Distributivity

Dans les mathématiques , et en particulier dans l'algèbre d'abrégé sur , le distributivity est une propriété des opérations binaires qui généralise la loi distributive de l'algèbre élémentaire . Par exemple :
4 de
• (2 + 3) = (4 • 2) + (4 • 3). Dans le côté à gauche de l'équation ci-dessus, les 4 multiplie la somme de 2 et de 3 ; du côté droit, elle multiplie les 2 et les 3 individuellement, avec les résultats supplémentaires après. Puisque ceux-ci donnent la même réponse finale (20), nous disons que la multiplication par le 4 distribue au-dessus de l'addition de 2 et de 3. Puisque nous pourrions avoir mis tous les vrais nombres au lieu de 4, de 2, et de 3 ci-dessus, et avons obtenu toujours une équation vraie, nous disons que la multiplication du de vrais nombres distribue au-dessus de l'addition de vrais nombres.

Définition

Donné un le réglé S et deux de opérations binaires • et + sur le S , nous disons que l'opération • le


est le gauche-distributif au-dessus de + si, donné n'importe quel X d'éléments de , y , et z du S , le X du
de
de
• ( y + z ) = ( X • y ) + ( X • z ) ; le
est le droit-distributif au-dessus de + si, donné tout X d'éléments de , y , et z du S :
( y de
de
+ z ) • X = ( y • X ) + ( z • X ) ; le
est le distributif au-dessus de + s'il est laissé- et droit-distributif.

Noter cela quand • est le commutatif, puis les trois conditions ci-dessus sont le logiquement équivalent.

Exemples

la multiplication de

des nombres est distributive au-dessus de l'addition des nombres, pour une grande catégorie de différents genres de nombres s'étendant des nombres normaux aux nombres complexes et la multiplication de

  • des nombres cardinaux des nombres ordinaux en revanche, est seulement gauche-distributive, droit-non distributive. la multiplication de Matrix de
  • est distributive au-dessus de l'addition de Matrix de , quoiqu'elle ne soit pas commutative. Le
  • l'union des ensembles est distributif au-dessus de l'intersection , et l'intersection est distributive au-dessus de l'union. En outre, l'intersection est distributive au-dessus de la différence symétrique . disjonction logique (" de de
  • ; or" ;) est distributif au-dessus de la conjonction logique (" de ; and" ;), et la conjonction est distributive au-dessus de la disjonction. En outre, la conjonction est distributive au-dessus de la disjonction exclusive (" de ; xor" ;). Le
  • pour les vrais nombres (ou pour n'importe quel commande totalement réglé), l'opération maximum est distributif au-dessus de l'opération minimum, et vice versa : maximum ( un , minute ( b , c )) = minute (maximum ( un , b ), maximum ( un , c )) et minute ( un , maximum ( b , c )) = maximum (minute ( un , b ), minute ( un , c )). Le
  • pour les nombres entiers le plus grand diviseur commun est distributif au-dessus du moindre multiple commun , et vice versa : gcd ( un , lcm ( b , c )) = lcm (gcd ( un , b ), gcd ( un , c )) et lcm ( un , gcd ( b , c )) = gcd (lcm ( un , b ), lcm ( un , c )). Le
  • pour de vrais nombres, addition répartit au-dessus de l'opération maximum, et également sur l'opération minimum : + maximum ( b , c ) = maximum ( + b , + c ) et + minute ( b , c ) = minute ( + b , + c ).

    Distributivity et arrondissage

    Dans la pratique, la propriété distributive de la multiplication (et la division) au-dessus de l'addition est perdue autour des limites de la précision arithmétique . Par exemple, le ⅓ d'identité + ⅓ + ⅓ = (1+1+1)/3 semble échouer si conduit dans l'arithmétique décimale ; toutefois beaucoup de chiffres significatifs sont employés, le calcul prendra le ≠ 1. Même où les nombres partiels sont représentables exactement, des erreurs seront présentées si arrondissant trop loin ; par exemple, achetant deux livres chacun eu le prix indiqué à £14.99 avant que le TVA de 17.5% dans deux transactions séparées sauve réellement £0.01 au-dessus de les acheter ensemble : £14.01 le plus proche, donnant une dépense totale de £35. Les méthodes telles que le de arrondissage du banquier de peuvent aider dans certains cas, de même que peut augmentant la précision utilisée, mais finalement quelques erreurs de calcul sont inévitables.

    Distributivity en anneaux

    Distributivity le plus généralement est trouvé dans les anneaux et les trellis distributifs

    Un anneau a deux opérations binaires (généralement appelées le " ; +" ; et " ; *" ;), et une des conditions d'un anneau est que * doit répartir sur +. La plupart des genres de nombres (exemple 1) et matrices (anneaux de forme d'exemple 3). Un trellis est un autre genre de structure algébrique avec deux opérations binaires, ^ et V. Si l'une ou l'autre de ces opérations (dire le ^) répartit sur l'autre (v), alors v doit également répartir sur le ^, et le trellis s'appelle distributif. Voir également l'article sur le Distributivity (théorie d'ordre) .

    Les exemples 4 et 5 sont les algèbres booléennes qui peuvent être interprétées comme genre spécial d'anneau (un anneau booléen ) ou genre spécial de trellis distributif (un trellis booléen ). Chaque interprétation est responsable de différentes lois distributives dans l'algèbre booléenne. Les exemples 6 et 7 sont des trellis distributifs qui ne sont pas des algèbres booléennes.

    Les anneaux et les trellis distributifs sont les deux genres spéciaux généralisations des installations de certaines des anneaux. Ces nombres sous la forme de l'exemple 1 qui ne forment pas des anneaux au moins cale. les Proche-installations sont une autre généralisation des installations qui sont gauche-distributives mais droit-non distributives ; l'exemple 2 est une proche-installation.

    Généralisations de distributivity

    Dans plusieurs secteurs mathématiques, des lois généralisées de distributivity sont considérées. Ceci peut impliquer l'affaiblissement des conditions ci-dessus ou la prolongation aux opérations infinitary. Particulièrement dans l'ordre de la théorie un trouve de nombreuses variantes importantes du distributivity, certains dont inclure les opérations infinitary, telles que la loi distributive infinie ; d'autres qui sont définis en présence seulement de l'opération binaire du un , telle que l'opérateur d'implication de des détails des algèbres de Heyting de des définitions s'accordantes et de leurs relations sont indiqués dans le Distributivity (théorie d'ordre) d'article. Ceci inclut également la notion d'un trellis complètement distributif de de .

    En présence d'une relation de commande, on peut également affaiblir les égalités ci-dessus par le remplacement = par le ≤ ou le ≥. Naturellement, ceci mènera aux concepts signicatifs seulement dans quelques situations. Une application de ce principe est la notion du secondaire-distributivity comme expliqué dans l'article sur les intervalles .

    Dans la théorie de catégorie de , si (S, μ, η) et (S', μ', η') sont les monads sur un C , un de la catégorie le S de la loi du S.S du s que distributif de → est un λ normal de de la transformation : Le S du s de → de S.S tels que (le du s de , λ) est une carte relâchée de du → S du S des monads et ( S , λ) est une carte de Colax de du du s du → du s de des monads . C'est exactement les données requises pour définir une structure de monad sur le S du s de : la carte de multiplication est ² du S'μ. S'λS et la carte d'unité est le η'S. Voir : Loi distributive de entre les monads .

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