro b tels que le ab = 0. Les diviseurs de la droite zéro de sont définis de façon analogue, c., un différent de zéro d'élément un d'un anneau est un bon diviseur zéro si là existe un différent de zéro c tels que le Ca = 0. Un élément qui reste et un bon diviseur zéro s'appelle simplement un les zéro diviseurs . Si la multiplication dans l'anneau est le commutatif, alors les diviseurs zéro de left and right sont identiques. Un élément différent de zéro d'un anneau qui ni n'est laissé ni de bon diviseur zéro s'appelle le régulier.

Exemples

le Z d'anneau des nombres entiers n'a aucun diviseur zéro, mais dans le Z de × du Z d'anneau où l'addition et la multiplication sont componentwise effectué nous avons (0.0) sont les diviseurs zéro.

dans le Z , la classe du Z /6 de l'anneau de facteur de 4, ou 4 + 6 le Z , est un diviseur zéro, depuis 3 × ; 4 est conforme à 0 modulos 6.

un exemple d'un diviseur zéro dans l'anneau de 2 matrices du by-2 est le de matrice le parce que par exemple le

plus généralement dans l'anneau du n - par des matrices du n au-dessus d'un certain champ , les diviseurs zéro de left and right coïncident ; ils sont avec précision les matrices singulières différent de zéro. Dans l'anneau du n - par des matrices du n au-dessus d'un certain domaine intégral , les diviseurs zéro sont avec précision les matrices différentes de zéro avec le déterminant zéro du .

ici est un exemple d'un anneau avec un élément qui est un diviseur zéro d'un côté seulement. Laisser le S être l'ensemble de tous les ordres des nombres entiers ( un ₁, un ₂, un _{3pointwise et la composition comme opérations d'anneau. (C'est-à-dire, notre anneau est extrémité ( S ), les endomorphisms du additif S de groupe.) Trois exemples des éléments de cet anneau sont le bon R ( un 1, un 2, de décalage un 3,…) = (0, un 1, un 2,…), le décalage gauche L ( un 1, un 2, un 3,…) = ( un 2, un 3,…), et un troisième additif T ( un 1, un 2, de carte un 3,…) = ( un 1, 0, 0,…). Chacun des trois de ces cartes additives n'est pas zéro, et les composés LT et TR sont les deux zéro, ainsi L est un diviseur zéro gauche et R est un bon diviseur zéro dans l'anneau des cartes additives du S au S . Cependant, L n'est pas un bon diviseur zéro et R n'est pas un diviseur zéro gauche : le LR composé est l'identité, ainsi si un certain additif de carte f du S au S satisfait fL= 0 composant alors les deux côtés de cette équation du côté droit avec le R d'expositions du R (fL) = f (LR) = f1 = f doit être 0, et pareillement si un certain f satisfait Rf = 0 composant alors les deux côtés du côté gauche avec les expositions f de L est 0.}

Continue cet exemple, noter que tandis que RL est un diviseur zéro gauche ( T (de RL) = R (LT) 0 parce que LT est), LR n'est pas a mettre le diviseur à zéro de chaque côté parce que c'est l'identité.

Concrètement, nous pouvons interpréter les cartes additives du S au S en tant que matrices comptable infinies. Le réalise le L explicitement (juste appliquer la matrice à un vecteur et voir que l'effet est exactement un décalage gauche) et le B de transposition = '' A '' ^T réalise le bon décalage sur le S . Que le ab est la matrice d'identité est identiques que dire le LR est l'identité. En particulier, comme matrices le A est un diviseur zéro gauche mais pas un bon diviseur zéro.

Propriétés